北师大版27课标高中数学必修第二册第二章综合测试试题试卷含答案

第二章综合测试
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.()()AB MB BO BC OM ++++
化简后等于（）A .AM B .0C .0D .AC
2.已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ，若 AB OC
∥，则实数m 的值为（
）
A .
15
B .35
-
C .3-
D .17
-
3.ABC △三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()b c b c a b a +-=-，则内角C 等于（）
A .
6
πB .
3
πC .
23
πD .
56
π4.在ABC △中，1AB =，3AC =， 1AB AC ⋅=-
，则ABC △的面积为（）
A .
12
B .1
C
D .
2
5.已知向量(,2)a x =，(2,)b y =，(2,4)c =-，且a c ∥，b c ⊥，则a b -=（）
A .3
B C D .6.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15BCD ∠=︒，
30BDC ∠=︒，30CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB=（）
A .
B .米
C .米
D .7.已知点P 是ABC △的内心（三个内角平分线交点），外心（三条边的中垂线交点），重心（三条中线交点），
垂心（三个高的交点）之一，且满足222AP BC AC AB ⋅=-
，则点P 一定是ABC △的（）A .内心
B .外心
C .重心
D .垂心
8.如图，在等腰直角ABC △中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂
足为F ，则AF =
（）
A .3155A
B A
C + B .21 55
AB AC + C .481515AB AC + D .841515
AB AC +
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是（）
A .00a ⋅=
B .()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅C .0a b a b
⋅=⇒⊥D .22
()()||||a b a b a b +⋅-=-10.点P 是ABC △所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=
，则ABC △的形状不可能是（
）
A .钝角三角形
B .直角三角形
C .等腰三角形
D .等边三角形
11.已知向量(1,3)OA =- ，(2,1)OB =- ，(1,2)OC k k =+-
，若ABC △中A 为钝角，则实数k 的值可以是（）
A .1
B .2
3
-
C .1-
D .2
-12.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）
A .在ABC △中，若A
B ＞，则sin sin A B ＞B .在锐角AB
C △中，不等式sin cos A B ＞恒成立
C .在ABC △中，若cos cos a A b B =，则ABC △必是等腰直角三角形
D .在ABC △中，若60B =︒，2b ac =，则ABC △必是等边三角形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设向量(3,0)a =-，(2,6)b =-，则b 在a 上的投影为________.
14.已知向量a ，b 满足||1a =，b =()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的大小是________.
15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2AD DC AB ==，E 为AD 的中点，若
CA CE DB λμ=+
，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）
16.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3
A π
=，a =A 的平分线交边BC
于点D ，其中AD =，则ABC S =△________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知两个非零向量a 与b 不共线，2OA a b =- ，3OB a b =+ ，5OC ka b =+
.
（1）若20OA OB OC -+=
，求k 的值；
（2）若A ，B ，C 三点共线，求k 的值.
18.已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(3,1)c =-，t ∈R .（1）求a tb ＋的最小值及相应的t 值；（2）若a tb -与c 共线，求实数t .
19.如图所示，在ABC △中，已知45B =︒，D 是BC 边上的一点，6AD =，AC =，4DC =.
（1）求ADC ∠的大小；（2）求AB 的长.
20.在①222b ac a c =＋＋，② cos sin a B b A =，③sin cos B B +=的问题中，并解决该问题.
已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ________，3
A π
=，b =，求ABC △的面积.（已知562sin
124
π=）21.已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P ，连接AP ，用向量法证明：（1）BE CF ⊥；（2）AP AB =.
22.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(2a a =，(,sin )b c C =，且a b ∥.（1）求角A ；
（2）若2c ，且ABC △的面积为
2
，求AC 边上的中线BM 的大小.
第二章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】()()
AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=
.
2.【答案】C
【解析】因为(3,1)AB OB OA =-= ，又AB OC
∥，所以()312m m ⨯+=，3m ∴=-.
