高中人教A数学选修课时跟踪检测：第3章 数系的扩充与复数的引入 32 321 含解析

第三章 数系的扩充与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
课时跟踪检测
一、选择题
1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2＝( )
A ．0
B ．32＋52i C.52－52i D ．52－32i
解析：z 1＋z 2＝2－12i ＋12－2i ＝52－52i.
答案：C
2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2＝( )
A ．2
B ．2＋2i
C ．4＋2i
D ．4－2i
解析：z 1－z 2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i.
答案：C
3．向量OA →对应的复数为z 1＝－3＋2i ，OB →对应的复数z 2
＝1－i ，则|OA →＋OB →|为( ) A. 5
B ． 3
C ．2
D ．10
解析：由题知向量OA
→＝(－3,2)，OB →＝(1，－1)，∴OA →＋OB →＝(－2,1)，∴|OA →＋OB
→|＝5，故选A. 答案：A
4．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．－2
D ．－2或1
解析：∵z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2－3a ＋2)i 是纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0，∴a ＝－2. 答案：C
5．(2019·阳泉二中期中)满足条件|z ＋i|＋|z －i|＝4的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．两条直线
C ．圆
D ．一条直线
解析：|z ＋i|＋|z －i|＝4表示复数z 在复平面上对应点到(0，－1)，(0,1)的距离和等于4.
∴点Z 的轨迹是椭圆，故选A.
答案：A
6．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( )
A ．5＋3i
B ．5－3i
C ．－2＋9i
D ．－2－i
解析：∵z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ，
∴f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝5＋5i －2i ＝5＋3i.
答案：A
二、填空题
7．已知复数z 1＝3＋a i ，z 2＝1－i ，z 3＝b ＋2i(a ，b ∈R )，它们在复平面内对
应的点分别为A ，B ，C ，坐标原点为O ，OC
→＝OA →＋OB →，则a ＋b i ＝________. 解析：由题意得b ＋2i ＝3＋a i ＋1－i ＝4＋(a －1)i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，a －1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
b ＝4.∴a ＋b i ＝3＋4i.
答案：3＋4i
8．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面上对应的两点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 的形状是________．
解析：由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OA ，OB 为邻边的平行四边形对角线相等，故此平行四边形为矩形，所以OA ⊥OB ，故△AOB 是直角三角形．
答案：直角三角形
9．(2019·山西应县一中月考)复数z 1＝3m －1－2m i ，z 2＝－m ＋m 2i ，若z 1＋z 2>0，则实数m ＝________.
解析：z 1＋z 2＝
3m －1－2m i －m ＋m 2i ＝3m －1－m ＋(m 2－2m )i ，
∵z 1＋z 2>0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3m －1－m >0，m 2－2m ＝0，
∴m ＝2. 答案：2
三、解答题
10．计算：
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；
(3)(1＋2i)＋(i ＋i 2)＋|3＋4i|；
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2i ＝32－52
i. (2)原式＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i.
(3)原式＝(1＋2i)＋(i －1)＋32＋42＝(1－1＋5)＋(2＋1)i ＝5＋3i.
(4)原式＝(6＋3－3＋2)＋(－3＋2＋4－1)i ＝8＋2i.
11．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数1,2＋i ，－1＋2i ，D 为BC 的中点．
(1)求向量AD →对应的复数；
(2)求△ABC 的面积．
解：(1)由题可知A (1,0)，B (2,1)，C (－1,2)，
∴D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32， ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32－(1,0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32， ∴AD →对应的复数为－12＋32i.
(2)|AB
→|＝|2＋i －1|＝2， |BC
→|＝|－1＋2i －2－i|＝|－3＋i|＝10， |AC
→|＝|－1＋2i －1|＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB
→|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形，
∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|＝12×2×22＝2.
12．已知复数z 1＝1－2i 和z 2＝4＋3i 分别对应复平面内的A ，B 两点．求：
(1)A ，B 两点间的距离；
(2)线段AB 的垂直平分线的复数形式，并化为实数表示的一般形式．
解：(1)|AB →|＝|z 2－z 1
|＝|(4＋3i)－(1－2i)|＝|3＋5i|＝34. 所以A ，B 两点间的距离为34.
(2)线段AB 的垂直平分线上任一点Z 到A ，B 两点的距离相等，
设点Z 对应的复数为z ，
由复数模的几何意义，知|z －(1－2i)|＝|z －(4＋3i)|.
设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入上式，知|(x －1)＋(y ＋2)i|＝|(x －4)＋(y －3)i|， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝(x －4)2＋(y －3)2.
整理上式可得线段AB 的垂直平分线的方程为3x ＋5y －10＝0.
所以线段AB 的垂直平分线方程的复数形式为|z －(1－2i)|＝|z －(4＋3i)|，实数表示的一般形式为3x ＋5y －10＝0.
13．在复平面内，平行四边形ABCD(A，B，C，D四点按逆时针顺序排列)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．
→＝BC→，得OD→－OA→＝OC→－OB→，∴z－(1＋3i)＝2解析：在▱ABCD中，由AD
＋i－(－i)，∴z＝(2＋2i)＋(1＋3i)＝3＋5i.
答案：3＋5i。