江苏省海安高级中学2020年12月数学学科测试试卷

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ln x i i 江苏省海安高级中学 2020 年 12 月数学学科测试试卷
参考公式：
1．随机变量 X 的方差 D ( X ) = ∑(x i =1
- μ) 2
p ，其中μ为随机变量 X 的数学期望.
2．球的体积公式：V =
4
πR 3 .
3
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合 M = {x | -4 < x < 2}， N = {x | x 2
- 5x - 6 < 0}
，则 M N = （
）
A ． {x | -1 < x < 2}
B ．{x | -4 < x < 2}
C ．{x | -4 < x < 6}
D ． {x | 2 < x < 6}
2．若 z = 2 + i ，则 z 2
- 2z =（
）
A ．0
B ．
C ．
D ．
3．已知 a , b ∈ R ，下列四个条件中，使 a < b 成立的充分不必要的条件是（
）
A ． a < b -1
B ． a < b +1
C ． a 2 < b 2
D ． a 3
< b 3
4．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为 25，小正 方形的面积为 1，若直角三角形较小的锐角为α，则 tan 2α的值为（ ） A ． 3
4
B ．
24
25
C ．
12 7
D ．
24 7
5．函数 f (x ) = x -
的图象大致为（ ）
x
6．已知随机变量 X 的概率分布如表所示.
n 13
11 3 X -1 a 1
P
1 6
1 3
1 2
当 a 在(-1,1) 内增大时，方差 D ( X ) 的变化为（ ）
A ．增大
B ．减小
C ．先增大再减小
D ．先减小再增大
7．在平行四边形 ABCD 中， M , N 分别为 AB , AD 上的点，连接 AC , MN 交于点 P .已知 AP = = 3 ， 若 ，则实数λ的值为（ ）
1
AC 且
3 AM AB
4 A ． 1 2 AN = λAD
B ． 3 5
C ． 2 3
D ． 3
4
8．三棱锥 A - BCD 中，∠ABC = ∠CBD = ∠DBA = 60︒ ， BC = BD = 2 ， ∆ACD 的面积为 ，则此
三棱锥外接球的体积为（ ）
A ．16π
B ． 4π
C ．
16π
D ．
32π
3
3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9．某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2020 年 2 月至 7 月 A , B 两景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（
）
A ．根据 A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[34, 35]内
B ．根据 B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势
C ．根据 A , B 两景区的旅游人数的折线图，可得 A 景区旅游人数极差比 B 景区大
D ．根据 A , B 两景区的旅游人数的折线图，可得 B 景区 7 月份的旅游人数比 A 景区多
10．已知 F 为抛物线 y 2
= 2 px ( p > 0) 的焦点，过点 F 且斜率为
的直线l 交抛物线于 A 、B 两点（点 A
2 y 第一象限），交抛物线的准线于点C ，则下列结论正确的是（
）
A ． AF = FC
B ． AF = 2 BF
C ． AB = 3 p
D ．以 AF 为直径的圆与 y 轴相切
11．下列命题正确的有（
）
A ．若 a > b > c ， ac > 0，则bc (a - c ) > 0
B ．若 x > 0, y > 0 ， x + y = 2 ，则 2x
+ 2y
的最大值为 4
C ．若 x > 0, y > 0 ， x + y = xy ，则 x + 2 y + xy 的最小值为5 + 2 a + 2
D ．若实数 a ≥ 2 ，则log a +1 (a + 2) <
a +1
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 f (x ) ，存在一个点 x 0 ，使得 f (x 0 ) = x 0 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 x 0 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（
）
A ．函数 f (x ) = sin x 有 3 个不动点
B ．函数 f (x ) = ax 2
+ bx + c (a ≠ 0)至多有两个不动点
C ．若定义在 R 上的奇函数 f (x ) ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D ．若函数 f (x ) [0,1]上存在不动点，则实数 a 满足1 ≤ a ≤ e （ e 为自然对数的底数）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知数列{a },{b }满足b = log a , n ∈ N +
，其中{b }是等差数列且 a a
= 2，则
n
n
n
2 n
n
10 2011
b 1 + b 2 + + b 2020 = .
14．双曲线C : x a 2 2
- = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线与圆 M : (x - 3) b 2 2 + y 2 = 8相交于 A 、 B 两点，
AB = 2 ，则双曲线的离心率等于
.
15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体 P - ABC 为鳖臑，
6 e x + x - a 2
2 2 ) [ , ]
n { } n
PA ⊥ 平面 ABC ， AB ⊥ BC ，且 PA = AB = 1, BC = ，则二面角 A - PC - B 的正弦值为
.
16．函数 f (x ) = sin(ωx +ϕ)(ω> 0, ϕ ≤ π
，已知(-
2 π
, 0) 为 f (x ) 图象的一个对称中心，直线 x = 13π
为 6 12 f (x ) 图象的一条对称轴，且 f (x ) 在 13π 19π
上单调递减.记满足条件的所有ω的值的和为 S ，则 S 的 12 12
值为 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在① cos 2B + 2 c os
2
B
= 1 ；② 2b sin A = a tan B ；③ (a - c ) sin A + c sin( A + B ) = b s in B 这三个条 2
件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 ∆ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ，若
，
（1）求角 B 的大小；
（2）若 a + c = 4，求 ∆ABC 的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．已知数列{a n }中， a 1 = 1，其前 n 项的和为 S n ，且满足 a =
2S 2 (n ≥ 2) .
（1）求证：数列 1
S n
是等差数列；
n
2S -1
1 (b +1)2
（2）设b n =
， c = n
，求数列{c n }的前 n 项和T n .
S
n
b ⋅ b
n
n
n +1
19．如图，在三棱锥 P - ABC 中， AB = BC = ， PA = PB = PC = AC = 2. （1）证明：平面 PAC ⊥ 平面 ABC ；
（2）若点 M 在棱 BC 上，且 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为
3 ，求 BM .
4
20．某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由 1 名男生和 2 名女生组成.比赛 中每人投篮 n 次（ n ∈ N *
），每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的.已知女生投篮命中的概率均为 1
.
3
男生投篮命中的概率均为 2
.
3
（1）当 n = 2 时，求小组共投中 4 次的概率；
（2）当 n = 1时，若三人都投中小组获得 30 分，投中 2 次小组获得 20 分，投中 1 次小组获得 10 分，三人都不中，小组减去 60 分，随机变量 X 表示小组总分，求随机变量 X 的分布列及数学期望.
21．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的长轴长为 4，离心率为 b
2 2 ，左右
顶点为 A , B ，斜率存在的直线l 与椭圆交于 M , N 两点（ M 在 x 轴上方，N 在 x 轴下方），记直线 MA , NB 的斜率分别为 k 1, k 2 . （1）求椭圆的标准方程；
（2）若 k 2 = 3k 1 ，证明：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标.
22．已知函数 f (x ) = e x
-1， g (x ) = sin x
（1）判断 F (x ) = f (x ) - g (x ) 在 x ∈[0, +∞)上零点的个数；
（2）当 x ∈[0,π]时， f (x ) ≥ ag (x )(a ∈ R ) 恒成立，求实数 a 的取值范围.
3 2。