宁夏吴忠市青铜峡市高级中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

宁夏吴忠市青铜峡市高级中学2019-2020学年高一数学上学期期末考
试试题（含解析）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知角θ的终边过点(12,5)P -，则cos θ的值为 A.
513
B.
1213
C. 513
-
D. 1213
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由三角函数的广义定义cos x
r
θ=
可得cos θ的值. 【详解】因为
12cos 13x r θ=
==，故选B.
【点睛】本题考查三角函数的概念及定义，考查基本运算能力. 2. 圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.
2
πcm 2
B.
32
πcm 2
C. πcm 2
D. 3πcm 2
【答案】B 【解析】 【分析】 ∵15°＝12
π
，∴l ＝
12
π
×6＝
2
π
(cm)， ∴S ＝
12lr ＝12×2
π×6＝32π(cm 2
)．
【详解】∵15°＝12
π
，∴l ＝
12
π
×6＝
2
π
(cm)， ∴S ＝
12lr ＝12×2π×6＝32π(cm 2)．
3.函数()23
log f x x x
=-的零点所在的大致区间是（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
【答案】C 【解析】 【分析】
分别求出()()23f f ，的值，从而求出函数的零点所在的范围． 【详解】由题意，()31
21022
f =-=-<，()23310f lo
g =->，所以()()2?30f f <，所以函数()23
f x lo
g x x
=-
的零点所在的大致区间是()2,3，故选C . 【点睛】本题考察了函数的零点问题，根据零点定理求出即可，本题是一道基础题． 4.已知3
cos 5
α=
，α是第四象限角，则tan α的值是( ) A.
34 B. 34
-
C.
43
D. 43
-
【答案】D 【解析】 【分析】
利用同角三角函数间的基本关系求出sin α的值，即可确定出tan α的值．
【详解】∵cos α3
5
=，α为第四象限角，
∴sin α45
==-，
则tan α4
3
=-．
故选D ．
【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 5.若指数函数x
y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（ ）
B.
12
- 【答案】D 【解析】 【分析】
指数函数单调性不确定，可以分类讨论.
【详解】指数函数x
y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1
则1
a
a 1--= 解得
故选D
【点睛】该题考查指数函数单调性，a>1,函数单调递增，0<a<1函数单调递减.
6.设1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，x ∈R ，那么()f x 是 A. 奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B. 偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C. 奇函数且在（0，＋∞）上是减函数 D. 偶函数且在（0，＋∞）上是减函数
【答案】D 【解析】
()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭满足()() f x f x =-，所以()f x 是偶函数； 当0x ∞∈（，＋）
时，()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，为减函数. 故选D.
7.在[]0,2π上，满足sin 2x ≥
的x
的取值范围是（ ） A. 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 5,44ππ⎡⎤⎢
⎥⎣
⎦ C. 3,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ D. 3,4ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
画出函数[]()
sin 0,2y x x π=∈和2y =
的图像，根据图像求得不等式sin 2
x ≥的解集.
【详解】如图所示，在同一坐标系内作出sin y x =在[]0,2π上的图像和2
y =
的图像.由图
可知：满足sin 2
x ≥的x
的取值范围是3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C.
【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8.已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4
，则2log (4)f 的值为（ ） A. 2 B. 4- C. 4 D. 2-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用待定系数法求出()f x 的表达式即可． 【详解】解：设()a
f x x =，
则1
(2)24a
f ==
，解得2a =-， 则211
(),(4)16
f x f x =∴=，
则()4
22log (4)log 24f -==-．
故选B ．
【点睛】本题主要考查函数值的
计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题
的关键．
9.下列函数中最小正周期为π的是（ ） A. sin y x =
B. sin y x =
C. tan
2
x
y = D.
cos 4y x =
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意逐一考查所给函数的最小正周期即可. 【详解】逐一考查所给函数的最小正周期：
A . y sinx =的最小正周期为π；
B . y sinx =的最小正周期为2π；
C . 2
x y tan =的最小正周期为212
π
π
=；
D . 4y cos x =的最小正周期为242
ππ=； 故选A .
