洛伦兹力
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解：设速率为v，在电场力作用下最容易到达A板的是速度方向垂直B板的α粒子
由动能定理得:qU= mv2
加磁场后，速率为v的α粒子的轨道半径为d/2，只要轨迹与AB板都相切的α粒子打不到板即可.与此对应的磁感应强度就是B的最小值.因为:Bqv=
由上两式得:B= · =0.83 T
即磁感应强度B应满足B≥0.83 T
①粒子在两板间如何运动？②粒子在两板间的运动时间是多少？
变式训练1—1：若上板电势变化如图所示，下板电势始终为零。其他条件不变，试分析：①粒子在两板间如何运动？②粒子在两板间的运动时间是多少？
解：（1）电场力F=qE= =5×10-7N（竖直向下）
洛伦兹力F=Bqv=5×10-7N（竖直向上）
即粒子所受两力平衡
1带电粒子从O点射入磁场，到达P点经历的时间。
②匀强电场的场强与匀强磁场的磁感应强度大小的比值。
解：（1）由题意可得，在磁场中运动如图所示OP=a=2R 所以
故
（2）设匀强电场的场强大小为E，粒子在Q点射出电场的速度为Vt即与y轴的夹角为 ，则tan = 所以 故
针对训练：
1．如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差为U,带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则：粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d度的大小和方向
（2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小
（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向。
解：（1）参见图，带电质点从P1到P2，由平抛运动规律
h= ①v0= ②vy=gt③求出v= ④
方向与x轴负方向成45°角
（2）带电质点从P2到P3，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力
又：
解之得：
由图3可知，微粒回到同一条电场线的时间
则微粒在电场线方向移过距离
针对训练：
1． 如图所示，两块水平放置的金属板长L=1.40m，间距为d=0.30m。两板间有B=1.25T，方向垂直纸面向里的匀强磁场。两板电势差U=1.5×103v，上板电势高。当t=0时，质量m=2.00×10-15kg，电量q= 1.00×10-10C 的正粒子，以速度V=4.00×103m/s从两板中央水平射入。不计重力，试分析：
例3：如图所示，坐标空间中有场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，y轴为两种场的分界面，图中虚线为磁场区域的右边界，现有一质量为m，电荷量为-q的带电粒子从电场中坐标位置（－L，0）处，以初速度 沿轴正方向运动，且已知。试求：使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，磁场的宽度d应满足的条件.(粒子的重力不计)
带电粒子在复合场中运动
类型一：带电粒子在组合场里的运动
例1：在如图所示的直角坐标系中，在y≥0的区域内有一垂直于xOy平面的匀强磁场，在第四象限内有一平行于x轴方向的匀强电场。现使一个质量为m的带电粒子，从坐标原点O以速度V沿y轴正方向射入匀强磁场，带电粒子从点P（a，0）射出磁场，最后再从Q点射出匀强电场，射出电场时粒子速度跟y轴的夹角为1200。（粒子重力不计）求：
（1）匀强磁场的磁感应强度；
（2）质子两次在磁场中运动的时间之比；
（3）质子两次在电场中运动的时间各为多少．
【解析】（1）如图所示，设质子第一、第二次由B、C两点分别进入电场，轨迹圆心分别为O1和O2．
所以：sin30°=，R= 2×OA，由B== 0.1T，得．
（2）从图中可知，第一、第二次质子在磁场中转过的角度分别为210°和30°，则==
Eq=mg⑤Bqv=m ⑥(2R)2=(2h)2+(2h)2⑦由⑤解得：E= ⑧联立④⑥⑦式得B= ⑨
（3）带电质点进入第四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动。当竖直方向的速度减小到0，此时质点速度最小，即v在水平方向的分量vmin=vcos45°= ⑩（方向沿x轴正方向）
类型三：带电粒子在复合场中运动的临界问题
所以，粒子应该做匀速直线运动。
运动的时间t= =3.5×10-4s
（2）在t=0 — 10-4s内，粒子做匀速直线运动，位移为
L0= vt=0.4m
在10-4— 2×10-4s内无电场，粒子只在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动，轨道半径为
r= =6.4×10-2m＜T= =10-4s
所以,粒子不会打到极板上;并在无电场的时间内,恰好在磁场中运动一周。当两板间又周期性加上电压时，粒子又重复上述运动，轨迹如图粒子运动的总时间为t=t1+t2= +3T=6.5×10-4s
解：带电粒子在电场中做类平抛运动。设粒子进入磁场时粒子的速度大小为ν，速度方向与y轴夹角为θ，有：
粒子在磁场中做圆周运动，有：
要使粒子穿越磁场区域能返回电场中，磁场的宽度条件为：
粒子穿越磁场不返回电场中的条件为：
针对训练：
1．如图所示，两块垂直纸面的平行金属板A、B相距d=10.0 cm，B板的中央M处有一个α粒子源，可向各个方向射出速率相同的α粒子，α粒子的荷质比q／m=4.82×107C／kg.为使所有α粒子都不能达到A板，可以在A、B板间加一个电压，所加电压最小值是U0=4.15×104V；若撤去A、B间的电压，仍使所有α粒子都不能到达A板，可以在A、B间加一个垂直纸面的匀强磁场，该匀强磁场的磁感应强度B必须符合什么条件?
