正弦函数、余弦函数的图像和性质

4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质
【教学目标】
1.会用单位圆中的三角函数线画正弦函数的图像,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；
2.了解周期函数与最小正周期的意义,会求y=Asin(ωx+ψ)的周期,了解奇偶函数的意义,能判断函数的奇偶性；
3.通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质,培养学生的数形结合的能力；
4.简化正弦、余弦函数的绘制过程,会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图；
5.通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想. 【教学建议】 【知识结构】
【
本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质(定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性).正弦、余弦函数在实际生活中应用十分广泛,函数的图像和性质是应用的重要基础,也是解决三角函数的综合问题的基础,它能较好的综合三角变换的所有内容,可进一步深入研究其它函数的相关性质.函数图像可以直观的反映函数的性质,因此首先要掌握好函数图像形状特点,使学生将数、形结合对照掌握这两个函数.
本节难点是利用正弦线画出函数sin [0,2]y x x π=∈的图像,利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线,周期函数与最小正周期意义的理解.利用几何法画函数图像学生第一次接触,要先复习正弦线的做法,另外注意讲清正弦线平移后在x 轴上对应的角.通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系,利用诱导公式时先将cos cos()x x =- 为了只需要平移就可得到余弦函数.周期函数包含的内容较多,可以先让学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解,再通过定义严格说明,定义中x 的任意性可与奇偶性的定义对比讲解,周期、最小正周期的概念很抽象,学生理解有些困难,最好将定义分解讲解. 【教法建议】
1.讲三角函数图象时,由于描点法学生比较熟悉,可以先让学生自己作图,然后介绍几何法,这样既可以让学生对正弦函数图像大致形状有所了解,为后面“五点法”作图奠定基础,又可将两种方法加以对比.
2.用几何法作函数sin [0,2]y x x π=∈的图像前,首先复习函数线的作法,说明单位圆上的角与x 轴上数值的对应关系,作图过程要力求准确,以便学生正确认识曲线的建立过程.此处最好借助多媒体课件演示,表现的既准确又节省时间.得到函数sin [0,2]y x x π=∈的图像,利用诱导公式或利用三角函数线,把图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π(即一个最小正周期),即可得到函数sin y x x R =∈的图像.余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系,但要将x 前面的系数保证为正,这样只需要平移即可得到余弦函数的图像.余弦函数的图像
的几何作法可让学生课后自己去探索.
3.“五点法”作图在三角函数中应用较为广泛,让学生观察函数sin [0,2]y x x π=∈的图像,有五个点在确定图象形状时起着关键的作用,即最高点,最低点以及与x 轴的交点,因为只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时,常采用先描出这五个点来作函数简图的方法.适当增加些练习使学生熟练掌握这种方法.
4.对于函数的周期性,先通过正弦、余弦函数图像的重复出现的特点,让学生对周期有直观的认识,周期函数的定义也可叙述为:当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个)、函数值就重复出现时,这个函数就叫做周期函数.然后再给出严格定义.将定义的分解讲解,
使学生理解定义包含的要素,关键词语,如“如果存在”说明不是所有函数都有周期,“T ”要满足“非
零”和“常数”两个条件,当x 取定义域内的每一个值时”这一提法,这里要特别注意“每一个值”四个字.如果函数()f x 不是当x 取定义域内的“每一个值”时,都有()()f x T f x +=,那么T 就不是()f x 的周期.例如sin(
)sin
4
2
4
π
π
π
+
=,但是sin(
)sin 6
26π
π
π+
≠,就是说2
π
不能对于x 在定义域内的每一个值都有sin()sin 2
x x π
+
=,因此
2
π
不是sin x 的周期.最小正周期可让学生按上述分析方法进行分析.另外可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解,对学生理解和掌握周期函数概念将是有益的:
如果函数f(x)对于定义域里的每一个值,都有 (1)()()f x f x -=,那么()f x 叫做偶函数；