【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期及其判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.函数
2
13
()log (32)f x x x =-+的单调递增区间为（ ） A. （－∞，1） B. （2，+∞） C. （－∞，
3
2
） D. （
3
2
，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】
根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为
13
log y x =为减函数,且定义域为()0,∞+.所以2
320x x -+>,即2x >或1x <
故求2
32y x x =-+的单调递减区间即可.又对称轴为32x =
,2
32y x x =-+在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭上
单调递减.又1x <,故
2
13
()log (32)f x x x =-+的单调递增区间为(),1-∞. 故选：A
【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间,需要注意对数函数的定义域,属于基础题型.
11.将函数sin(2)5y x π
=+的图象向右平移10
π个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间35[,]44
ππ
上单调递增 B. 在区间3[,]4
π
π上单调递减 C. 在区间53[,]42
ππ
上单调递增 D. 在区间3[
,2]2
π
π上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：
将sin 25y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
10
π
个单位长度之后的解析式为： sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤
⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.
则函数的单调递增区间满足：()2222
2
k x k k Z π
π
ππ-≤≤+
∈，
即()4
4
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦. 函数的单调递减区间满足：()32222
2
k x k k Z π
π
ππ+≤≤+
∈， 即()34
4
k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.设函数2(0)
()ln(1)2(0)
x bx c x f x x x ⎧++≤=⎨++>⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程
f(x)=x 的解的个数为（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C 【解析】 【分析】
首先利用(4)(0)f f -=，(2)2f -=-求得,b c 的值，然后结合()f x 图像，求得()f x x =解得个数.
【详解】依题意164422b c c b c -+=⎧⎨-+=-⎩，解得42b c =⎧⎨=⎩，所以242(0)()ln(1)2(0)
x x x f x x x ⎧++≤=⎨++>⎩，画出函
数()f x 图像和y x =的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，故()f x x =有3个解.
故选C.
【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查方程的解与函数图像交点的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题：本大题4小题,每小题５分,共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上. 13.7log 23log 27lg25lg47+-=______. 【答案】
32
【解析】 【分析】
根据指对数的运算法则求解即可. 【详解】7log 233133log 27lg 25lg 47log 27lg100222222
+-=
+-=+-= 故答案为：
3
2
【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题型.
14.若1
sin cos 5
ββ+=，()0,βπ∈，则tan β=__________． 【答案】43
- 【解析】 【
分析】
将等式1
sin cos 5
ββ+=
两边平方，可计算出2sin cos 0ββ<，由()0,βπ∈得出sin 0β>，cos 0β<，然后将代数式sin cos ββ-平方，可计算出sin cos ββ-的值，联立方程组，解
出sin β和cos β的值，然后利用同角三角函数的商数关系可求出tan β的值. 【详解】()0,βπ∈Q ，sin 0β∴>，将等式1
sin cos 5
ββ+=
两边平方得112sin cos 25ββ+=
， 得24
2sin cos 25
ββ=-，cos 0β∴<，则sin cos 0ββ->,
()2
2449
sin cos 12sin cos 12525ββββ-=-=+
=Q ，所以，7sin cos 5
ββ-=， 则有1sin cos 57
sin cos 5ββββ⎧
+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，解得4sin 5β=，3cos 5β=-，因此，sin 4tan cos 3βββ=
=-. 故答案为：4
3
-
. 【点睛】本题考查利用同角三角函数平方关系以及商数关系求值，在涉及sin cos θθ±值的计算时，一般将代数式平方来进行计算，考查计算能力，属于中等题. 15.函数()2sin(2),0,32f x x x π
π⎡⎤
=-
∈⎢⎥⎣⎦
的单调减区间___________ 【答案】5,122ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【解析】
当[0,]2x π∈时，ππ2π
2[,]333x -
∈-，由22233x πππ≤-≤，得5122
x ππ≤≤，所以减区间为5[
,]122
ππ
．
16.设函数()24f x sin x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则下列结论正确的是______.(写出所有正确命题的序号) ①函数()y f x =的递减区间为()37,88k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦； ②函数()y f x =的图象可由2y sin x =的图象向左平移π
8
得到； ③函数()y f x =的图象的一条对称轴方程为8
x π
=
；
④若7,242x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围是,12⎤⎥⎣⎦
． 【答案】①④ 【解析】 【分析】
利用正弦函数的单调性判断①；利用正弦函数图象的平移变换判断②；利用正弦函数的对称性判断③；利用正弦函数的图象判断④． 【详解】令()32222
4
2k x k k Z π
π
πππ+
≤-
≤+∈，解得()3788k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈，所以函数()y f x =的递减区间为()37,88k k k Z ππππ⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣
⎦
，故①正确； 由于sin 2sin 248x x ππ⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦，所以函数()y f x =的图象是由sin2y x =的图象向右平移
8π
得到的，故②错误； 令()242x k k Z πππ-=+∈，解得()328
k x k Z ππ
=+∈，所以函数()y f x =的图象的对称
轴方程为()328
k x k Z ππ=+∈，故③错误；
由于7,242x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦，所以32,434x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当3244x ππ-=时，()2
min f x =，当24
2
x π
π
-
=
时，()1max f x =，故④正确，故答案为①④．
【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、对称性、最值以及三角函数图象的变化规律，属于中档题．函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个
整体，由
22
k x π
πωϕ+≤+≤
()322
k
k Z π
π+∈求得函数的减区间，222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间.
