2023年广东省佛山市顺德区伦教汇贤中学中考数学一模试卷【答案版】

2023年广东省佛山市顺德区伦教汇贤中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．） 1．5
3的倒数是（ ）
A ．1
B ．3
5
C ．5
3
D ．0
2．在﹣1，0，1，−1
3
这四个数中，最小的数是（ ） A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．−1
3
3．作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近200亿千瓦时．200亿用科学记数法表示为（ ） A ．2×102
B ．2×109
C ．2×1010
D ．2×1011
4．下列运算中，正确的是（ ） A ．（m +n ）2＝m 2+n 2
B ．（a 2x 3）2＝a 2x 5
C ．p 2021÷p 2＝p 2019（p ≠0）
D ．（﹣a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2
5．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知点Q （a ﹣1，a +2）在x 轴上，那么Q 点的坐标为（ ） A ．（﹣3，0）
B ．（3，0）
C ．（0，3）
D ．（0，﹣3）
7．一个两位数，它的十位数字是5，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是4的整倍数的概率等于（ ） A ．1
3
B ．1
6
C ．2
3
D ．1
2
8．要使分式x+3x−4
的值为0，则x 的值是（ ）
A ．x ≠4
B ．x ≠﹣3
C ．x ＝4
D ．x ＝﹣3
9．已知反比例函数y =k
x （k ≠0），当﹣2≤x ≤﹣1时，y 的最大值是3，则当x ≥6时，y 有（ ） A ．最大值−1
2
B ．最大值﹣1
C ．最小值−1
2
D ．最小值﹣1
10．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①a ﹣b +c ＝0；②a ＞b ；③2a +b ＝0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．2cos60°+1＝ ．
12．若一个n 边形的每个外角都等于45°，则n ＝ ．
13．已知扇形的圆心角为120°，半径为4cm ，则扇形的面积是 cm 2． 14．已知m 是方程x 2﹣2x ﹣2024＝0的一个根，则m 2﹣2m 的值为 ．
15．如图，点A 在双曲线y =k x
（k ＞0，x ＞0）上，点B 在直线l ：y ＝mx ﹣2b （m ＞0，b ＞0）上，A 与B 关于x 轴对称，直线l 与y 轴交于点C ，当四边形AOCB 是菱形时，有以下结论： ①A （b ，√3b ） ②当b ＝2时，k ＝4√3 ③m =
√3
3
④S 四边形AOCB ＝2b 2
则所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解不等式组{2x −3＞x −5
2x+63
＜2−x ．
17．化简求值：先化简x 2−6x+9x 2−4
÷（
2x−2
−x +1），再对x 从﹣2、﹣1、0、1、2、3中选一个你喜欢数的数
代入求值．
18．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CD ⊥AD ，E ，D 为垂足，CF ＝CB ． （1）求证；BE ＝FD ．
（2）若AE ＝10，CD ＝8，求四边形ABCF 的面积．
19．（9分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作．《九章算术》中记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”请用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
20．（9分）如图，长方形的一边长为8，另一边长为x ． （1）长方形的面积y 与另一边长x 之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当x 从6变化到12时（每次增加1），y 的相应值； （3）当x 每增加1时，y 如何变化？
（4）当x ＝8时，y 等于多少？此时它表示的是什么图形？
21．（9分）为响应河南省将“美丽乡村”变成“美丽经济”的号召，某市举行“振兴乡村经济，建设美好河南”为主题的知识竞赛，某校以班级为单位选拔参加该知识竞赛的队伍．在预赛中，已知每班参加比赛的人数相同，成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的两幅统计图． 请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，一班成绩在B 级以上（包括B 级）的人数为 ； （2）将表格补充完整；
（3）根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛合适？请简述理由．
22．（12分）如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，OG ⊥AE 与点G ，交⊙O 于点D ，连接BD 交AE 于点F ，延长AE 至点C ，连接BC ． （1）当BC ＝FC 时，证明：BC 是⊙O 的切线； （2）已知⊙O 的半径r ＝5，当tan A =3
4