(2)()()f x f x -=-,那么()f x 叫做奇函数；
(3)()()f x T f x +=,其中T 是不为零的常数,那么()f x 叫做周期函数.
对sin()y A x ωϕ=+函数的周期,要让学生从周期定义上理解:周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个数,这个数是针对x 而言的,如果对2x 而言,而每增加2π,sin 2x 的值就重复出现；但对自变量x 而言,每增加π, sin 2x 的值就能重复出现,因此sin 2x 的周期是π.如果不设辅助未知数,本例的解答可写为:
()
s i n 2s i n (22)s i n 2(f x x x x f x πππ==+=+=+, 即()f x 中的x 以x +π代替,函数值不变,所以sin 2x 的周期为π.由此可知,三角函数的周期
与自变量x 的系数有关.
5.让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、奇偶性、单调性等,最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出,使学生在函数图像和性质建立对应关系,这对学生进一步掌握函数sin ,cos y x y x ==的性质有很大帮助.因此应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线.
6.要注意数学语言和数学方法的训练,如“必须并且只需”,正弦函数在每一个闭区间
[2,
2]()2
2
k k k Z π
π
ππ-
++∈上都是增函数,其值从-1增大到1等.
教学设计示例
4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时)
一、教学具准备
直尺、圆规、投影仪. 二、教学目标
1.了解作正、余弦函数图像的四种常见方法.
2.掌握五点作图法,并会用此方法作出[0,2]π上的正弦曲线、余弦曲线.
3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像. 三、教学过程(可用课件辅助教学) 1.设置情境
引进弧度制以后,()sin f x x =就可以看做是定义域为(,)-∞+∞的实变量函数.作为函数,我们首先要关注其图像特征.本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法. 2.探索研究
(1)复习正弦线、余弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法,请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？(师画图1) 设任意角α的终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过点作x 轴的 垂线,垂足为M ,则有向线段MP 叫做角α的正弦线,有向线段OM
叫做角α的余弦线.
(2)在直角坐标系中如何作点(,sin )αα由单位圆中的正弦线 知识,我们只要已知一个角α的大小,就能用几何方法作出对应的
正弦值sin α的大小来,请同学们思考一下,如何用几何方法在直
角坐标系中作出点(,sin )33
C ππ
？
教师引导学生用图2的方法画出点C .
我们能否借助上面作点C 的方法在直角坐标系中作出正弦函数sin ,y x x R =∈的图像呢？
图2
①用几何方法作sin ,[0,2]y x x π=∈的图像
我们知道,作函数的图像的步骤是:列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标,就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确,使得描点后画出的图像误差也大,为克服这一不足,我们用前面作点(
,sin )33
C ππ
的几何方法来描点,从而使图像的精确度有了提高. (边画图边讲解),我们先作sin y x =在[0,2]π上的图像,具体分为如下五个步骤: a.作直角坐标系,并在直角坐标系中y 轴左侧画单位圆.
b.把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图像越精确).过单位圆上的各分点作x 轴的垂线,可
以得到对应于0,6π ,3π ,2
π
,…,2π角的正弦线.
x
c.找横坐标:把轴上从0到这一段分成12等分.
d.找纵坐标:将正弦线对应平移,即可指出相应12个点.
e.连线:用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来,即得sin ,[0,2)y x x π=∈的图像. ②作正弦曲线的sin ,y x x R =∈图像.
图为终边相同的角的三角函数值相等,所以函数sin ,[2,2(1))y x x k k ππ=∈+且0k ≠的图像与函数sin ,[0,2)y x x π=∈的图像的形状完全一样,只是位置不同,于是我们只要将函数
sin ,[0,2)y x x π=∈的图像向左、右平移(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数数sin ,y x x R =∈的图像,如图
