5-5-3剪力图和弯矩图(精)

最大弯矩发生在梁跨中 点横截面上
ql 2 Mmax= 8
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
例5－5 绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图。
解 （1）求支座反力。
Fb Fa FA = ，FB = l l
（2）列剪力方程和弯矩方程 取图中的A点为坐标原点，建立x坐标轴。 因为AC、CB段的内力方程不同，所以必须分别列出。两 段的内力方程分别为
dFS ( x) q( x) dx
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
y
M(x)
q(x) M(x)+dM(x)
o x
FS (x)
x
FS(x)+d FS(x)
dx
dx [ M ( x) dM ( x)] 0 2 dM ( x) FS ( x) dx
M
o
0
M ( x) FS ( x)dx q( x)dx
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
例5－9 绘制图所示外伸梁弯矩图。
MC=0 MA= －F11m=－30 kNm
L MD ＝－F12m＋FAy1m=－15 kNm
R MD ＝－F12m＋FAy1m＋10 kNm =－5 kNm
ME= －F13m＋FAy2m＋10 kNm =10 kNm MF= FBy×2m－F2×1m=30 kNm
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
2. 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 （1）弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系 y q(x)
M(x) M(x)+dM(x)
o x
FS (x)
x
FS(x)+d FS(x)
dx
F
y
0
FS ( x) q( x)dx [ FS ( x) dFS ] 0
形成向下凸的尖角。
国家共享型教学资源库四川建源自职业技术学院由图可见，如果a＞b，则最 大剪力发生在CB段梁的任一 横截面上，其值为
FS
max

Fa l
最大弯矩发生在集中力F作
用的横截面上，其值为 Mmax=
Fab l ,剪力图在此处
改变了正、负号。如果 l Fl a=b= ，则Mmax= 2 4
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
例5－6 绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图。 解 （1）求支座反力。 Me FA FB l （2）列剪力方程和弯矩方程。
AC段：
FS ( x) FA Me l
（0＜x≤a )
M ( x) FA x
Me x l
（0≤x＜a）
Me l
CB段：
FSL B －3qa qa 2qa
x=2a
1 qa2 qa a 2 2
R AB段： FSA =－qa＋FA=2qa
FSD=0
注：
FSE FSR A qx 2qa qx 0
（4） 绘弯矩图。 CA段： MC = 0 AB段：
MA=－
3a 3qa2 ME =FA×2a－ 3qa 2 2 1 qa2 MB = 2 qa a 2
MB=0
AC为无荷载作用段，用直线把相邻两控制点相连即可。在AE段D截面处 有集中力偶作用，弯矩图在D处出现突变 ，突变值等于集中力偶矩的大小。
EF、FB段上分别作用有均布荷载、集中荷载，先用虚直线分别连接两相
邻控制点，EF段在虚直线的基础上叠加上相应简支梁在均布荷载作用下 的弯矩图，FB段在虚直线的基础上叠加上相应简支梁在跨中受集中荷载
当端部集中力偶MA和MB和跨间均布荷载q 共同作用时，利用叠加原理将图b的Mm图 和图c的Mq图叠加，得到梁的弯矩图如图d 所示。
弯矩图的叠加，是指纵坐标的叠加。
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
（2）区段叠加法 即将梁分为若干段，在每个区段上利用叠加原理绘制弯矩图。 步骤：
1）选取梁上的外力不连续点（如集中力作用点、集中力偶 作用点、分布荷载作用的起点和终点等）作为控制截面，求 出控制截面上的弯矩值，从而确定弯矩图的控制点。 2）如控制截面间无均布荷载作用时，用直线连接两控制点 就绘出了该段的弯矩图。如控制截面间有均布荷载作用时， 先用虚直线连接两控制点，然后以此虚直线为基线，叠加上 该段在均布荷载单独作用下的相应简支梁的弯矩图，从而绘 出该段的弯矩图。
（1）求支座反力。
FA =FB =3qa
(2) 由微分关系判断各段的 FS , M 形状。 CA AB BD
载荷
q C 0
q C 0
q C 0
FS 图
M 图
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
（3）绘剪力图。 CA段： FSC = 0
R BD段： FSB qa
qa FSL A －
点和终点。
②定形。根据各段梁上所受外力情况，判断各梁段的剪 力图和弯矩图的形状。 ③定点。根据各梁段内力图的形状，计算特殊截面上的 剪力值和弯矩值（如该段内力图是斜直线，只需确定两
个点；如是抛物线，一般需确定三个点）。
④绘图。逐段绘制剪力图和弯矩图。
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
例5－7 绘制图所示外伸梁的剪力图和弯矩图。
四川建筑职业技术学院
（2）内力方程法
用与梁轴线平行的x轴表示横截面的位置，以横截面上的剪
