2021-2022学年基础强化沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形综合训练试卷(无超纲)

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形综合训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，钝角ABC 中，2∠为钝角，AD 为BC 边上的高，AE 为BAC ∠的平分线，则DAE ∠与1∠、2∠之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（ ）
A ．21DAE ∠=∠-∠
B ．212DAE ∠-∠∠=
C ．212DAE ∠∠=-∠
D ．122DA
E ∠+∠∠=
2、下列各条件中，不能作出唯一的ABC 的是（ ）
A ．4A
B =，5B
C =，10AC =
B ．5AB =，4B
C =，30A ∠=︒ C ．90A ∠=︒，30B ∠=︒，5BC =
D ．60A ∠=︒，50B ∠=︒，5AB =
3、如图，AB DF ∥，AC CE ⊥于点C ，BC 与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，则CED ∠等于（ ）
A ．20°
B ．50°
C ．70°
D ．110°
4、若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（ ）
A ．110°
B ．70°
C ．35°
D ．55°
5、如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，点E 、F 在AD 两侧，BF CE ∥，BF CE =，添加下列条件不能判定ACE DBF ≌的是（ ）
A ．AE DF =
B ．AB CD =
C ．E F ∠=∠
D ．A
E D
F ∥
6、如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 是等腰三角形；②DE ＝BD +CE ；③若∠A ＝50°，则∠BFC ＝115°；④DF ＝EF ．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7、有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②等腰三角形一
腰上的高与底边的夹角与顶角互余；③等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴；④等腰三角形两腰上的中线相等．其中正确的说法有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A ．10
B ．15
C ．17
D ．19
9、如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 边中点，则下列结论不正确．．．
的是（ ）
A ．∠
B ＝∠
C B ．A
D ⊥BC C ．∠BAD ＝∠CAD D ．AB ＝2BC
10、将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（ ）
A ．SSS
B ．SAS
C ．ASA
D ．AAS
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，连接BD ，BD 平分ABC ∠，E 是直线AD 上一点，8AB =，2DE =，则AE 的长为________．
2、如图，上午9时，一艘船从小岛A 出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B 处，若从灯塔C 处分别测得小岛A 、B 在南偏东34°、68°方向，则小岛B 处到灯塔C 的距离是
______海里．
△≌ECB．
3、如图，点C是线段AB的中点，DA EC
∥．请你只添加一个条件，使得DAC
（1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
△与ECB全等的理由是______．
（2）依据所添条件，判定DAC
4、若一条长为24cm的细线能围成一边长等于9cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为
_____cm．
5、如图，上午9时，一艘船从小岛A处出发，以12海里/时的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、已知：如图，点B 、C 在线段AD 的异侧，点E 、F 分别是线段AB 、CD 上的点，∠AEG ＝∠AGE ，∠C ＝∠DGC ．
（1）求证：AB //CD ；
（2）若∠AGE +∠AHF =180°，求证：∠B =∠C ；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC =4∠C ，求∠D 的度数．
2、命题：如图，已知,AC EF AC FE =∥，A D B F ,,,共线，（1），那么ABC FDE ∆≅∆．
（1）从①AB FD =和②BC DE =两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；
（2）根据你选择的条件，判定ABC FDE ∆≅∆的方法是________；
（3）根据你选择的条件，完成ABC FDE ∆≅∆的证明．
3、如图，AD 是ABC 的中线，分别过点C 、B 作AD 及其延长线的垂线，垂足分别为F 、E ．
（1）求证：CFD BED ≅△△；
（2）若ACF 的面积为8，CFD △的面积为6，求ABE △的面积．
4、一个零件形状如图所示，按规定A ∠应等于75°，B 和C ∠应分别是18°和22°，某质检员测得114BDC ∠=︒，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．
5、如图，在等边ABC 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，将ACD △沿AD 翻折得到AED ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点F ，连接CF ．
（1）若20CAD ∠=︒，求CBF ∠的度数；
（2）若a CAD ∠=，求CBF ∠的大小；
（3）猜想CF ，BF ，AF 之间的数量关系，并证明．