.
x 图 1
x
正弦函数的图像叫做正弦曲线.
③五点法作sin ,[0,2]y x x π=∈的简图
师:在作正弦函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图像时,我们描述了12个点,但其中起关键作用的是函数sin ,[0,2]y x x π=∈与x 轴的交点及最高点和最低点这五个点,你能依次它们的坐标吗？
生:3(0,0),(
,1),(,0),(
,1),(2,0)22
π
π
ππ-
师:事实上,只要指出这五个点,sin ,[0,2]y x x π=∈的图像的形状就基本确定了,以后我们常
先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连结起来,就得到函数的简图,这种作图的方法称为“五点法”作图.
④用变换法作余弦函数cos ,y x x R =∈的图像
因为cos cos()sin[(
)]sin()
22y x x x x ππ==-=--=+,所以cos ,y x x R =∈ 与sin()2
y x π
=+ 是同一个函数,即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移2
π
个长度单位角得到,余弦函数的图
像叫做余弦曲线,如图,
x
师:请同学们说出在函数cos ,[0,2]y x x =∈的图像上,起关键作用的五个点的坐标.
生:3(0,1),(
,0),(,1),(
,0),(2,1)2
2
π
π
ππ- 3.例题分析
例1．画出下列函数的简图:
(1)1sin ,[0,2]y x x π=+∈； (2)cos ,[0,2]y x x π=-∈.
x
师:请说出函数1sin y x =+与sin y x =的图像之间有何联系？
生:函数1sin ,[0,2]y x x π=+∈的图像可由sin ,[0,2]y x x π=∈的图像向上平移1个单位得到. (2)
x
师:cos ,[0,2]y x x π=∈与cos ,[0,2]y x x π=-∈的图像有何联系？
生:它们的图像关于x 轴对称. 练习:
(1)说出()sin ,[0,2]f x x x π=∈的单调区间； (2)说出()cos ,[,]f x x x ππ=-∈-的奇偶性. 参考答案:
(1)由()sin ,[0,2]f x x x π=∈图像知3[0,
],[
,2]2
2π
ππ为单调递增区间,3[,]22
ππ
为单调递减区间 (2)由()cos ,[,]f x x x ππ=-∈-图像知()f x 是偶函数.
4.总结提炼
(1)本课介绍了四种作sin ,cos y x y x ==图像的方法,其中五点作图法最常用,要牢记五个关键
点的选取特点.
(2)用平移诱变法,由sin cos y x y x =→=这不是新问题,在函数一章学习平移作图时,就使用过,
请同学们作比较.应该说明的是由sin cos y x y x =→=平移量是不惟一的,方向也可左可右.
5.演练反馈,(投影)
(1)在同一直角坐标系下,用五点法分别作出下列函数的图像 ①()sin ,[,]f x x x ππ=∈- ②3cos ,[,
]22y x x ππ
=∈-
(2)观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的 的区间.
①sin 0x >, ②sin 0x <, ③cos 0x >, ④cos 0x < (3)画出下列函数的简图
①sin ,[0,2]y x x π=-∈ ②1cos ,[0,2]y x x π=+∈ ③2sin ,[0,2]y x x π=∈ 参考答案:
(1)
y
(2) ①(2,2(1))),k k k Z ππ+∈, ②(2(1),2),k k k Z ππ-∈, ③(2,2),22
k k k Z π
π
ππ-+∈
④3(2,2),2
2
k k k Z π
π
π+
+
∈
(3)
① ② ③
教学设计示例
4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第二课时)
一、教学具准备 直尺,投影仪. 二、教学目标
1.掌握sin ,cos y x y x ==的定义域、值域、最值、单调区间.
2.会求含有sin x 、cos x 的三角式的定义域. 三、教学过程 1.设置情境
研究函数就是要讨论一些性质,sin ,cos y x y x ==是函数,我们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质. 2.探索研究
师:同学们回想一下,研究一个函数常要研究它的哪些性质？ 生:定义域、值域,单调性、奇偶性、等等.
师:很好,今天我们就来探索sin ,cos y x y x ==两条最基本的性质——定义域、值域.(板书课题正、余弦函数的定义域、值域.)
师:请同学看投影,大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像. 师:请同学思考以下几个问题:
(1)正弦、余弦函数的定义域是什么？ (2)正弦、余弦函数的值域是什么？
x
x
(3)他们最值情况如何？
(4)他们的正负值区间如何分？ (5)()0f x =的解集如何？ 师生一起归纳得出:
