反比例函数单元备课
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时，函数递减。
二次函数定义
二次函数是形如 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a neq 0$ ）的函数，其图像是一个抛
物线。
二次函数性质
二次函数的开口方向取决于 系数 $a$ 的正负，当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下
。对称轴为 $x = fபைடு நூலகம்ac{b}{2a}$，顶点坐标为
流和讨论。
教师对各组的展示进行点评和总 结，肯定学生的探究成果，并指
出需要改进的地方。
06 课堂小结与作业 布置
关键知识点总结回顾
01
反比例函数的定义和性质
回顾反比例函数的基本概念，包括定义域、值域、图像等，强调其独特
性质，如函数图像为双曲线，且随着自变量的增大，函数值逐渐减小。
02
反比例函数的解析式
重点：反比例函数图像和性质
反比例函数的定义域和值域
01
明确反比例函数在定义域内取值不为0，值域为全体实数。
反比例函数的图像特征
02
掌握反比例函数图像的基本形状，理解图像关于原点对称的性
质。
反比例函数的性质
03
理解并掌握反比例函数在定义域内的单调性、奇偶性等性质。
难点：复杂情境下反比例问题建模
实际问题中的反比例关系
伸缩变换
通过伸缩变换可以改变反比例函数图像的形状和大小，但不影响其性质。伸缩后的反比例 函数解析式为 $y = frac{k}{|x| cdot n}$（$n > 0$），其中 $n$ 为伸缩因子。当 $n > 1$ 时，图像缩小；当 $0 < n < 1$ 时，图像放大。
03 重点难点剖析与 解决方法
相似题型训练
训练题1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）的图像经 过点 $B(3,4)$，求该反比例函数的解析式。
训练题2
已知反比例函数 $y = frac{m}{x}$（$m > 0$）与一次函 数 $y = ax + c$（$a neq 0$）的图像交于点 $M(4,3)$ 和 $N(2,n)$，求这两个函数的解析式。
忽视定义域的限制
强调反比例函数的定义域为x≠0，提醒学生在解 题时注意检查自变量的取值范围。
3
误用性质定理
提醒学生正确理解和运用反比例函数的性质定理 ，避免在解题过程中出现逻辑错误或计算失误。
作业布置及要求
练习题
布置适量与反比例函数相关的练习题，包括求解析式、绘制图像、解决实际问题等类型，以巩固学生对知识点的掌握 。
例题2
已知反比例函数 $y = frac{m}{x}$（$m > 0$）与一次 函数 $y = kx + b$（$k neq 0$
）的图像交于点 $P(2,1)$ 和 $Q(1,n)$，求这两个函数的解析
式。
例题3
已知反比例函数 $y = frac{2k 1}{x}$ 的图像上有两点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，且 $x_1 < x_2$，$y_1 < y_2$，求 $k$
的取值范围。
解题思路梳理
对于反比例函数的解析式求解，通常 利用待定系数法，将已知点的坐标代 入函数解析式，解出待定系数。
对于反比例函数图像上点的坐标特征 问题，根据反比例函数的性质，分析 并列出不等式求解参数取值范围。
对于反比例函数与一次函数的交点问 题，联立两个函数的解析式，解方程 组求出交点坐标，进而求出函数的解 析式。
训练题3
已知反比例函数 $y = frac{3 - k}{x}$ 的图像上有两点 $C(x_3, y_3)$，$D(x_4, y_4)$，且 $x_3 < 0 < x_4$， $y_3 < y_4$，求 $k$ 的取值范围。
05 学生自主探究活 动设计
分组探究：不同情境下反比例关系寻找
情境一
时间与速度。提供不同交通工具 （如汽车、自行车）行驶相同距 离所需时间的数据，让学生探究 时间与速度之间的反比例关系。
总结反比例函数的一般形式，即y=k/x（k≠0），并解释k的几何意义，
即图像上任意一点的横纵坐标之积为定值k。
03
反比例函数的图像和性质
回顾反比例函数的图像特征，包括中心对称性、渐近线等，并强调其与
正比例函数图像的异同点。
易错易混问题提醒
1 2
混淆反比例函数与正比例函数
提醒学生注意区分反比例函数与正比例函数的概 念和性质，特别是在解析式和图像方面的差异。
情境二
面积与边长。给定不同形状（如正 方形、长方形、圆形）的面积，让 学生计算并比较各形状边长与面积 之间的反比例关系。