3.【答案】B
【解析】由()()()b c b c a b a +-=-得2
2
2
a b c ab +-=，即2221
22
a b c ab +-=，1cos 2C ∴=，又0C π＜＜，
3
C π
∴=
.4.【答案】C
【解析】||cos 13cos 1AB AC AB AC A A ⋅==⨯⨯=-
，
1
cos 3
A ⋅∴=-，
sin 3A ∴⋅==，
1
sin 2
ABC S AB AC A ∴=
⋅⋅△，1221323
=⨯⨯⨯，=
5.【答案】B
【解析】a c ∥，b c ⊥，
440
440x y --=⎧∴⎨
-=⎩
，1
1x y =-⎧∴⎨=⎩
即(1,2)a =-，(2,1)b =(3,1)a b ∴-=-，
||a b ∴-=
6.【答案】D
【解析】因为15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，所以135CBD ∠=︒，在BCD △中，根据正弦定理可知
sin sin CD BC CBD BDC =∠∠，即30 sin135sin 30BC
︒=︒
，解得BC =，
因为在Rt ABC △
中，tan 60AB
BC
︒==
，所以AB ==（米）.7.【答案】B
【解析】设BC 的中点为M ，22
2AP BC AC AB ⋅=- ，()()
AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-+ ，
()
2AP BC BC AC AB ∴⋅=⋅+ ，
()
20BC AC AB AP ∴⋅+-=
，
()BC AC AP AB AP ∴⋅-+- ，即()
0BC PC PB ⋅+=
，
即 20BC PM ⋅=
，∴点P 与BC 的中点连线与BC 垂直，即点P 一定是ABC △的外心.8.【答案】D
【解析】设6BC =，则3AB AC ==，2BD DE EC ===
，
AD AE ==，101044
cos 2105
DAE +-∠=
=⨯，
所以
4
5AF AF AD AE ==，所以45AF AD = ，因为()
1121 3333
AD AB BC AB AC AB AB =+=+-=+
所以42184 53315
15AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭
.
二、
9.【答案】CD
【解析】00a ⋅= ，∴A 中结论错误；向量的数量积不满足结合律，∴B 中结论错误；当0a b ⋅=，a 与b 的夹角为90︒，即a b ⊥，∴C 中结论正确；D 中结论正确.10.【答案】ACD
【解析】 P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=
，||)()0CB PB PA PC PA ∴--+-= ∣∣，
即||CB AB AC =+ ∣，即||||AB AC AB AC -=+
，
两边平方化简得 0AC AB ⋅=
，AC AB ∴⊥ ，
90A ∠∴=︒则ABC △一定是直角三角形.
11.【答案】CD
【解析】由已知(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-
，所以(1,2),(,1)AB AC k k ==+
，因为A 为钝角，
所以0AB AC ⋅
＜，所以(1,2)(,
1)0k k ⋅+＜，
所以320k +＜，解得2
3k -＜，即实数k 应满足的条件2
3
k -＜.
12.【答案】ABD
【解析】对于A ，在ABC △中，由正弦定理可得
sin sin a b
A B
=，所以sin sin A B a b A B ⇔⇔＞＞＞，故A 正确；对于B ，在锐角ABC △中，A ，0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且2A B π+＞，则022A B ππ-＞＞＞，
所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
＞，故B 正确；对于C ，在ABC △中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可
得sin 2sin 2A B ⋅=⋅，得到22A B =或22A B π=-，故A B =或2
A B π
=
-，即ABC △是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对于D ，在ABC △中，若60B =︒，2b ac =，由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以22ac a c ac =+-，即()2
0a c -=，解得a c =，又60B =︒，所以ABC △必是等边三角形，故D 正确，
故选ABD .三、13.【答案】2
【解析】 cos ,a b b a a b ⋅= ，
∴向量b 在a 方向的投影为cos ,2
b b a b a a =⋅==.14.【答案】
34
π
【解析】()a a b ⊥+ ，
()0a a b ∴⋅+=，20a a b ∴+⋅=，
2cos ,a b b a a a b ∴⋅==-
，cos ,2a b ∴==-，
又[]0a b π∈,,，
∴故a 与b 的夹角为34
π.15.【答案】
65或25
【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，不妨设1
AB =则D （0,0），C （2,0），A （0,2），B （1,2），E （0,1），(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=
，CA CE DB λμ=+
，(2,2)(2,1)(1,2)λμ∴-=-+，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨
+=⎩，解得65
25λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.16.