(1)正弦函数、余弦函数的定义域都是x R ∈.
(2)正弦函数、余弦函数的值域都是[1,1]-，即|sin |1,|cos |1x x ≤≤称为正弦函数、余弦函数的有界性.
(3)取最大值、最小值情况: 正弦函数sin y x =,当2()2
x k k Z π
π=+
∈时,函数值y 取最大值1,当2()2
x k k Z π
π=-
∈
时,函数值y 取最小值－1.
余弦函数cos y x =,当2()x k k Z π=∈时,函数值y 取最大值1,当2(1)()x k k Z π=+∈时,函数值y 取最小值－1. (4)正负值区间:
sin 0(2,2(1))()x x k k k Z ππ>⇒∈+∈ s i n 0(2(1),2)(x x k k k Z ππ<⇒∈-∈
cos 0(2,2)()22x x k k k Z ππππ>⇒∈-
++∈ 3c o s 0(2,2)()
22
x x k k k Z ππππ<⇒∈++∈ (5)零点:sin 0()x x k k Z π=⇒=∈ cos 0()2
x x k k Z π
π=⇒=+∈
3.例题分析
例1.求下列函数的定义域、值域:
(1)2sin y x =-； (2)y =
(3)lg(sin )y x =.
解:(1)x R ∈, [1,3]y ∈
(2)由3sin 0sin 0x x -≥⇒≤,则定义域为:[2(1),2]()k k k Z ππ-∈
又∵03sin 3x ≤-≤, ∴y ∈.
∴定义域为[2(1),2]()k k k Z ππ-∈,值域为.
(3)由sin 02(21))()x k x k k Z ππ>⇒<<+∈, 又由0sin 1x <≤ ∴lg(sin )0x ≤
∴定义域为(2,(21))()k k k Z ππ+∈,值域为(,0]-∞.
指出:求值域应注意用到|sin |x ≤或|cos |1x ≤有界性的条件. 例2.求下列函数的最大值,并求出最大值时x 的集合:
(1)1cos ,y x x R =+∈； (2)sin 2,y x x R =∈； (3)||sin y a x b =+ (4) sin y a x b =+. 解:(1)当cos 1x =, 即2()x k k Z π=∈时, y 取得最大值max 2y = ∴函数的最大值为2,取最大值时x 的集合为{|2()}x x k k Z π=∈. (2)当sin 21x =时,即22()2
4
x k x k k Z π
π
ππ=+
⇒=+
∈时,y 取得最大值max 1y =.
∴函数的最大值为1,取最大值时x 的集合为{|,)4
x x k k Z π
π=+∈.
(3)若0,a y b ==, 此时函数为常数函数. 若0a ≠时,||0a > ∴sin 1x =时,即2()2
x k k Z π
π=+
∈时,函数取最大值max ||y a b =+,
∴0a ≠时函数的最大值为||a b +, 取最大值时x 的集合为{|2()}2
x x k k Z π
π=+∈.
(4)若0a <, 则当sin 1x =-时, 函数取得最大值max y a b =-+. 若0a =, 则y b =, 此时函数为常数函数.
若0a >, 当sin 1x =时, 函数取得最大值max y a b =+.
∴当0a <时,函数取得最大值a b -+,取得最大值时x 的集合为{|2()}2
x x k k Z π
π=-∈；
当0a >时,函数取得最大值a b +,取得最大值时x 的集合为{|2()}2
x x k k Z π
π=+
∈;
当0a =时,函数无最大值.
指出:对于含参数的最大值或最小值问题,要对sin x 或cos x 的系数进行讨论. 思考:此例若改为求最小值,结果如何？ 例3.要使下列各式有意义应满足什么条件？
(1)1sin 2m x m -=-； (2)22
cos 2a b x ab
+=
. 解:(1)由1|sin |1|
|12m x m -≤⇒≤-,223(1)(2)2m m m -≤-⇒≤ ∴当3
2
m ≤时,式子有意义.
(2)由22
222222|cos |1||1()(2)2a b x a b ab a b a b ab
+≤⇒≤⇒+≤⇒=⇒=±,
∴当a b =±时, 式子有意义.
4.演练反馈(投影)
(1)函数1sin ,[0,2]y x x π=+∈的简图是( )
(2)函数2sin 2y x =+的最大值和最小值分别为( ) A.2,－2 B.4,0 C.2,0 D.4,－4
(3)函数2
1
cos 3cos 4
y x x =-+的最小值是( ) A.74- B.－2 C.14 D.5
4
-
(4)如果sin 1a =-与cos 2x a =同时有意义,则a 的取值范围应为( )
A.1122a -≤≤
B.02a ≤≤
C.102a ≤≤
D.2
5
a =或0a =
(5)sin y x =与cos y x =都是增函数的区间是( )
A.[2,2]()2k k k Z π
ππ+
∈ B.[2,2]()22
k k k Z ππ
ππ-
+∈
C. 3[(21),2]()2k k k Z πππ++∈
D. 3[2,22]()2
k k k Z ππππ++∈ (6)函数=的定义域________,值域________,0y =时x 的集合为_________.
参考答案:
1.B
2.B
3.A
4.C
5.D