，求GF 的长．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2−4√3
3x +c 与x 轴交于两点A （1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点D 是抛物线对称轴上一点，对称轴与x 轴交于点E ，与直线BC 交于点F ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD ，当以点B ，D ，E 为顶点的三角形与△OAC 相似时，求点D 的坐标； （3）当点D 关于直线BC 的对称点G 落在抛物线上时，直接写出点G 的坐标．
2023年广东省佛山市顺德区伦教汇贤中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．） 1．5
3的倒数是（ ）
A ．1
B ．3
5
C ．5
3
D ．0
解：5
3
的倒数是3
5
．
故选：B ．
2．在﹣1，0，1，−13
这四个数中，最小的数是（ ） A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．−13
解：∵−1＜−1
3＜0＜1，
∴在﹣1，0，1，−1
3
这四个数中，最小的数是﹣1， 故选：A ．
3．作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近200亿千瓦时．200亿用科学记数法表示为（ ） A ．2×102
B ．2×109
C ．2×1010
D ．2×1011
解：将200亿用科学记数法表示为：2×1010． 故选：C ．
4．下列运算中，正确的是（ ） A ．（m +n ）2＝m 2+n 2
B ．（a 2x 3）2＝a 2x 5
C ．p 2021÷p 2＝p 2019（p ≠0）
D ．（﹣a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2
解：A ．（m +n ）2＝m 2+2mn +n 2，故A 错误； B ．（a 2x 3）2＝a 2×
2x 3×
2＝a 4x 6，故B 错误；
C ．p 2021÷p 2＝p 2021﹣
2＝p 2019（p ≠0），故C 正确；
D ．（﹣a +b ）（a ﹣b ）＝﹣（a ﹣b ）（a ﹣b ）＝﹣（a 2﹣2ab +b 2）＝﹣a 2+2ab ﹣b 2，故D 错误． 故选：C ．
5．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
解：A ，B ，D 选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C ．
6．已知点Q （a ﹣1，a +2）在x 轴上，那么Q 点的坐标为（ ） A ．（﹣3，0）
B ．（3，0）
C ．（0，3）
D ．（0，﹣3）
解：∵点Q （a ﹣1，a +2）在x 轴上， ∴a +2＝0， 解得a ＝﹣2，
∴a ﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3， ∴点A 的坐标为（﹣3，0）． 故选：A ．
7．一个两位数，它的十位数字是5，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是4的整倍数的概率等于（ ） A ．1
3
B ．1
6
C ．2
3
D ．1
2
解：根据题意，得到的两位数有51、52、53、54、55、56这6种等可能结果，其中两位数是4的倍数的有52、56这2种结果，
∴得到的两位数是4的倍数的概率等于2
6
=1
3；
故选：A ． 8．要使分式x+3x−4
的值为0，则x 的值是（ ）
A ．x ≠4
B ．x ≠﹣3
C ．x ＝4
D ．x ＝﹣3
解：∵分式
x+3x−4的值为0，
∴x +3＝0， 解得：x ＝﹣3． 故选：D ．
9．已知反比例函数y =k
x （k ≠0），当﹣2≤x ≤﹣1时，y 的最大值是3，则当x ≥6时，y 有（ ）
A．最大值−1
2
B．最大值﹣1C．最小值−12D．最小值﹣1解：∵当﹣2≤x≤﹣1时，y的最大值是3，
∴反比例函数经过第二象限，
∴k＜0，
∴在﹣2≤x≤﹣1上，y值随x值的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y有最大值﹣k，
∵y的最大值是3，
∴﹣k＝3，
∴k＝﹣3，
∴y=−3 x ，
当x≥6时，y=−3
x
有最小值−
1
2
，
故选：C．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a﹣b+c＝0；②a＞b；③2a+b＝0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴−
b
2a
=1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∴﹣2a＞0，
∴b ＞0， ∴a ＜b ， 故②错误； 由−
b
2a
=1，得2a +b ＝0， 故③正确；
设抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的另一个交点的坐标为（x ，0），则−1+x 2
=1，
解得x ＝3，
∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的另一个交点的坐标为（3，0）， ∴当y ＞0时，﹣1＜x ＜3， 故④正确， 故选：C ．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．2cos60°+1＝ 2 ．