情境三
重力与距离。提供地球与月球之间 引力与距离的数据，引导学生发现 重力与距离之间的反比例关系。
实践操作
选择适当的数学软件（如 GeoGebra、Desmos等）， 介绍软件的基本功能和操作方 法。
建议选用初中数学通用教材，同时结合实际情况和学生特点 进行适当的补充和调整。在教材使用过程中，注意与其他相 关内容的联系和整合。
02 基础知识回顾与 拓展
一次函数、二次函数回顾
一次函数定义
一次函数性质
一次函数是形如 $y = kx + b$（其中 $k neq 0$）的函
数，其图像是一条直线。
一次函数的增减性取决于斜 率 $k$ 的正负，当 $k > 0$ 时，函数递增；当 $k < 0$
借助图形计算器或计算机软件，展示反比例函数的图象，帮助学生直观理解函数性 质。
通过比较正比例函数与反比例函数的异同，加深学生对函数关系的认识。
教学目标与要求
01
02
03
知识与技能
掌握反比例函数的概念、 图象和性质，能进行简单 的函数运算和问题解决。
过程与方法
通过探究、观察、归纳、 类比等方法，培养学生的 数学思维和自主学习能力 。
小组讨论
组织学生进行小组讨论，探讨实 际问题中的反比例关系，分享建 模经验和求解方法，提高学生的 思维能力和解决问题的能力。
04 典型例题解析与 思路拓展
典型例题选讲
例题1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）的图 像经过点 $A(2,3)$，求该反比例
函数的解析式。
反比例函数模型的求解
能够识别实际问题中的反比例关系， 如速度、时间、路程等问题。
能够运用反比例函数的性质和相关数 学知识，对模型进行求解和分析。
反比例函数的建模过程
理解并掌握将实际问题抽象为反比例 函数模型的方法和步骤。
解决方法：案例分析、小组讨论
案例分析
通过具体案例的分析，引导学生 理解并掌握反比例函数的图像和 性质，以及复杂情境下反比例问 题的建模方法和求解技巧。
思考题
提供具有挑战性和思考价值的题目，引导学生深入探究反比例函数的性质和应用，培养学生的创新思维和解决问题的 能力。
作业要求
要求学生独立完成作业，按时提交，并鼓励学生在遇到问题时主动寻求帮助和讨论。同时，教师将对作 业进行及时批改和反馈，帮助学生了解自己的学习情况和进步空间。
THANKS
感谢观看
图形变换在反比例函数中应用
平移变换
通过平移变换可以改变反比例函数图像的位置，但不影响其形状和性质。平移后的反比例 函数解析式为 $y = frac{k}{x - h} + k_1$，其中 $(h, k_1)$ 为平移向量。
对称变换
反比例函数图像关于原点对称，因此可以通过对称变换得到其在其他象限的图像。例如， 关于 $y$-轴对称的反比例函数解析式为 $y = -frac{k}{x}$。
让学生输入反比例函数的表达 式，并调整参数观察函数图像 的变化。
引导学生通过比较不同反比例 函数的图像，总结反比例函数 图像的特征和性质。
分享交流：各组展示成果，互相评价学习
每组选择一名代表，向全班展示 本组在探究活动中所取得的成果 ，包括找到的反比例关系、绘制
的函数图像等。
其他同学可以针对展示内容提出 问题或建议，促进全班同学的交
$left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
反比例函数定义及性质
反比例函数定义
反比例函数是形如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）的函数，其图像分布在 两个象限内。
反比例函数性质
反比例函数的图像关于原点对称，且在每一象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐 渐减小。当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，图像位于第 二、四象限。
情感态度与价值观
感受数学与实际生活的联 系，培养学生的数学应用 意识和创新精神。
教材分析与选用
教材分析
本单元内容选自初中数学教材，是在学生已经掌握了一次函 数和正比例函数的基础上进行的拓展延伸。通过本单元的学 习，学生将进一步理解函数的概念和性质，为后续学习二次 函数、三角函数等打下基础。
教材选用
反比例函数单元备课
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾与拓展 • 重点难点剖析与解决方法 • 典型例题解析与思路拓展 • 学生自主探究活动设计 • 课堂小结与作业布置
01 课程介绍与目标
反比例函数概念引入