6.[2,2]()33k k k Z π
πππ-
+∈；[0,1]；{|2,}3
x x k k Z π
π=±∈ 5.总结提炼
(1)sin ,cos y x y x ==的定义域均为R. (2) sin ,cos y x y x ==的值域都是[1,1]-
(3)有界性:|sin |1,|cos |1x x ≤≤
(4)最大值或最小值都存在,且取得极值的x 集合为无限集. (5)正负敬意及零点,从图上一目了然. (6)单调区间也可以从图上看出.
课后思考题:求函数sin 4sin 3y x x =-+的最大值和最小值及取最值时的x 集合 提示:2
(sin 2)1y x =--
教学设计示例
4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第三课时)
一、教学具准备 直尺、投影仪. 二、教学目标
1.理解sin ,cos y x y x ==的周期性概念,会求周期.
2.初步掌握用定义证明()y f x =的周期为T 的一般格式. 三、教学过程 1.设置情境
自然界里存在着许多周而复始的现象,如地球的自转和公转,物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等.数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知,角α的终边每转一周又会与原来的位置重合,故sin ,cos αα的值也具有周而复始的变化规律.为定量描述这种周而复始的变化规律,今天,我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性(板书课题) 2.探索研究
(1)周期函数的定义
x
正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时,函数值就重复出现.
联想诱导公式sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈,若令()sin f x x =则(2)()()f x k f x k Z π+=∈,由这个例子,我们可以归纳出周期函数的定义:
对于函数()f x ,如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有()()f x T f x +=,那么函数()f x 叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 如2π,4π,…及2π-,4π-,…都是正弦函数的周期.
注意:周期函数定义中()()f x T f x +=有两点须重视,一是T 是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立.
师:请同学们思考下列问题:①对于函数sin ,y x x R =∈有sin()sin 424π
ππ+=能否说2
π
是正弦函数sin y x =的周期. 生:不能说
2π
是正弦函数sin y x =的周期,这个等式虽成立,但不是对定义域的每一个值都使等式sin()sin 2
x x π
+=成立,所以不符合周期函数的定义.
②2
()f x x =是周期函数吗？为什么
生: 若是周期函数,则有非零常数T ,使()()f x T f x +=, 即22
()x T x +=,化简得(2)0T x T +=,
∴0T =(不非零),或2T x =-(不是常数),故满足非零常数T 不存在,因而()f x 不是周期函数. 思考题:若T 为()f x 的周期,则对于非零整数k , kT 也是()f x 的周期.(课外思考)
(2)最小正周期的定义
师:我们知道…,4,2,2,4ππππ--,… 都是正弦函数的周期,可以证明2(0k k π≠且)k Z ∈是
()sin f x x =的周期,其中2π是()sin f x x =的最小正周期. 一般地,对于一个周期函数()f x ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期.
今后若涉及的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期. 依据定义,sin y x =和cos y x =的最小正周期为2π. (3)例题分析
例1.求下列函数的周期:
(1)3cos ,y x x R =∈； (2)sin 2,y x x R =∈； (3)12sin(),2
6
y x x R π
=-
∈.
分析:由周期函数的定义,即找非零常数T , 使()()f x T f x +=.
解:(1)因为余弦函数的周期是2π, 所以自变量x 只要并且至少要增加到2x π+, 余弦函数的
值才能重复取得,函数3c o s ,y x x R =∈的值也才能重复取得,从而函数
3cos ,y x x R =∈的周期是2π. 即()3cos 3cos(2)(2)f x x x f x ππ==+=+, ∴2T π=
(2)令2z x =, 那么x R ∈必须并且只需z R ∈, 且函数sin ,y z z R =∈的周期是2π, 就是
说,变量z 只要并且至少要增加到2z π+, 函数sin ,y z z R =∈的值才能重复取得,而
2222()z x x πππ+=+=+所以自变量x 只要并且至少要增加到x π+, 函数值就能重复取得,从而函数sin 2,y x x R =∈的周期是π.