解：2cos60°+1＝2×1
2
+1＝1+1＝2． 故答案为：2．
12．若一个n 边形的每个外角都等于45°，则n ＝ 8 ． 解：360÷45＝8，则n ＝8． 故答案为：8．
13．已知扇形的圆心角为120°，半径为4cm ，则扇形的面积是 163
π cm 2．
解：由题意得，n ＝120°，R ＝4cm ，
故可得扇形的面积S =nπR 2360=120⋅π×42
360=163
π（cm 2）． 故答案为
163
π．
14．已知m 是方程x 2﹣2x ﹣2024＝0的一个根，则m 2﹣2m 的值为 2024 ． 解：∵m 是方程x 2﹣2x ﹣2024＝0的一个根， ∴m 2﹣2m ﹣2024＝0， ∴m 2﹣2m ＝2024． 故答案为：2024．
15．如图，点A 在双曲线y =k
x （k ＞0，x ＞0）上，点B 在直线l ：y ＝mx ﹣2b （m ＞0，b ＞0）上，A 与B 关
于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：
①A（b，√3b）
②当b＝2时，k＝4√3
③m=√3
3
④S四边形AOCB＝2b2
则所有正确结论的序号是②③．
解：如图，
①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，∴C（0，﹣2b），
∴OC＝2b，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB＝OC＝OA＝2b，
∵A与B关于x轴对称，
∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，
∴OD=√(2b)2−b2=√3b，
∴A （√3b ，b ）； 故①不正确；
②当b ＝2时，点A 的坐标为（2√3，2）， ∴k ＝2√3×2＝4√3， 故②正确；
③∵A （√3b ，b ），A 与B 关于x 轴对称， ∴B （√3b ，﹣b ），
∵点B 在直线y ＝mx ﹣2b 上， ∴√3bm ﹣2b ＝﹣b ， ∴m =
√3
3
，
故③正确；
④菱形AOCB 的面积＝AB •OD ＝2b •√3b ＝2√3b 2， 故④不正确；
所以本题结论正确的有：②③； 故答案为：②③．
三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解不等式组{2x −3＞x −52x+63＜2−x ．
解：{2x −3＞x −5①
2x+63＜2−x②，
解不等式①得：x ＞﹣2， 解不等式②得：x ＜0，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x ＜0． 17．化简求值：先化简x 2−6x+9x 2−4
÷（
2x−2
−x +1），再对x 从﹣2、﹣1、0、1、2、3中选一个你喜欢数的数
代入求值．
解：原式=(x−3)2(x+2)(x−2)÷2−(x−1)(x−2)x−2=(x−3)2(x+2)(x−2)÷−x (x−3)x−2
=(x−3)
2(x+2)(x−2)•x−2−x (x−3) =−x−3
x(x+2)，
∵x +2≠0，x ﹣2≠0，x ﹣3≠0， ∴x ≠±2，x ≠3，
选取x ＝1，当x ＝1时，原式=−
1−31×(1+2)=−−23=2
3
．
18．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CD ⊥AD ，E ，D 为垂足，CF ＝CB ． （1）求证；BE ＝FD ．
（2）若AE ＝10，CD ＝8，求四边形ABCF 的面积．
（1）证明：∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CD ⊥AD ， ∴CD ＝CE ，
在Rt △CBE 和Rt △CFD 中， {CB =CF
CE =CD
， ∴Rt △CBE ≌Rt △CFD （HL ）， ∴BE ＝FD ；
（2）解：∵AC ＝AC ，CD ＝CE ， ∴Rt △ACD ≌Rt △ACE （HL ）， ∴S △ACD ＝S △ACE ，AE ＝AD ＝10， ∵Rt △CBE ≌Rt △CFD ， ∴S △CBE ＝S △CFD ，
∴四边形ABCF 的面积＝S 四边形AECD ＝2S △ACD ＝2×12
×10×8＝40．
19．（9分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作．《九章算术》中记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”请用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
解：设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两， 依题意，得：{5x +2y =102x +5y =8，
解得：{x =34
21
y =2021．
答：每头牛值金
3421两，每只羊值金
2021
两．
20．（9分）如图，长方形的一边长为8，另一边长为x．
（1）长方形的面积y与另一边长x之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当x从6变化到12时（每次增加1），y的相应值；
（3）当x每增加1时，y如何变化？
（4）当x＝8时，y等于多少？此时它表示的是什么图形？
解：（1）由长方形的面积公式得：y＝8x，
∴长方形的面积y与另一边长x之间的关系式是：y＝8x；
（2）列表如下：
（3）由上表可以看出：当x每增加1时，y增加8，
