江苏省徐州市丰县民族中学高二数学下学期第三次学情调

江苏省徐州市丰县民族中学2015-2016学年高二数学下学期第三次学情调
查试题 文
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1,3,9}，B ＝{1,5,9}，则A ⋂B ＝ ． 2．已知复数z 满足i z i 51)1(+-=+，则=z ． 3．写出命题“()11
,
,1<+∞∈∀x
x ”的否定： ． 4．函数)2ln(2
-=x y 的定义域为 . 5．已知角a 的终边经过点(),6P x -,且3
tan 5
a =-
,则x 的值为 6．“21<<x ”是“2<x ”成立的 （填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）条件．
7．我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比是1:4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ．
8．在R 上定义运算⊙：a ⊙b a ab b ++=2，则关于实数x 的不等式：x ⊙0)2(<-x 的解集．．为 ．
9．曲线x x y +=ln 3在点(1，1)处的切线方程为 ．
10．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递减，则不等式
)4()3(2f x x f <-的解集为 ．
11．若,1
()3,1
a
x f x x x a x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为 ．
12．已知[x]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.2]=1，[﹣1.5]=﹣2．若x 0是函数f （x ）=lnx ﹣的零点，则[x 0]= ． 13．已知x y +
∈R ,，满足41
1x y
-=，不等式()2230x y a a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤-=0
,340
,)2()(2
2x x x x e x x x f x
，k x f x g 3)()(-=，若函数)(x g 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题14分）已知复数1z 满足：11||13z i z =+-. 复数2z 满足：2(1)(32)4z i i i ⋅-+-=+.
（1） 求复数1z ，2z ；
（2） 在复平面内，O 为坐标原点，记复数1z ，2z 对应的点分别为A , B. 求△OAB 的面积.
16.已知在△ABC 中，sin()2sin()A B A B +=-． （1）若π
6
B =
，求A ； （2）若tan 2A =，求tan B 的值．
17．（本小题满分14分）
设命题:p 函数21
()lg()16
f x ax x a =-+
定义域为R ； 命题:q 不等式39x
x
a -<对任意R x ∈恒成立．
（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；
（2）如果命题“p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
18．（本小题满分16分）
我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f （x ）与第x 天近似地满足
（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g （x ）近似
地满足g （x ）=143﹣|x ﹣22|（元）．
（1）求该村的第x 天的旅游收入p （x ）（单位千元，1≤x ≤30，x ∈N *
）的函数关系；
（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？
19.本小题满分16分）已知函数()11
()212
x
f x x =+- （1）判定并证明函数的奇偶性；
（2）试证明()0f x >在定义域内恒成立；
（3）当[]1,3x ∈时，12()()02
m
f x x -⋅<恒成立，求m 的取值范围.
20．（本小题满分16分）
已知()ln 1f x x x =-+（x R +
∈），()1g x mx =-（0m >）. （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）设0x >，讨论函数()y f x =的图象与直线()1g x mx =-（0m >）公共点的个数； （3）若数列{}n a 的各项均为正数，11a =，
在2m =时，1()()2n n n a f a g a +=++（n N *∈），求证：21n n a ≤-.
高二数学（文科）试卷(参考答案)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1． {
}9,1 2．i 32+ 3． ()11
,,1≥+∞∈∃x
x 4．
），（），（∞+∞22--Y 5．10 6．“充分不必要7．1:27 8．{
}12<<-x x 9．34-=x y
10． ()4,1- 11．[1
2
，＋∞) 12．2
13．解：x y +∈R Q ,，()41445521y x y x x y x y x y x
y x y ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-+-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭g ≤， 当且仅当441 1.y x
x y x y
⎧=⎪⎪
⎨⎪-=⎪⎩，即21.x y =⎧⎨=⎩
，解得1x y -≤.令t x y =-，则1t ≤，
不等式2230t a a ⋅+-≥在(1]t ∈-∞，时恒成立.
当0a ≥时，显然不成立；当0a <时，2230ta a +-≥恒成立，即()2min
230t a a ⋅+-≥，
所以2230a a +-≥，解得32a -≤，则实数a 的取值范围是32⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，-.