6、如图，ABC 是等边三角形，∥DE BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．
（1）求证：ADE 是等边三角形；
（2）点F 在线段DE 上，点G 在ABC 外，BF CG =，ABF ACG ∠=∠，求证：AF FG =．
7、在四边形ABCD 中，AB BC ∥，点E 在直线AB 上，且DE CE =．
（1）如图1，若90DEC A ∠=∠=︒，3BC =，2AD =，求AB 的长；
（2）如图2，若DE 交BC 于点F ，DFC AEC ∠=∠，求证：BC AB AD =+．
8、如图，点D 在AC 上，BC ，DE 交于点F ，BA BD =，BC BE =，ABD CBE ∠=∠．
（1）求证：ABC DBE ≌；
（2）若20ABD ∠=︒，求∠CDE 的度数．
9、人教版初中数学教科书八年级上册第36、37页告诉我们作一个角等于已知角的方法： 已知：∠AOB ．
求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．
作图：
（1）以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点C 、D ；
（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；
（3）以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D ′；
（4）过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案写在相应的横线上）．
证明：由作图可知，在△O ′C ′D ′和△OCD 中，
________O C OC C D OD ''=⎧''==⎪⎨⎪⎩
， ∴△O ′C ′D ′≌ ，
∴∠A ′O ′B '＝∠AOB ．
（2）这种作一个角等于已知角的方法依据是 ．（填序号）
①AAS ；②ASA ；③SSS ；④SAS
10、如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB =DE ，∠B =∠E ，BF =CE ．求证：AC =DF ．
-参考答案-
一、单选题
1、
B
【分析】
根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论．【详解】
解：由三角形内角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE=1
2∠BAC=1
2
（180°-∠2-∠1）．
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．
又∵∠ABD=180°-∠2，
∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，
∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+1
2（180°-∠2-∠1）=1
2
（∠2-∠1）．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系．
2、B
【分析】
根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果．
【详解】
解：A、AB BC AC
+<，不能组成三角形；
B、根据SSA不可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
C、根据AAS可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
D 、根据ASA 可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系，解题关键在于对全等判定条件的理解．
3、C
【分析】
由AC CE ⊥与20A ∠=︒，即可求得ABC ∠的度数，又由AB DF ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED ∠的度数．
【详解】
解：∵AC CE ⊥，
∴90C ∠=︒，
∵20A ∠=︒，
∴70ABC ∠=︒，
∵AB DF ∥，
∴70CED ABC ∠=∠=︒．
故选：C ．
【点睛】
题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
4、C
【分析】
先求出与这个外角相邻的内角的度数为110︒，再根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
解：等腰三角形的一个外角是70︒，
∴与这个外角相邻的内角的度数为18070110︒-︒=︒，
∴这个等腰三角形的顶角的度数为110︒，底角的度数为1
(180110)352
⨯︒-︒=︒， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理等知识点，判断出等腰三角形的顶角的度数为110︒是解题关键．
5、A
【分析】
根据题意，可得,BE CE FBD ECA =∠=∠，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．
【详解】 解：BF CE ∥
∴FBD ECA ∠=∠ A. ,BE CE FBD ECA =∠=∠，AE DF =，不能根据SSA 证明三角形全等，故该选项符合题意；
B. AB CD =
AB BC BC CD ∴+=+
AC BD ∴=
,BE CE FBD ECA =∠=∠,
∴ACE DBF ≌()SAS
故能判定ACE DBF ≌，不符合题意； C. ,BE CE FBD ECA =∠=∠,E F ∠=∠，
∴ACE DBF ≌()ASA ，故能判定ACE DBF ≌，不符合题意；
D.AE DF ∥
A D ∴∠=∠
,BE CE FBD ECA =∠=∠
∴ACE DBF ≌()AAS ，故能判定ACE DBF ≌，不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
6、C
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答．
【详解】
解：∵BF 是∠AB 的角平分线，
∴∠DBF ＝∠CBF ，
∵DE ∥BC ，
∴∠DFB ＝∠CBF ，
∴∠DBF ＝∠DFB ，
∴BD ＝DF ，