通过实际情境和具体问题，引导学生感受反比例关系，理解反比例函数的概念。
二次函数定义
二次函数是形如 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a neq 0$ ）的函数，其图像是一个抛
物线。
二次函数性质
二次函数的开口方向取决于 系数 $a$ 的正负，当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下
。对称轴为 $x = fபைடு நூலகம்ac{b}{2a}$，顶点坐标为
流和讨论。
教师对各组的展示进行点评和总 结，肯定学生的探究成果，并指
出需要改进的地方。
06 课堂小结与作业 布置
关键知识点总结回顾
01
反比例函数的定义和性质
回顾反比例函数的基本概念，包括定义域、值域、图像等，强调其独特
性质，如函数图像为双曲线，且随着自变量的增大，函数值逐渐减小。
02
反比例函数的解析式
重点：反比例函数图像和性质
反比例函数的定义域和值域
01
明确反比例函数在定义域内取值不为0，值域为全体实数。
反比例函数的图像特征
02
掌握反比例函数图像的基本形状，理解图像关于原点对称的性
质。
反比例函数的性质
03
理解并掌握反比例函数在定义域内的单调性、奇偶性等性质。
难点：复杂情境下反比例问题建模
实际问题中的反比例关系
伸缩变换
通过伸缩变换可以改变反比例函数图像的形状和大小，但不影响其性质。伸缩后的反比例 函数解析式为 $y = frac{k}{|x| cdot n}$（$n > 0$），其中 $n$ 为伸缩因子。当 $n > 1$ 时，图像缩小；当 $0 < n < 1$ 时，图像放大。
03 重点难点剖析与 解决方法
相似题型训练
训练题1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）的图像经 过点 $B(3,4)$，求该反比例函数的解析式。
训练题2
已知反比例函数 $y = frac{m}{x}$（$m > 0$）与一次函 数 $y = ax + c$（$a neq 0$）的图像交于点 $M(4,3)$ 和 $N(2,n)$，求这两个函数的解析式。
忽视定义域的限制
强调反比例函数的定义域为x≠0，提醒学生在解 题时注意检查自变量的取值范围。
3
误用性质定理
提醒学生正确理解和运用反比例函数的性质定理 ，避免在解题过程中出现逻辑错误或计算失误。
作业布置及要求
练习题
布置适量与反比例函数相关的练习题，包括求解析式、绘制图像、解决实际问题等类型，以巩固学生对知识点的掌握 。
例题2
已知反比例函数 $y = frac{m}{x}$（$m > 0$）与一次 函数 $y = kx + b$（$k neq 0$
）的图像交于点 $P(2,1)$ 和 $Q(1,n)$，求这两个函数的解析
式。
例题3
已知反比例函数 $y = frac{2k 1}{x}$ 的图像上有两点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，且 $x_1 < x_2$，$y_1 < y_2$，求 $k$
的取值范围。
解题思路梳理
对于反比例函数的解析式求解，通常 利用待定系数法，将已知点的坐标代 入函数解析式，解出待定系数。
对于反比例函数图像上点的坐标特征 问题，根据反比例函数的性质，分析 并列出不等式求解参数取值范围。
对于反比例函数与一次函数的交点问 题，联立两个函数的解析式，解方程 组求出交点坐标，进而求出函数的解 析式。
训练题3
已知反比例函数 $y = frac{3 - k}{x}$ 的图像上有两点 $C(x_3, y_3)$，$D(x_4, y_4)$，且 $x_3 < 0 < x_4$， $y_3 < y_4$，求 $k$ 的取值范围。
05 学生自主探究活 动设计
分组探究：不同情境下反比例关系寻找
情境一
时间与速度。提供不同交通工具 （如汽车、自行车）行驶相同距 离所需时间的数据，让学生探究 时间与速度之间的反比例关系。
总结反比例函数的一般形式，即y=k/x（k≠0），并解释k的几何意义，
即图像上任意一点的横纵坐标之积为定值k。
03
反比例函数的图像和性质
回顾反比例函数的图像特征，包括中心对称性、渐近线等，并强调其与
正比例函数图像的异同点。
易错易混问题提醒
1 2
混淆反比例函数与正比例函数
提醒学生注意区分反比例函数与正比例函数的概 念和性质，特别是在解析式和图像方面的差异。
情境二
面积与边长。给定不同形状（如正 方形、长方形、圆形）的面积，让 学生计算并比较各形状边长与面积 之间的反比例关系。
情境三