三、解答题：本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.已知tan 2α=， （1）求值：
sin cos sin cos αα
αα
+-；
（2）求值：5sin cos cos()
22cos(7)sin(2)sin()
ππααπαπαπαπα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+-+. 【答案】（1）3（2）1
2
【解析】 【分析】
Ⅰ. 利用弦化切，即可得出结论． Ⅱ了由诱导公式化简，根据已知可得结论 【详解】Ⅰ.
sin cos tan 121
3.sin cos tan?121
αααααα+++===---
Ⅱ()()()()()()()()5sin cos cos cos sin -cos 1122.cos 7sin 2sin -cos -sin -sin tan 2
ππααπααααπαπαπααααα⎛⎫⎛⎫
+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-+ 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，属基础题.
18.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)A ωϕπ>><，它的部分图象如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式； （2）当5,1212x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，求函数()f x 的值域.
【答案】(1) ()2sin(2)6
f x x π
=-;(2) 2⎡⎤⎣⎦. 【解析】 试题分析：
（1）依题意，2,,A T π==则2ω=， 将点,23π⎛⎫
⎪⎝⎭
的坐标代入函数的解析式可得()26
k k Z π
ϕπ=-
∈，故=6π
ϕ-
，函数解析式为()226f x sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
（2）由题意可得2236
3
x π
π
π
-
≤-
≤
， 结合三角函数的性质可得函数()f x 的值域为
2⎡⎤⎣⎦
. 试题解析：
（1）依题意，22,4,2312A T ππππωω⎛⎫
==-=== ⎪⎝⎭
， 故()()22f x sin x ϕ=+.
将点,23π⎛⎫
⎪⎝⎭
的坐标代入函数的解析式可得213sin πϕ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
， 则()26
k k Z π
ϕπ=-
∈，πϕ
<又，故=6
π
ϕ-
，
故函数解析式为()226f x sin x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
. （2）当5,1212x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，22363x πππ-≤-≤ ，
则2126sin x π⎛
⎫-
≤-≤ ⎪⎝
⎭，2226sin x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，
所以函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.
点睛：求函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)在区间[a ，b ]上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝Asin (ωx ＋φ)＋k 的形式或y ＝Acos (ωx ＋φ)＋k 的形式．
第二步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin (ωx ＋φ)(或cos (ωx ＋φ))的取值范围．
第三步：求出所求函数的值域(或最值)．
19.设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；
(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值.
【答案】（1）2a =；（2）2 【解析】 【分析】
（1）直接由(1)=2f 求得a 的值；
（2）由对数的真数大于0求得()f x 的定义域，判定()f x 在(1,3)-上的增减性，求出()f x 在
30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最值，即得值域． 【详解】解：(1)∵(1)=2f ，
∴(1)log 2log 2log 42a a a f =+==， ∴2a =；
(2)由1030x x +>⎧⎨->⎩
得(1,3)x ∈-，
∴函数()
f x 的
定义域为(1,3)-，
22222()log (1)log (3)log (1)(3)]log [[(1)4]f x x x x x x =++-=+---+=，
∴当(0,1)x ∈时，()f x 是增函数；当3(1,)2
x ∈时，()f x 是减函数， ∴函数()f x 在30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值是2(1)log 42f ==．
【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．
20.已知α是第三象限角，且()()()()()
3sin cos 2tan tan 2sin f ππαπααπαααπ⎛
⎫-----+ ⎪
⎝⎭=
--.