∴△BDF 是等腰三角形；故①正确；
同理，EF ＝CE ，
∴DE ＝DF +EF ＝BD +CE ，故②正确；
∵∠A ＝50°，
∴∠ABC +∠ACB ＝130°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴
11
,
22
FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，
∴∠FBC+∠FCB＝1
2
（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；
当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，
但△ABC不一定是等腰三角形，
∴DF不一定等于EF，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键．
7、B
【分析】
根据轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质判断即可．
【详解】
解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确；
②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与底角互余，原说法错误；
③等腰三角形的顶角平分线在它的对称轴上，原说法错误；
④等腰三角形两腰上的中线相等，说法正确．
综上，正确的有①④，共2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质是解题的关键．
8、C
【分析】
等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
9、D
【分析】
根据等腰三角形的等边对等角的性质及三线合一的性质判断．
【详解】
解：∵AB＝AC，点D是BC边中点，
∴∠B＝∠C，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
故选：D．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
10、A
【分析】
根据三根木条即为三角形的三边长，利用全等三角形判定定理确定唯一三角形即可得．
【详解】
解：三根木条即为三角形的三边长，
即为利用SSS 确定三角形，
故选：A ．
【点睛】
题目主要考查利用全等三角形判定确定唯一三角形，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
二、填空题
1、6或10
【分析】
先利用平行线的性质和等角对等边的性质得到AB=AD ，再根据点E 在D 的左边和右边分别求解即可；
【详解】
∵BD 平分ABC ∠，
∴ABD CBD ∠=∠，
∵AD BC ∥，
∴ADB CBD ∠=∠，
∴ABD ADB ∠=∠，
∴ABD △是等腰三角形，
∴AB AD =，
当点E 在线段AD 上时，
∵8AB =，2DE =，
∴826AE AD DE =-=-=，
当点E 在线段AD 延长线上时，
∵8AB =，2DE =，
∴8210AE AD DE =+=+=；
故答案是：6或10．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，先证出AB=AD 是解题的关键． 2、20
【分析】
根据题干所给的角的度数，易证ABC 是等腰三角形，而AB 的长易求，即可根据等腰三角形的性质，得出BC 的值．
【详解】
解：据题意得，3468A DBC ∠=︒∠=︒，．
∵DBC A C ∠=∠+∠，即6834C ︒=︒+∠，
∴34A C ∠=∠=︒，
∴AB BC =． 由题意可知这艘船行驶的时间为
1005=603（小时）． ∴5
12203AB =⨯=（海里），
∴20BC =（海里）．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，再用数学知识解决实际问题．
3、AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）（答案不唯一）SAS
【分析】
（1）由已知条件可得两个三角形有一组对应边相等，一组对应角相等，根据三角形全等的判定方法添加条件即可；
（2）根据添加的条件，写出判断的理由即可．
【详解】
解：（1）添加的条件是：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）
故答案为：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）
（2）若添加：AD=CE
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC
∵DA EC
∥
∴A BCE
∠=∠
∴DAC
△≌ECB(SAS)
故答案为：SAS
【点睛】
本题主要考查了添加条件判断三角形全等，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键．
4、9或7.5或9
【分析】
分9是底边和腰长两种情况，分别列出方程，求解即可得到结果．
【详解】
解：若9cm为底时，腰长应该是1
2
（24-9）=7.5cm，
故三角形的三边分别为7.5cm、7.5cm、9cm，
∵7.5+7.5=15＞9，
故能围成等腰三角形；
若9cm为腰时，底边长应该是24-9×2=6，
故三角形的三边为9cm、9cm、6cm，
∵6+9=15＞9，
∴以9cm、9cm、6cm为三边能围成三角形，
综上所述，腰长是9cm或7.5cm，
故答案为：9或7.5．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
5、20
【分析】
根据所给的角的度数，容易证得BCA
∆是等腰三角形，而AB的长易求，所以根据等腰三角形的性质，BC的值也可以求出．
【详解】
解：据题意得，34
A
DBC
∠=︒，
∠=︒，68
∠=∠+∠，
DBC A C
A C
∴∠=∠=︒，
34
∴=，
AB BC
5
AB=⨯=，
1220
3
∴=（海里）．
20
BC
故答案是：20．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识进行解决实际问题的方法．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）见解析；（3）108°
【分析】