2．如图所示的坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。在x轴上方空间的第一、第二象限内，既无电场也无磁场，在第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面（纸面）向里的匀强磁场，在第四象限，存在沿y轴负方向、场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带电质点，从y轴上y = h处的P1点以一定的水平初速度沿x轴负方向进入第二象限。然后经过x轴上x=-2h处的P2点进入第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运动。之后经过y轴上y=-2h处的P3点进入第四象限。已知重力加速度为g。试求：
【解析】题中带电微粒在叠加场中作匀速直线运动，意味着微粒受到的重力、电场力和磁场力平衡。进一步的分析可知：洛仑兹力f与重力、电场力的合力F等值反向，微粒运动速度V与f垂直，如图2。当撤去磁场后，带电微粒作匀变速曲线运动，可将此曲线运动分解为水平方向和竖直方向两个匀变速直线运动来处理，如图3。由图2可知：
A、d随v0增大而增大，d与U无关
B、d随v0增大而增大，d随U增大而增大
C、d随U增大而增大，d与v0无关
D、d随v0增大而增大，d随U增大而减小
解析：带电粒子射出电场时速度的偏转角为θ，如图所示，有： ，又 ，而 ，A正确．
2．在如图所示的空间区域里，y轴左方有一匀强电场，场强方向跟y轴负方向成30°角，大小为E=4．0×105N/C，y轴右方有一垂直纸面的匀强磁场，有一质子以速度υ0= 2.0×106m/s由x轴上A点（OA= 10cm）第一次沿轴正方向射入磁场，第二次沿x轴负方向射入磁场，回旋后都垂直射入电场，最后又进入磁场，已知质子质量m为1．6×10-27kg，求：
（3）两次质子以相同的速度和夹角进入电场，所以在电场中运动的时间相同．
由x=υ0t和y=××t2以及tan30°=
由以上解得t==×10-7s．
类型二：带电粒子在叠加场里的运动
例2:在某个空间内有一个水平方向的匀强电场，电场强度 ，又有一个与电场垂直的水平方向匀强磁场，磁感强度B＝10T。现有一个质量m＝2×10-6kg、带电量q＝2×10-6C的微粒，在这个电场和磁场叠加的空间作匀速直线运动。假如在这个微粒经过某条电场线时突然撤去磁场，那么，当它再次经过同一条电场线时，微粒在电场线方向上移过了多大距离。（ｇ取10m／S2）
由动能定理得:qU= mv2
加磁场后，速率为v的α粒子的轨道半径为d/2，只要轨迹与AB板都相切的α粒子打不到板即可.与此对应的磁感应强度就是B的最小值.因为:Bqv=
由上两式得:B= · =0.83 T
即磁感应强度B应满足B≥0.83 T
①粒子在两板间如何运动？②粒子在两板间的运动时间是多少？
变式训练1—1：若上板电势变化如图所示，下板电势始终为零。其他条件不变，试分析：①粒子在两板间如何运动？②粒子在两板间的运动时间是多少？
解：（1）电场力F=qE= =5×10-7N（竖直向下）
洛伦兹力F=Bqv=5×10-7N（竖直向上）
即粒子所受两力平衡
1带电粒子从O点射入磁场，到达P点经历的时间。
②匀强电场的场强与匀强磁场的磁感应强度大小的比值。
解：（1）由题意可得，在磁场中运动如图所示OP=a=2R 所以
故
（2）设匀强电场的场强大小为E，粒子在Q点射出电场的速度为Vt即与y轴的夹角为 ，则tan = 所以 故
针对训练：
1．如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差为U,带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则：粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d度的大小和方向
（2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小
（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向。
解：（1）参见图，带电质点从P1到P2，由平抛运动规律
h= ①v0= ②vy=gt③求出v= ④
方向与x轴负方向成45°角
（2）带电质点从P2到P3，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力
又：
解之得：
由图3可知，微粒回到同一条电场线的时间
则微粒在电场线方向移过距离
针对训练：
1． 如图所示，两块水平放置的金属板长L=1.40m，间距为d=0.30m。两板间有B=1.25T，方向垂直纸面向里的匀强磁场。两板电势差U=1.5×103v，上板电势高。当t=0时，质量m=2.00×10-15kg，电量q= 1.00×10-10C 的正粒子，以速度V=4.00×103m/s从两板中央水平射入。不计重力，试分析：
例3：如图所示，坐标空间中有场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，y轴为两种场的分界面，图中虚线为磁场区域的右边界，现有一质量为m，电荷量为-q的带电粒子从电场中坐标位置（－L，0）处，以初速度 沿轴正方向运动，且已知。试求：使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，磁场的宽度d应满足的条件.(粒子的重力不计)