即()sin 2sin(22)()f x x x f x ππ==+=+ ∴T π=
(3)令126
z x π
=-, 那么x R ∈必须并且只需z R ∈,且函数2sin ,y z z R =∈的周期是2π,
由于112()2(4)2626
z x x ππ
πππ+=-+=+-, 所以自变量x 只要并且至少要增加到
4x π+,函数值才能重复取得,即4T π=是能使等式112sin[()]2sin()
2626
x T x ππ
+-=-成立的最小正数, 从而函数12sin(),26
y x x R π
=-∈的周期是4π.
而111()sin()sin[()2]sin[(4)](4)262626
f x x x x f x πππ
πππ=-=-+=+-=+
∴4T π=
师:从上例可以看出,这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关,其规律如何？你能否求出函数 sin(),y A x x R ωϕ=+∈及函数cos(),y A x x R ωϕ=+∈(其中,,A ωϕ)为常数,且0A ≠, 0ω>)的周期？
生:22()sin()sin[()2]sin[()]()f x A x A x A x f x π
π
ωϕωϕπωϕω
ω
=+=++=++=+
∴2T π
ω
=
.
同理可求得cos(),y A x x R ωϕ=+∈的周期2T π
ω
=.
例2.求证: (1)cos 2sin 2y x x =+的周期为π； (2)44sin cos y x x =+的周期为2
π； (3)|sin ||cos |y x x =+的周期为2
π. 分析:依据周期函数定义()()f x T f x +=证明.
证明:(1)()cos 2()sin 2()cos 2sin 2()f x x x x x f x πππ+=+++=+= ∴cos 2sin 2y x x =+的周期为π.
(2)4444
()sin ()cos ()cos sin ()222
f x x x x x f x πππ+=+++=+=
∴44sin cos y x x =+的周期为2
π
.
(3)()|sin()||cos()||cos ||sin |()222
f x x x x x f x πππ
+=+++=+=
∴|sin ||cos |y x x =+的周期为2
π
.
3.演练反馈(投影) (1)函数sin(2)3
y x π
=+
的最小正周期为( )
A.2π
B.4π
C.π
D.2
π (2) 2
2cos (2)3
y x π
=+的周期是_________
(3)求sin(2)sin 23
y x x π
=-+的最小正周期.
参考答案:
(1)C ；(2)
2
π 2
22cos (2)1cos(4)33y x x ππ=+=++ ∴2T π=
(3)欲求sin(2)sin 23
y x x π
=-+的周期,一般是把三角函数()f x 化成易求周期的函数
sin()y A x b ωϕ=++或cos()y A x b ωϕ=++的形式,然后用公式2||
T π
ω=求最小正周期,而化
得的一般思路是“多个化一个,高次化一次”,将所给函数化成单角单函数. 由sin(
2)sin 22sin
cos(2)cos(2)3
666
y x x x x π
π
ππ
=-+=-=- ∴T π= 4.总结提炼
(1)三角函数所特有的性质是周期性,周期与最小正周期是不同概念,研究三角函数的周期时,如未
特别声明,一般是指它的最小正周期.
(2)设(),y f x x R =∈.若T 为()y f x =的周期,则必有:①R 为无限集,②x R x T R ∈⇒+∈；
③()()f x T f x +=在R 上恒成立.
(3)只有sin()y A x b ωϕ=++或cos()y A x b ωϕ=++型的三角函数周期才可用公式2||
T πω=
,不具有此形式,不能套用.如2
sin y x =, 就不能说它的周期为221
T π
π=
=.
思考题设是定义在上以为周期的周期函数且是偶函数当时,
()f x x =, 求[2,0]x ∈-上的表达式
参考答案:4,[2,1]
()2,[1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨
-+∈-⎩
典型例题 例1.求函数y =
.
分析:要求2sin 10x +≥, 即1
sin 2
x ≥-
,因为正弦函数具有周期性,所以只需先根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件区间,然后两边加2()k k Z π∈.
解:由题意2sin 10x
+≥, 即1
sin 2
x ≥-.
在一周期[,]ππ-上符合条件的角为7[,]66
ππ
-, ∴定义域为7[2,2]()66
k k k Z ππ
ππ-+
∈. 小结:解题时注意结合正弦曲线,而由于正弦函数的周期性,只需先在一个周期上求范围,这个周
期的长度为2π,并非一定取[0,2)π,而应该是否得到一个完整区间为标准,如本题若在
[0,2)π上求范围则分为两段11[,2)6ππ和7[0,]6
π
,不如在[,]ππ-上是完整的一段.
例2.求函数2lg(36)y x =-的定义域。