（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；
（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．
【详解】
证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC
∴∠AEG=∠C
∴AB//CD
（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°
∴∠DGC+∠AHF=180°
∴EC//BF
∴∠B=∠AEG
由（1）得∠AEG=∠C
∴∠B=∠C
（3）由（2）得EC//BF
∴∠BFC +∠C =180°
∵∠BFC =4∠C
∴∠C =36°
∴∠DGC =36°
∵∠C +∠DGC +∠D =180°
∴∠D =108°
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
2、
（1）①
（2）SAS
（3）见解析
【分析】
（1）根据全等三角形的判定方法分析得出答案；
（2）根据（1）直接填写即可；
（3）利用SAS 进行证明．
（1）
解：∵AC EF ∥，
∴∠A =∠F ，
∵AC=EF ，
∴当AB FD =时，可根据SAS 证明ABC FDE ∆≅∆；
当BC DE =时，不能证明ABC FDE ∆≅∆，
故答案为：①；
（2）
解：当AB FD =时，可根据SAS 证明ABC FDE ∆≅∆，
故答案为：SAS ；
（3）
证明：在△ABC 和△FDE 中，
AC EF A F AB FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABC FDE ∆≅∆．
【点睛】
此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 3、
（1）见解析
（2）ABE △的面积为20．
【分析】
（1）根据已知条件得到E CFD ∠=∠、BD CD =，然后利用全等三角形的判定，进行证明即可．
（2）分别根据ACF 和CFD △的面积，用CF 表示AF 、D F ，通过CFD BED ≅△△，得到BE CF =，DE DF =，用CF 表示出AE 的长，最后利用面积公式求解即可．
（1）
（1）解：由题意可知：90E CFD ∠=∠=︒
AD 是ABC 的中线
BD CD ∴=
在CFD ∆与BED ∆中
CDF BDE C CFD E D BD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩
∴∆∆()CFD BED AAS ≌．
（2） 解：ACF 的面积为8，CFD △的面积为6．
182
AF CF ∴⋅=，即16AF CF = 162
DF CF ⋅=，即12DF CF = 由（1）可知：CFD BED ∆∆≌
BE CF ∴=，12DE DF CF
== 40AE AF DF DE CF ∴=++= 1202
ABE S AE BE ∆∴=⋅=． 【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练根据条件证明三角形全等，利用其性质，证明对应边相等，这是解决本题的关键．
4、不合格，理由见解析
【分析】
延长BD 与AC 相交于点E ．利用三角形的外角性质，可得1A B ∠=∠+∠，BDC BEC C ∠=∠+∠，即可求解．
【详解】
解：如图，延长BD 与AC 相交于点E ．
∵1∠是ABE △的一个外角，75A ∠=︒，18B ∠=︒，
∴1751893A B ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
同理可得9322115BDC BEC C ∠=∠+∠=︒+︒=︒
∵李师傅量得114BDC ∠=︒，不是115°，
∴这个零件不合格．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
5、（1）20°；（2）CBF α∠=；（3）AF = CF +BF ，理由见解析
【分析】
（1）由△ABC 是等边三角形，得到AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，
∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，则∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ，
()1180=802
ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠，∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°； （2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，先证明△AEF ≌△ACF 得到
∠AFE =∠AFC ，然后证明∠AFE =∠AFC =60°，得到∠BFC =120°，即可证明F 、C 、G 三点共线，得到△AFG 是等边三角形，则AF =GF =CF +CG =CF +BF ．
【详解】
解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，
由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，
∴∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ， ∴()1180=802
ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠， ∴∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°；
（2）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB =AC ,∠BAC =∠ABC =60°，
由折叠的性质可知，EAD CAD α∠=∠=，AC =AE ，
∴602BAE BAC EAD CAD α∠=∠-∠-∠=︒- ，AB =AE ， ∴()1180=602
ABE AEB BAE α==︒-︒+∠∠∠， ∴CBF ABE ABC α∠=∠-∠=；
（3）AF = CF +BF ，理由如下：
如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，