（1）若31
cos 2
5
πα⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，求()f α的值； （2）求函数()2
sin y f
x x =+，2,
6
3x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
的值域.
【答案】（1）(
)5
f α=（2）15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）利用诱导公式化简()f
α和3cos 2
π
α⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，再利用同角三角函数的基本关系即可得到()f α的值；
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数y 在2,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的值域． 【详解】解：（1）()cos sin cos (tan )sin cos sin f ααααααα
α
-⎛⎫
⋅⋅-⋅ ⎪-⎝⎭==-，31cos sin 25παα⎛
⎫
-
=-= ⎪
⎝
⎭
∴1sin 5α=-， Q α
是第三象限角，∴cos α=(
)f α=；
（2）22
2cos sin sin sin 1,,63y x x x x x ππ⎡⎤
=+=-++∈-
⎢⎥⎣
⎦， 令sin t x =，则1,12t ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
， 故()2
sin y f x x =+在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上值域等价于2
2
15124y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域； ∴当12t =
时，max 54y =，当1
2t =-时，min 14
y =
∴函数的值域是15,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】本题考查诱导公式
的
应用、同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，
二次函数在区间上的值域，属于中档题 21.已知函数()sin(2)14f x x π
=-+
+.
（1）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心； （2）当,242x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦时,方程()1f x m =-有解，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）对称中心为（28k ππ-，1），（k ∈Z ）．单调递增区间为[kπ8π+，kπ58
π
+]，（k ∈Z ）． （2）
[2
-
，1]. 【解析】 【分析】
（1）利用正弦函数的图象的对称性求得该函数的对称中心；利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y =sin （2x 4π+）在,242x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的最值即得m 的取值范围．
【详解】（1）∵函数f （x ）=-sin （2x 4
π
+）+1， ∴令2x 4
π
+
=kπ，解得x 28
k ππ=
-， ∴对称中心为（28
k ππ
-，1），（k ∈Z ）． 由y =sin （2x 4π+
）的减区间满足：2kπ2π+≤2x 4π
+≤2kπ32
π+，（k ∈Z ），解得kπ8π+≤x ≤kπ58
π+，
∴函数f （x ）=-sin （2x 4π+）+1的单调递增区间为[kπ8π+，kπ58
π
+]，（k ∈Z ）．
（2）方程()1f x m =-有解，即为sin （2x 4π+）=m 有解，令y =sin （2x 4
π
+）
则当,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，2x 4π+∈[3π
，54π]，
∴当2x 42
π
π
+=
，即x 8
π
=
时，函数y =sin （2x 4
π
+
）取得最大值1， 当2x 54
4π
π+
=
，即x 2π=时，函数f （x
）取得最小值 ∴y ∈
[2-
，1]，即m ∈
[2
-，1]. 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域以及它的图象的对称性，考查了方程有解的问题的转化，属于中档题．
22.已知函数2()1
ax b
f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且
1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）判断函数()f x 在(1,1)-上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t 的不等式，11022f t f t ⎛⎫⎛⎫
++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【答案】（1）2
()1x
f x x =+；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，证明见解析；（3）102
t -<<. 【解析】 【分析】
(1)根据函数奇偶性和题干得到(0)00f b =⇒=，12
25f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
进而求得参数；
（2）根据奇偶性和单调性得到11
2211121112t t t t ⎧+<-⎪⎪
⎪
-<+<⎨
⎪
⎪
-<-<⎪⎩
求解即可. 【详解】（1）(0)00f b =⇒=，212
1()25
1x f a f x x ⎛⎫=⇒=⇒= ⎪
+⎝⎭； （2）任取1211x x -<<<，
()()()()()()
()()12121212221
2
1011x x x x f x f x f x f x x x ---=
<⇒
<++
所以函数()f x 在(1,1)-上是增函数； （3）11112222f t f t f t f t ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
<--⇒+<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
110
2213
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311222t t t t t t t t ⎧⎧+<-⎪⎪<⎪⎪
⎪⎪-<+<⇒-<<⇒-<<⎨⎨
⎪⎪⎪⎪-<-<-<<⎪⎪⎩⎩
. 【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题；对于解不等式问题，一种方法是可以直接代入函数表达式，进行求解，一种方法是通过研究函数的单调性和奇偶性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系.。