分析:上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数,它是由三角函数、二次函数、对数函
数复合而成。

求定义域时,应分清脉络,逐一分析,综合得出结论。

解:欲求函数定义域,则由2
2
2cos 3cos 10
360x x x ⎧-+-≥⎪⎨->⎪⎩
即(2cos 1)(cos 1)066x x x --≤⎧⎨-<<⎩ 也即1cos 266
x x ⎧
≥⎪
⎨⎪-<<⎩
解得22()33
66
k x k k Z x π
πππ⎧-+≤≤+∈⎪
⎨⎪-<<⎩ 取1k =-、0、1,可分别得到
5(6,)3x π∈--
或[,]33x ππ∈-或5[,6)3
x π
∈。

即所求的定义域为55(6,)[,][,6)3333
ππππ
---。

小结:在解本题时,容易出现的失误是,由1cos 2x ≥
,得33x ππ-≤≤或533
x ππ≤≤； 或在解不等式组22()
33
66k x k k Z x π
πππ⎧-+≤≤+∈⎪⎨⎪-<<⎩时出现错误,如得出函数 的定义域为[,]33
ππ
-或[6,6]-等。

解类似本例的问题,其关键在于求出两个或更多个不等式的公共解。

而求公共解,如能借助于图形,由数形结合,往往可以事半功倍。

具体方法一般可借助于数轴、单位圆或三角函数的图像来完成。

如图甲、乙所示。

x π3
5π3
π3
π356
x
（乙） 例3.求下列函数的值域:
(1)2
23sin y x =-；
(2)2sin sin cos y x x x =+；(3)22sin 2sin 1y x x =+-；(4)2cos 1
2cos 1
x y x +=-.
分析:(1)先利用降幂公式,将其化为一个角的一个三角函数式,再根据三角函数性质求其值域；(2)可利用降幂公式,倍角公式,差角公式,化为一个角的一个三角函数其值域；(3)利用配方法,并结合二次函数、正弦函数的性质求解；(4)从反函数观点出发,借助于余弦函数的有界性求解. 解:(1)331
2(1cos 2)cos 2222
y x x =-
-=+. ∵1cos21x -≤≤, ∴12y -≤
≤. 将其利用降幂公式化为一个角的一个三角函数形式,然后利用三角函数的性质求值域.
(2)1cos 2111sin 2[sin 2cos 2])22224
x y x x x x π
-=
+=-=-
∵1sin(2)14
x π-≤-≤, ∴1122y -≤≤+
利用了降幂公式和倍角公式,将其化为一个角的一个三角函数的形式. (3)132(sin )22
y x =+-. 将其看做关于sin x 的二次函数,注意到1sin 1x -≤≤,
∴当1sin 2x =-时, min 3
2y =-； 当sin 1x =时, max 3y =.
∴3
[,3]2
y ∈-.
本题结合了二次函数求极值,但应注意sin x 的取值范围.
(4)由原式得1
cos 2(1)
y x y +=
-. ∵1cos 1x -≤≤, ∴1
112(1)
y y +-≤
≤-.
∴3y ≥或13y ≤. 值域为{|3y y ≥或1
}3
y ≤
（甲 ）
小结: 配方法、化一法、逆求法、有界性法等,是求三角函数值域常用的几种方法.相信你会从
此题的求解过程中,领悟到这一点.
例4.求函数sin 2cos 2y x x =+的单调减区间. 分析:
容易想到将函数转化为)4y x π=
+,换元令24
X x π
=+,
进而转化为y X =
.
解
: sin 2cos 2)4y x x x π
=+=+. 令24
X x π
=+
,
则y X =
.
由正弦函数的单调性,知当322()2
2
k X k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈时, 函数递减, 即3222()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤+
∈, ∴5()8
8
k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈. ∴函数的单调减区间是5[,]()8
8
k k k Z π
π
ππ++
∈. 小结:本题通过换元,
将函数)4
y x π
=
+
化为y X =,充分体现了转化的数学思想
例5.作函数cot sin y x x =的图像。

分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的图像。

解: 当sin 0x ≠, 即()x k k Z π≠∈时,有cot sin cos y x x x ==, 即cos (,)y x x k k Z π=≠∈. 其图像如图,
x
小结:函数的图像即是的图像,因此作出cos y x =的
图像后,要把,x k k Z π=∈的这些点去掉。

例6.已知3
()sin 1f x ax b x =++,(a 、b 为常数), 且(5)7f =, 求(5)f -的值.
分析:要求函数值,需知函数解析式,因含a 、b 两个参数,一个条件(5)7f =难确定.深入分析
(5)f 与(5)f -的内在联系,向函数奇偶性联想.注意到()1f x -为奇函数,问题自可获解.
解:因为33
()1()sin ()(sin )[()1]f x a x b x ax b x f x --=-+-=-+=--, 所以()1f x -为奇
函数,所以(5)1[(5)1](5)16f f f --=--=-+=-, 所以(5)5f -=-.
小结:(1)判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件”
的应用。