力值或弯矩值为纵坐标，按适当的比例绘出剪力方程或弯矩方 程的图线，这种图线称为剪力图或弯矩图。
剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧，并标
明正负号。
弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧，即将
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
AC段：
FS ( x) FA
M ( x) FA x
Fb l
Fb x l
（0＜x＜a )
（0≤x≤a）
CB段：
FS ( x) FA F Fa l
（a＜x＜l )
M ( x) FB (l x)
Fa (l x ) l
作用下的弯矩图。绘出全梁的弯矩图如图所示。
国家共享型教学资源库
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
按照叠加原理，当梁上同时作用几个荷载时，可以 先分别求出每个荷载单独作用下梁的弯矩，然后进行叠 加(求代数和)，即得这些荷载共同作用下的弯矩。
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
跨间均布荷载q 荷载 端部集中力偶荷载MA和MB
当端部力偶MA和MB单独作用时，梁的弯矩 图（Mm图）为一直线，如图b所示。 当跨间均布荷载q单独作用时，梁的弯矩图 （Mq图）为二次抛物线，如图c所示。
dx2 略去二阶微量 q( x) 2
dFS ( x) q( x) dx dM ( x) FS ( x) dx
，得：
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
四川建筑职业技术学院
国家共享型教学资源库
剪力、弯矩与外力间的关系
载荷
q ( x) 0
qC 0 qC 0
F
Mo
水平直线
FS 图 +
弯矩图绘在梁的受拉侧，而不须标明正负号。
此法称为内力方程法，这是绘制内力图的基本方法。
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
例5－4 绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图。 解 （1）求支座反力。 FA= FB=
ql 2
（2）列剪力方程和弯矩方程
FS ( x) FA qx ql qx 2
（0＜x＜l )
x 2 ql q M ( x ) FA x q x x2 （0≤x≤l） 2 2 2 剪力在支座A、B两截面处有突变，剪力方程的适用范围用开区间的符号表示。
弯矩在支座A、B两截面处没有突变，弯矩方程的适用范围用闭区间的符号表示。
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
（a≤x≤l）
四川建筑职业技术学院
国家共享型教学资源库
（3）绘剪力图和弯矩图。
由剪力方程知，两段梁的剪力 图均为水平线。在向下的集中 力F作用的C处，剪力图出现 向下的突变，突变值等于集中
力的大小。
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
由弯矩方程知，两段梁的 弯矩图均为斜直线，但两
直线的斜率不同，在C处
or -
F
上斜直线 下斜直线
(剪力图 无突变)
Mo
斜直线
M 图
or
上凸 抛物线
下凸 抛物线
F处有尖角
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
（2）微分关系法
①分段。根据梁上所受外力情况将梁分为若干段。通常 选取梁上的外力不连续点（如集中力作用点、集中力偶 作用点、分布荷载作用的起点和终点等）作为各段的起
FS ( x) FB
M ( x) FB (l x)
（a≤x＜l )
国家共享型教学资源库
Me (l x) l
（a＜x≤l )
四川建筑职业技术学院
（3）绘剪力图和弯矩图
剪力图是一条直线。
弯矩图是两条互相平行的斜直线， C处截面上的弯矩出现突变，突变 值等于集中力偶矩的大小。
（3）绘剪力图和弯矩图。 剪力图是一条直线 。
ql x = 0，FSA= 2
x = l，FSB =
ql 2
最大剪力发生在靠近
两支座的横截面上
FS max ql 2
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
弯矩图是一条抛物线。 x = 0，MA = 0 x = l，MB= 0
l x= 2
ql 2 ,M = C 8
BD段： MD= 0
国家共享型教学资源库
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
例5－8 绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图。
国家共享型教学资源库
四川建筑职业技术学院
3. 用区段叠加法绘制弯矩图
（1）叠加原理
由几个外力所引起的某一参数值，等于每个外力单独作用时 所引起的该参数值之总和。 注意：叠加原理只有在参数与外力成线性关系时才成立。
5－ 5 － 3
剪力图和弯矩图
1. 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图
（1）剪力方程和弯矩方程
若沿梁的轴线建立x轴，以坐标x表示梁的横截面的位置，则梁
横截面上的剪力和弯矩均可表示为坐标x的函数，即
FS FS ( x)， M M ( x)
以上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程 。
国家共享型教学资源库