14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤-=0
,340
,)2()(2
2x x x x e x x x f x
，k x f x g 3)()(-=，若函数)(x g 恰有两个不同的零点，
则实数k 的取值范围为 ▲ ．⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-2
3222,0)37,1(e Y 二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、解：（1）由11||13z i z =+-得111||3z z i =-+，所以可设13z x i =+ ………………2分
∴22
9(1)x x +=-， 解得4,x =- ∴143z i =-+
………………4分
而2(1)13z i i ⋅-=+，∴213(13)(1)
1212
i i i z i i ++⋅+===-+- ………………7分 （2）由（1）知，(4,3),(1,2),OA OB =-=-u u u r u u u r 又
||5,||5OA OB ==u u u r u u u r
由||||cos OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r
得，1055AOB =∠ ………………11分
∴cos 5AOB ∠=
∴sin 5
AOB ∠=
∴△OAB 的面积1155522
5S =
⋅⋅⋅= ………………14分
16.解:（1）由条件，得 ππ
sin()2sin()66A A +=-．
3131
sin cos 2(sin cos )2222
A A A A ∴
+=-． …………………………………………3分 化简，得 sin 3cos A A =．
tan 3A ∴=．……………………………………………………………………………6分 又(0,π)A ∈， π
3
A ∴=
． ………………………………………………………………7分 （2）sin()2sin()A B A B +=-Q ，
sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B ∴+=-．
化简，得 3cos sin sin cos A B A B =．…………………………………………………11分 又 cos cos 0A B ≠，
tan 3tan A B ∴=．又tan 2A =，
2
tan 3
B ∴=．……………………………………………………………………………14分
17．（本小题满分14分） 设命题:p 函数21
()lg()16
f x ax x a =-+
定义域为R ； 命题:q 不等式39x
x
a -<对任意R x ∈恒成立．
（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；
（2）如果命题“p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题意016
1
2
>+
-a x ax 对任意R x ∈恒成立， 当0=a 时，不符题意，舍去；
当0≠a 时，则20161
410>⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧<⋅-=∆>a a a a ，所以实数a 的取值范围是2>a ．（6分） （2）设)0(3>=t t x
，4
1)21()(2
2+
--=+-=t t t t g ，41)(max =t g ，
当q 为真命题时，有4
1
>
a ，（9分） ∵命题“p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，∴p 与q 一个为真，一个为假，
当p 真q 假，则⎪⎩⎪
⎨⎧≤>412a a ，无解，
（12分） 当p 假q 真，则241412
≤<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤a a a ．
（13分） 综上，实数a 的取值范围是
24
1
≤<a ．
（14分）
19．解：（1）依题意有p （x ）=f （x ）•g （x ） =（8+）（143﹣|x ﹣22|）（1≤x ≤30，x ∈N *
）
=； ……6分
（2）①当1≤x ≤22，x ∈N *
时， p （x ）=8x+
+976≥2
+976=1152（当且仅当x=11时，等号成立）
∴p （x ）min =p （11）=1152（千元）， …………10分
②当22＜x ≤30，x ∈N *
时， p （x ）=﹣8x++1312，
考察函数y=﹣8x+
，可知函数y=﹣8x+
在（22，30]上单调递减，
∴p （x ）min =p （30）=1116（千元）， …………14分
又1152＞1116，
∴日最低收入为1116千元．
该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元）． ∵803.52（万元）＞800（万元）， ∴该村在两年内能收回全部投资成本． …………16分
19.19. 解：（1）()11
(
)212x
f x x =+-为偶函数，证明如下： ()11
()212
x f x x =+-定义域为}{|0x x ≠关于原点对称， ……2分
对于任意}{
|0x x x ∈≠有
()11212111
()()()212212212
x x x
x x f x x x x --+-=-+=-=---- 1111
(1)()()212212x x
x x f x =+
-=+=--成立 所以()11
()212x f x x =+-为偶函数 ……5分
（2）因为()11
()212
x f x x =+-定义域为：}{|0x x ≠，
当0x >时，0
221,210x
x
>=∴->
110212x ∴
+>-，0x >，11
()()0212
x
f x x ∴=+>-恒成立， ……7分 当0x <时，所以0x ->，由（1）可知：()()0f x f x =-> ……9分 综上所述，()0f x >在定义域内恒成立 ……10分 （3）1
2()()02
m
f x x -⋅<恒成立对[]1,3x ∈恒成立，
∴1112(
)()02122
m
x
x x +-⋅<- ，∴111()2()2212m x >+- ， 令()11
2()212
x g x =+- 证明()11
2()212
x g x =+-在[1,3]上为减函数,
∴()()11
2(
)13212
x
g x g =+≤=-对[]1,3x ∈恒成立 ∴1()32m > 所以m 的取值范围是12
log 3m < …………16分
20．（本小题满分16分）
已知()ln 1f x x x =-+（x R +
∈），()1g x mx =-（0m >）. （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）设0x >，讨论函数()y f x =的图象与直线()1g x mx =-（0m >）公共点的个数； （3）若数列{}n a 的各项均为正数，11a =，
在2m =时，1()()2n n n a f a g a +=++（n N *
∈），求证：21n n a ≤-.
解：（1）求导11()1x
f x x x
-'=
-=
，由()0f x '=得1x =. 当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<.
所以函数()y f x =在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（4分）
（2）当0x >时，函数()y f x =的图象与直线()1g x mx =-（0m >）公共点的个数等价于曲线
ln 2
1x y x
+=
-与直线y m = （0m >）公共点的个数. 令ln 2()1x h x x +=-，则2
1ln ()x h x x +'=-，所以1
()0h e
'=. 当1
(0,)x e
∈时，()0h x '>，()h x 在1(0,)e 上是增函数；
当1(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在1
(,)e
+∞上是减函数.
所以，()h x 在(0,)+∞上的最大值为1
()10h e e
=->，
且21()10h e =-<，2
24()10h e e =-<.
如图：于是
① 当01m e <<-时，函数()y f x =的图象与直线()1g x mx =-（0m >）有2个公共点； ② 当1m e =-时，函数()y f x =的图象与直线()1g x mx =-（0m >）有1个公共点；
③ 当1m e >-时，函数()y f x =的图象与直线()1g x mx =-（0m >）有0个公共点.
（10分）
（3）由题意，正项数列{}n a 满足：11a =，1ln 2n n n a a a +=++
由（Ⅰ）知：()ln 1(1)0f x x x f =-+≤=，即有不等式ln 1x x ≤-（0x >） 由已知条件知0n a >，1ln 21221n n n n n n a a a a a a +=++≤-++=+，
x
y
O
1
e
1e -
故112(1)n n a a ++≤+，所以当2n ≥时，211
021a a +<
≤+，321021a a +<≤+，L ，121021
n n a a --+<≤+，11021n n a a -+<
≤+，以上格式相乘得: 111
021
n n a a -+<≤+，又11a =，故12n n a +≤，即21n n a ≤-，
对1n =也成立.所以有21n n a ≤-（n N *∈）（*）. （16分）。