四川省巴中市巴彦淖尔市中学高三数学理测试题含解析

四川省巴中市巴彦淖尔市中学高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：
①若②若
③若④若
其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
2. 已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点
到双曲线的渐近线的距离为2，若是上两点且，则直线与轴的交点的纵坐标为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
3. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：
①f（f（x））=1；
②函数f（x）是偶函数；
③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：A
【考点】2K：命题的真假判断与应用；5B：分段函数的应用．
【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；
②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；
③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；
④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．
【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，
∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，
∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
即真命题的个数是4个，
故选：A．
【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
4. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（）
A． B． C．( D．
参考答案：
B
略
5. 已知复数，且为实数，则
A.3
B.2
C.
D.
参考答案：
C
略
6. 已知sin（﹣θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（）A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】根据三角函数的诱导公式结合同角的三角函数关系式以及弦化切进行化简即可．
【解答】解：由sin（﹣θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），
得cosθ﹣3cosθ=﹣sinθ，
即﹣2cosθ=﹣sinθ，得sinθ=2cosθ，即tanθ=2，
则sinθcosθ+cos2θ═===，
故选：C．
7. 某程序框图如图2所示，现将输出值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的A.32 B.24 C.18 D.16
参考答案：
A
8. 已知g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),那么f()等于( )
(A)15 (B)1 (C)3 (D)30
参考答案：
A
略
9. 设实数满足约束条件，则的取值范围是
A． B． C． D．
参考答案：
C
10. 根据某市环境保护局公布2008～2013这六年的空气质量优良的天数，绘制成折线图如图，根据图中的信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是
A. 300
B. 302.5
C. 305
D. 310
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，
于D ，若AD =1，
，则圆O 的面积是_________。

参考答案：
，4 略 12. 若点在直线
上,则
=
．
参考答案： － 2
13. 抛物线x 2
=4y 的准线方程为 ．
参考答案：
y=﹣1
考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题．
分析： 由抛物线x 2=2py （p ＞0）的准线方程为y=﹣即可求得抛物线x 2=4y 的准线方程．
解答： 解：∵抛物线方程为x 2=4y ，
∴其准线方程为：y=﹣1． 故答案为：y=﹣1．
点评： 本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题． 14. 如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线
与
所成角的大小是____________。

参考答案：
【命题立意】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，以及异面直线所成角的求法.
本题有两种方法，一、几何法：连接
，则
,又
，易知
，所以与所成角的大小是
；二、坐标法：建立空间直角坐标系，利
用向量的夹角公式计算得异面直线
与
所成角的大小是
.
15. 已知数列
是以
为公差的等差数列，
是其前项和，若
是数列
中的唯一最大项，
则数列的首项的取值范围是
.
参考答案：
16. 已知点是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.
参考答案：
略
17. 设AB 是椭圆的长轴，点C在上，且，若
AB=4
，
，则的两个焦点之间
的距离为________
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数在处的切线与直线垂直，函数
．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，若，求的最小值．
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）(3)
试题分析：（Ⅰ）由函数在处的切线斜率即为函数在处的导数，从而得出；（Ⅱ）函数存在单调递减区间，则在上有解，从而得出b的取值范围；(3)由，构造函数设由其单调性求出最小值.
所以设，所以在单调递减，
，
故所求的最小值是…………12分
考点：1.导数的应用；2.不等式；
19. 等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）令Cn=设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．
参考答案：
解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，
由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．
得，解得
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．
（Ⅱ）由a1=3，a n=2n+1得S n=n（n+2），
则n为奇数，c n==，
n为偶数，c n=2n﹣1．
∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）
=
==．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）由a1=3，a n=2n+1得S n=n（n+2）．则n为奇数，c n==．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，
由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．
得，解得
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．
（Ⅱ）由a1=3，a n=2n+1得S n=n（n+2），
则n为奇数，c n==，n为偶数，c n=2n﹣1．
∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）
=
==．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为:（为参数），M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与
C2的异于极点的交点为B，求.
参考答案：
（1）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
从而的参数方程为（为参数）
（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。

射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。

所以.
略
21. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上一点，点满足，点轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为
，与的异于极点的交点为，求.
参考答案：
（Ⅰ）设，则由条件知，由于在上，
，即，的参数方程为（为参数）；
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为，.
22. （12分）
某辆载有位乘客的公共汽车在到达终点前还有个停靠点（包括终点站）．若车上每位
乘客在所剩的每一个停靠点下车的概率均为，用表示这位乘客中在终点站下车的人数，求：
（I）随机变量的分布列；（II）随机变量的数学期望。

参考答案：
解析：（1）随机变量的所有可能取值为所以随机变量的分布列为
（2）∵随机变量
∴。