【答案】【解析】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：222()3112b c bc b c bc +-=+-=
，
)11sin sin c
22224
ABC ACD ABD A A S S S b AD c AD b =+=⋅+⋅=+△△△，
又1 sin 2ABC S bc A ==
△，)33344bc b c
∴=+
，13b c bc ∴+=，()2
131129bc bc ∴-=，解得：48bc =，48ABC S ∴=
=△.四、
17.【答案】（1）()22235(3)0OA OB OC a b a b ka b k a -+=---++=+=
，3k ∴=-，
（2）由题意知4AB OB OA a b =-=-+
，()26AC OC OA k a ba =-=-+ ，
A ，
B ，
C 三点共线，∴设AC AB λ=
，即()264k a b a b λλ-+=-+，
264k λλ
-=-⎧∴⎨
=⎩，解得12
k =
.18.【答案】（1）(3,2),(2,1),(3,1)a b c =-==- ，
()()()3,22,132,2a tb t t t ∴+=-+=-++
，
a t
b ∴+===当且仅当4
5
t =
时取等号，即a tb -的最小值为755.
（2）()()()3,22,132,2a tb t t t -=-+=--- ，又a tb -与c 共线，31c =-（，）
，()()()321230t t ∴--⨯---⨯=，解得35
t =
.19.【答案】（1）在ADC △中，6AD =，2AC =，4DC =，
由余弦定理得2223616761cos 22642
AD DC AC ADC AD DC ∠+-+-===-⨯⨯⨯⨯，
又0180ADC ︒∠︒ ＜＜，120ADC ∴∠=︒.（2）由（1）知60ADB ∠=︒，
在ABD △中，6AD =，45B =︒，60ADB ∠=︒，
由正弦定理，得 sin sin AB AD ADB B =∠
，
6sin sin 22
AD ADB
AB B
⨯∠∴=
=
.20.
【答案】若选择①222b a c +=+，
由余弦定理22222
cos 222
a c
b B a
c ac +-===，
因为0,B π∈（），所以4
B π
=，由正弦定理
sin sin a b
A B
=，
得sin sin 3 sin 22
b A
a B
π
=
=因为34A B ππ=
=，所以53412
C ππππ=--=，
所以11sin 22ABC S ab C =
=△，若选择②cos sin a B b A =，
则sin cos sin sin A B B A =，因为sin 0A ≠，所以sin cos ,B B =，因为(0,)B π∈，所以4
B π=，由正弦定理
sin sin a b
A B
=，
得sin sin 3 sin 22
b A
a B
π
=
=因为,34
A B ππ=
=，所以53412C πππ
π=--=，
所以113sin 2244
ABC S ab C ===△，
若选择③ sin cos B B +=，
4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 14B π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
因为(0,)B π∈，所以5 ,444
B πππ
⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，所以42B ππ+
=，所以4
B π=，由正弦定理sin sin a b
A B
=，
得sin sin 3 sin 22
b A
a B
π
=
=因为,34
A B ππ=
=，
所以53412
C ππππ=--=
，116233sin 2244
ABC S ab C ++===△.21.【答案】如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =
，则A （0，0），B （2，0），C （2，2），E （1，2），F （0，1），
（1）(1,2)(2,0)(1,2)
BE OE OB =-=-=- (0,1)(2,2)(2,1)
CF OF OC =-=-=-- ()()()12210
BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-= BE CF ∴⊥ ，即BE CF ⊥，
（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =- ，(2,)BP x y =-
，由（1）知(2,1)CF =-- ，(1,2)BE =- ，
FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即22x y =-，
同理，由BP BE ∥，得24y x =-+，
2224x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩，解得658
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，AP AB ∴= ，即AP AB =.
22.【答案】（1）因为a b ∥
，(2a a =，(),sin b c C =
，所以2sin a C =，
由正弦定理得2sin sin A C C ⋅=，
因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以sin 0C ≠，
所以sin 2
A =，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以3
A π=.
（2）因为ABC △的面积为
2，
所以1sin 2bc A =，因为 2,3
c A π==，所以3b =，在ABM △中，由余弦定理得2
222331132cos 4222224BM AM AB AB AM A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
，
所以BM =。