(2)函数奇偶性的确定,可使研究问题的条件增加,从而使问题难度变小,尤其是自变量互为相
反数时的函数值关系问题,可考虑奇偶性的应用。

扩展资料
一剪刀剪出一条正弦曲线
把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上,卷上几圈.用剪刀斜着将纸筒剪断,再把卷着的纸展开,你就会
看到:纸的边缘线是一条波浪形的曲线.
你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！下面就来证明这一事实.
如图1,设纸筒底面半径为1单位长,截面(椭圆面)与底面所成的 二面角为θ(定值),截口的中心为O '.过O '作圆柱的直截面,交截口曲 线于两点.取其中一点为O ,在过点O 且与圆柱侧面相切的平面内,以
点O 为坐标原点建立直角坐标系,使得Oy 轴是圆柱的一条母线. 设点P 是截口曲线上任意一点,点Q 是点P 在⊙O '所在平面内
的射影,过Q 作QH OO '⊥,垂足为H , 连接PH , 则PHQ ∠是截面 与底面所成二面角的平面角,所以PHQ θ∠=,设DO O α'∠=(变量
在图2中,设P 点坐标为(,)x y ,以下分别计算P 点的横坐标和纵 坐标.x
O Q OQ α'===,tan y Q P QP QH θ'===⋅, 而在Rt △QHQ '中,sin QH α=,所以tan sin y θα=⋅ ② 将①代入②,且令tan A θ=(定值),则有 这就证明了截口曲线是一条正弦曲线.
探究活动
试问方程sin 100
x
x =是否有实数解？若有,请求出实数解的个数；若没有,请说明理由. 分析:可借助函数100x
y =和sin y x =的图像,通过判断图像是否有交点来判定方程是否有实数
解.如有交点,可通过讨论交点数来获得实数解的个数.
解:设()sin 100
x
f x x =
-, 因为()()f x f x -=-, 且()f x 的定义域为R,所以()f x 是奇函数, 且(0)0f =, 所以0x =是()0f x =的一个解,于是()0f x =的实数解存在且除0x =外是
成对出现的.在0,)+∞上研究100
x
y =和sin y x =图像交点的情况(参考图)
因为(100)1sin1000f =->, 且100
x
y =是增函数,而sin 1x ≤, 所以当100x ≥时,方程
()0f x =无解.
又3132x ππ<<,从图像中可得知直线100
x
y =与曲线sin y x =在[0,31]π中从0开始每相
隔2π会有两个交点,所以, 当0x ≥时共有32个交点, 则当0x >时有31个交点.
故原方程有31×
2+1=63个解. 习题精选 一、选择题
1.函数1sin ,[0,2]y x x π=-∈的大致图像是( )
B D
图1
2.下列叙述中正确的个数为( )
①作正弦、余弦函数图像时,单位圆的半径长与x 轴上的单位可以不一致。

②sin ,[0,2]y x x π=∈的图像关于点(,0)P π成中心对称图形。

③cos ,[0,2]y x x π=∈的图像关于直线x π=成轴对称图形。

④正弦、余弦函数sin y x =、cos y x =的图像不超出两直线1y =-、1y =所夹的范围。

A.1 B.2 C.3 D.4 3.使sin cos x ≤成立的x 的一个区间是( )
A.3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C.3,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D.[0,]π 4.函数2
3cos()5
6
y x π
=-的最小正周期是( )
A.
25π B.52
π C.2π D.5π 5.若()sin f x x ⋅是周期为π的奇函数, 则()f x 可以是( )
A.sin x
B.cos x
C.sin 2x
D.cos2x
6.函数1sin cos ()1sin cos x x
f x x x
+-=++是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇且偶函数
D.非奇非偶函数
7.若函数2cos (02)y x x π=≤≤的图像和直线2y =围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为( )
A.4
B.8
C.2π
D.4π
8.如果[0,2]x π∈, 则函数y =( )
A.[0,]π
B.3[
,
]22ππ
C.[,]2ππ
D.3[,2]2
π
π 9.sin |sin |y x x =-的值域是( )
A.[1,0]-
B.[0,1]
C.[1,1]-
D.[2,0]- 10.在函数sin ||y x =、|sin |y x =、sin(2)3
y x π
=+
、2cos(2)3
y x π
=+
中,最小正周期为π的函数的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 11.已知函数()sin(
)103
k f x x π
=+(其中0k ≠),当自变量x 在任何两个整数之间(包括整数本身)变化时,至少会有一个周期,则最小的正整数k 是( )
A.60
B.61
C.62
D.63
12.若(0,)x π∈, 则函数y =的值域是( )
A. B. C.[0,2) D.[0,2] 二、填空题
13.函数44cos sin y x x =-的最小正周期是________________。

14.函数13cos()23
y x π
=-的增区间是_______________。

15.若()f x 为奇函数, 且0x >时, 2()sin f x x x =-, 则0x <时, ()f x =_________。

16.函数3
(2cos )(5cos )
y x x =+-的最大值为__________, 最小值为__________。