重力与距离。提供地球与月球之间 引力与距离的数据，引导学生发现 重力与距离之间的反比例关系。
实践操作
选择适当的数学软件（如 GeoGebra、Desmos等）， 介绍软件的基本功能和操作方 法。
建议选用初中数学通用教材，同时结合实际情况和学生特点 进行适当的补充和调整。在教材使用过程中，注意与其他相 关内容的联系和整合。
02 基础知识回顾与 拓展
一次函数、二次函数回顾
一次函数定义
一次函数性质
一次函数是形如 $y = kx + b$（其中 $k neq 0$）的函
数，其图像是一条直线。
一次函数的增减性取决于斜 率 $k$ 的正负，当 $k > 0$ 时，函数递增；当 $k < 0$
借助图形计算器或计算机软件，展示反比例函数的图象，帮助学生直观理解函数性 质。
通过比较正比例函数与反比例函数的异同，加深学生对函数关系的认识。
教学目标与要求
01
02
03
知识与技能
掌握反比例函数的概念、 图象和性质，能进行简单 的函数运算和问题解决。
过程与方法
通过探究、观察、归纳、 类比等方法，培养学生的 数学思维和自主学习能力 。
小组讨论
组织学生进行小组讨论，探讨实 际问题中的反比例关系，分享建 模经验和求解方法，提高学生的 思维能力和解决问题的能力。
04 典型例题解析与 思路拓展
典型例题选讲
例题1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）的图 像经过点 $A(2,3)$，求该反比例
函数的解析式。
反比例函数模型的求解
能够识别实际问题中的反比例关系， 如速度、时间、路程等问题。
能够运用反比例函数的性质和相关数 学知识，对模型进行求解和分析。
反比例函数的建模过程
理解并掌握将实际问题抽象为反比例 函数模型的方法和步骤。
解决方法：案例分析、小组讨论
案例分析
通过具体案例的分析，引导学生 理解并掌握反比例函数的图像和 性质，以及复杂情境下反比例问 题的建模方法和求解技巧。
思考题
提供具有挑战性和思考价值的题目，引导学生深入探究反比例函数的性质和应用，培养学生的创新思维和解决问题的 能力。
作业要求
要求学生独立完成作业，按时提交，并鼓励学生在遇到问题时主动寻求帮助和讨论。同时，教师将对作 业进行及时批改和反馈，帮助学生了解自己的学习情况和进步空间。
THANKS
感谢观看
图形变换在反比例函数中应用
平移变换
通过平移变换可以改变反比例函数图像的位置，但不影响其形状和性质。平移后的反比例 函数解析式为 $y = frac{k}{x - h} + k_1$，其中 $(h, k_1)$ 为平移向量。
对称变换
反比例函数图像关于原点对称，因此可以通过对称变换得到其在其他象限的图像。例如， 关于 $y$-轴对称的反比例函数解析式为 $y = -frac{k}{x}$。
让学生输入反比例函数的表达 式，并调整参数观察函数图像 的变化。
引导学生通过比较不同反比例 函数的图像，总结反比例函数 图像的特征和性质。
分享交流：各组展示成果，互相评价学习
每组选择一名代表，向全班展示 本组在探究活动中所取得的成果 ，包括找到的反比例关系、绘制
的函数图像等。
其他同学可以针对展示内容提出 问题或建议，促进全班同学的交
$left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
反比例函数定义及性质
反比例函数定义
反比例函数是形如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）的函数，其图像分布在 两个象限内。
反比例函数性质
反比例函数的图像关于原点对称，且在每一象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐 渐减小。当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，图像位于第 二、四象限。
情感态度与价值观
感受数学与实际生活的联 系，培养学生的数学应用 意识和创新精神。
教材分析与选用
教材分析
本单元内容选自初中数学教材，是在学生已经掌握了一次函 数和正比例函数的基础上进行的拓展延伸。通过本单元的学 习，学生将进一步理解函数的概念和性质，为后续学习二次 函数、三角函数等打下基础。
教材选用
反比例函数单元备课
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾与拓展 • 重点难点剖析与解决方法 • 典型例题解析与思路拓展 • 学生自主探究活动设计 • 课堂小结与作业布置
01 课程介绍与目标
反比例函数概念引入
通过实际情境和具体问题，引导学生感受反比例关系，理解反比例函数的概念。