带电粒子在复合场中运动
类型一：带电粒子在组合场里的运动
例1：在如图所示的直角坐标系中，在y≥0的区域内有一垂直于xOy平面的匀强磁场，在第四象限内有一平行于x轴方向的匀强电场。现使一个质量为m的带电粒子，从坐标原点O以速度V沿y轴正方向射入匀强磁场，带电粒子从点P（a，0）射出磁场，最后再从Q点射出匀强电场，射出电场时粒子速度跟y轴的夹角为1200。（粒子重力不计）求：
（1）匀强磁场的磁感应强度；
（2）质子两次在磁场中运动的时间之比；
（3）质子两次在电场中运动的时间各为多少．
【解析】（1）如图所示，设质子第一、第二次由B、C两点分别进入电场，轨迹圆心分别为O1和O2．
所以：sin30°=，R= 2×OA，由B== 0.1T，得．
（2）从图中可知，第一、第二次质子在磁场中转过的角度分别为210°和30°，则==
Eq=mg⑤Bqv=m ⑥(2R)2=(2h)2+(2h)2⑦由⑤解得：E= ⑧联立④⑥⑦式得B= ⑨
（3）带电质点进入第四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动。当竖直方向的速度减小到0，此时质点速度最小，即v在水平方向的分量vmin=vcos45°= ⑩（方向沿x轴正方向）
类型三：带电粒子在复合场中运动的临界问题
所以，粒子应该做匀速直线运动。
运动的时间t= =3.5×10-4s
（2）在t=0 — 10-4s内，粒子做匀速直线运动，位移为
L0= vt=0.4m
在10-4— 2×10-4s内无电场，粒子只在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动，轨道半径为
r= =6.4×10-2m＜T= =10-4s
所以,粒子不会打到极板上;并在无电场的时间内,恰好在磁场中运动一周。当两板间又周期性加上电压时，粒子又重复上述运动，轨迹如图粒子运动的总时间为t=t1+t2= +3T=6.5×10-4s
解：带电粒子在电场中做类平抛运动。设粒子进入磁场时粒子的速度大小为ν，速度方向与y轴夹角为θ，有：
粒子在磁场中做圆周运动，有：
要使粒子穿越磁场区域能返回电场中，磁场的宽度条件为：
粒子穿越磁场不返回电场中的条件为：
针对训练：
1．如图所示，两块垂直纸面的平行金属板A、B相距d=10.0 cm，B板的中央M处有一个α粒子源，可向各个方向射出速率相同的α粒子，α粒子的荷质比q／m=4.82×107C／kg.为使所有α粒子都不能达到A板，可以在A、B板间加一个电压，所加电压最小值是U0=4.15×104V；若撤去A、B间的电压，仍使所有α粒子都不能到达A板，可以在A、B间加一个垂直纸面的匀强磁场，该匀强磁场的磁感应强度B必须符合什么条件?
2．如图所示的坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。在x轴上方空间的第一、第二象限内，既无电场也无磁场，在第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面（纸面）向里的匀强磁场，在第四象限，存在沿y轴负方向、场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带电质点，从y轴上y = h处的P1点以一定的水平初速度沿x轴负方向进入第二象限。然后经过x轴上x=-2h处的P2点进入第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运动。之后经过y轴上y=-2h处的P3点进入第四象限。已知重力加速度为g。试求：
【解析】题中带电微粒在叠加场中作匀速直线运动，意味着微粒受到的重力、电场力和磁场力平衡。进一步的分析可知：洛仑兹力f与重力、电场力的合力F等值反向，微粒运动速度V与f垂直，如图2。当撤去磁场后，带电微粒作匀变速曲线运动，可将此曲线运动分解为水平方向和竖直方向两个匀变速直线运动来处理，如图3。由图2可知：
A、d随v0增大而增大，d与U无关
B、d随v0增大而增大，d随U增大而增大
C、d随U增大而增大，d与v0无关
D、d随v0增大而增大，d随U增大而减小
解析：带电粒子射出电场时速度的偏转角为θ，如图所示，有： ，又 ，而 ，A正确．
2．在如图所示的空间区域里，y轴左方有一匀强电场，场强方向跟y轴负方向成30°角，大小为E=4．0×105N/C，y轴右方有一垂直纸面的匀强磁场，有一质子以速度υ0= 2.0×106m/s由x轴上A点（OA= 10cm）第一次沿轴正方向射入磁场，第二次沿x轴负方向射入磁场，回旋后都垂直射入电场，最后又进入磁场，已知质子质量m为1．6×10-27kg，求：
（3）两次质子以相同的速度和夹角进入电场，所以在电场中运动的时间相同．
由x=υ0t和y=××t2以及tan30°=
由以上解得t==×10-7s．
类型二：带电粒子在叠加场里的运动
例2:在某个空间内有一个水平方向的匀强电场，电场强度 ，又有一个与电场垂直的水平方向匀强磁场，磁感强度B＝10T。现有一个质量m＝2×10-6kg、带电量q＝2×10-6C的微粒，在这个电场和磁场叠加的空间作匀速直线运动。假如在这个微粒经过某条电场线时突然撤去磁场，那么，当它再次经过同一条电场线时，微粒在电场线方向上移过了多大距离。（ｇ取10m／S2）