∴AF =AG ，∠FAG =60°，∠ACG =∠ABF ，BF =CG
在△AEF 和△ACF 中，
=AE AC EAF CAF AF AF =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△AEF ≌△ACF （SAS ），
∴∠AFE =∠AFC ，
∵∠CBF +∠BCF +∠BFD +∠CFD =180°，∠CAF +∠CFA +∠ACD +∠CFD =180°，
∴∠BFD =∠ACD =60°，
∴∠AFE =∠AFC =60°，
∴∠BFC =120°，
∴∠BAC +∠BFC =180°，
∴∠ABF +∠ACF =180°，
∴∠ACG +∠ACF =180°，
∴F 、C 、G 三点共线，
∴△AFG 是等边三角形，
∴AF =GF =CF +CG =CF +BF ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
6、（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）由题意易得60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，然后根据平行线的性质可得60ADE AED ∠=∠=︒，进而问题可求证；
（2）连接AG ，由题意易得AB =AC ，然后可知△ABF ≌△ACG ，则有AF =AG ，进而可得∠FAG =60°，最后问题可求证．
【详解】
证明：（1）∵ABC 是等边三角形，
∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，
∵DE ∥BC ，
∴60,60ADE ABC AED ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒，
∴60ADE AED ∠=∠=︒，
∴ADE 是等边三角形；
（2）连接AG ，如图所示：
∵ABC 是等边三角形，
∴60BAC ∠=︒，AB =AC ，
∵BF CG =，ABF ACG ∠=∠，
∴△ABF ≌△ACG （SAS ），
∴,AF AG BAF CAG =∠=∠，
∵60BAF FAC BAC ∠+∠=∠=︒，
∴60CAG FAC FAG ∠+∠=∠=︒，
∴AFG 是等边三角形，
∴AF FG =．
【点睛】
本题主要考查全等三角形及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
7、（1）5；（2）证明见解析
【分析】
（1）推出∠ADE＝∠BEC，根据AAS证△AED≌△CEB，推出AE＝BC，BE＝AD，代入求出即可；
（2）推出∠A＝∠EBC，∠AED＝∠BCE，根据AAS证△AED≌△BCE，推出AD＝BE，AE＝BC，即可得出结论．
【详解】
（1）解：∵∠DEC＝∠A＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∥，∠A＝90°，
∵AD BC
∴∠B+∠A＝180°，
∴∠B＝∠A＝90°，
在△AED和△CEB中
A B
ADE BEC
，
DE EC
∴△AED≌△BCE（AAS），
∴AE＝BC＝3，BE＝AD＝2，
∴AB＝AE+BE＝2+3＝5．
∥，
（2）证明：∵AD BC
∴∠A＝∠EBC，
∵∠DFC＝∠AEC，
∠DFC＝∠BCE+∠DEC，∠AEC＝∠AED+∠DEC，
∴∠AED＝∠BCE，
在△AED和△BCE中
AED BCE
A EBC
，
DE EC
∴△AED≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE，AE＝BC，
∵BC＝AE＝AB+BE＝AB+AD，
即AB+AD＝BC．
【点睛】
本题考查了三角形的外角的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的运用，掌握“利用AAS证明两个三角形全等”是解本题的关键．
8、
（1）证明见解析；
（2）∠CDE=20°．
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABC≌△DBE；
（2）由全等三角形的性质可得∠C=∠E，由三角形的外角性质可求解．
（1）
证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即：∠ABC=∠DBE，
在△ABC 和△DBE 中，
BA BD ABC DBE BC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△DBE （SAS ）；
（2）
解：由（1）可知：△ABC ≌△DBE ，
∴∠C =∠E ，
∵∠DFB =∠C +∠CDE ，
∠DFB =∠E +∠CBE ，
∴∠CDE =∠CBE ，
∵∠ABD =∠CBE =20°，
∴∠CDE =20°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键． 9、
（1）CD ，O ′D ′，△OCD ，
（2）③
【分析】
（1）根据SSS 证明△D ′O ′C ′≌△DOC ，可得结论；
（2）根据SSS 证明三角形全等．
（1）
证明：由作图可知，在△D ′O ′C ′和△DOC 中，
O C OC C D CD O D OD ''=⎧⎪''=⎨⎪''=⎩
， ∴△O ′C ′D ′≌△OCD （SSS ），
∴∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．
故答案为：CD ，O ′D ′，△OCD ，
（2）
解：上述证明过程中利用三角形全等的方法依据是SSS ，
故答案为：③
【点睛】
本题考查三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10、见解析
【分析】
先由BF =CE 说明BC= EF ．然后运用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，最后运用全等三角形的性质即可证明．
【详解】
证明：∵BF= CE ，
∴BC= EF ．
在△ABC 和△DEF 中，
,,,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．
∴AC =DF ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC≌△DEF是解答本题的关键．。