（4）由上表可知：当x＝8时，y＝64，此时表示的图形是正方形．
21．（9分）为响应河南省将“美丽乡村”变成“美丽经济”的号召，某市举行“振兴乡村经济，建设美好河南”为主题的知识竞赛，某校以班级为单位选拔参加该知识竞赛的队伍．在预赛中，已知每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的两幅统计图．
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，一班成绩在B级以上（包括B级）的人数为13；
（2）将表格补充完整；
（3）根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛合适？请简述理由．
解：（1）一班成绩在B级以上（包括B级）的人数为3+10＝13（人），
故答案为：13；
（2）
（3）选一班级参加市知识竞赛，
理由：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好（答案不唯一）．
22．（12分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AE是弦，OG⊥AE与点G，交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，连接BC．
（1）当BC＝FC时，证明：BC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径r＝5，当tan A=3
4
，求GF的长．
（1）证明：∵OD⊥AE，
∴∠ODB+∠GFD＝90°，
∵BC＝FC，
∴∠BFC＝∠FBC＝∠GFD，∴∠ODB+∠FBC＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD+∠FBC＝90°，
∴CB ⊥AB ， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）解：连接BE ，
∵⊙O 半径为5，tan A =3
4
， ∴sin A =3
5，cos A =4
5，
∴在Rt △AOG 中，OG ＝OA •sin A ＝5×35=3，AG ＝OA •cos A ＝5×4
5
=4＝GE ， ∴GD ＝5﹣3＝2， ∵OG ⊥AE ， ∴AG ＝GE ，
∴OG 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OG ＝6，BE ∥OG ， ∴∠D ＝∠FBE ，∠BEF ＝∠FGD ， ∴△FGD ∽△FEB ， ∴GF GD =EF BE
， ∴
GF 2
=
4−GF 6
，
解得：GF ＝1．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2−4√3
3x +c 与x 轴交于两点A （1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点D 是抛物线对称轴上一点，对称轴与x 轴交于点E ，与直线BC 交于点F ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD ，当以点B ，D ，E 为顶点的三角形与△OAC 相似时，求点D 的坐标； （3）当点D 关于直线BC 的对称点G 落在抛物线上时，直接写出点G 的坐标．
解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2−4√3
3
x +c ， 得{a −4√33+c =09a −4√3+c =0，解得{a =√3
3c =√3， ∴抛物线的解析式为：y =√3
3x 2−4√3
3x +√3；
（2）由y =√3
3x 2−4√33x +√3=√33（x ﹣2）2−√3
3，得抛物线的对称轴是直线x ＝2， ∴E （2，0）， 在y =
√33
x 2
−
4√3
3
x +√3中令x ＝0，得y =√3， ∴C （0，√3），
而A （1，0），B （3，0）， ∴OC =√3，OA ＝1，AC ＝2， ∴OA =1
2
AC ，
∴∠ACO ＝30°，∠CAO ＝60°， ∴△OAC 是含30°的直角三角形，
要使点B ，D ，E 为顶点的三角形与△OAC 相似，只需Rt △BDE 中有一个锐角是30°， ①当∠DBE ＝30°时，如图：
∵B （3，0），E （2，0）， ∴BE ＝1，
在Rt △BDE 中，DE =√33BE =√3
3， ∴D （2，−
√3
3
），
由对称性知，D '（2，
√3
3
）也满足题意， ∴点D 的坐标为（2，−√3
3）或（2，√3
3）；
②当∠BDE ＝30°时，如图：
∵DE =√3BE =√3， ∴D （2，−√3），
由对称性D '（2，√3）也符合题意，
综上所述，点D 的坐标为（2，−√3
3）或（2，√3
3
）或（2，√3）或（2，−√3）；
（3）作直线AF 交抛物线于G ，如图：
∵C （0，√3），B （3，0）， ∴OB ＝3，OC =√3， ∴tan ∠OBC =OC OB =√3
3， ∴∠OBC ＝30°， ∵EF 是抛物线的对称轴， ∴∠F AB ＝∠FBA ＝30°，
∴∠GFB ＝2∠OBC ＝60°＝∠DFB ，
∴直线AF 与直线BF 关于直线BC 成轴对称， ∴点G 是点D 关于直线BC 的对称点， ∵EF =
√3
3
EB =
√3
3
，
∴F （2，
√33
）， 设直线AF 的解析式为y ＝kx +b ，将A （1，0），F （2，√3
3
）代入得： ∴{k +b =0
2k +b =√33
，解得{
k =
√3
3b =−
√33
， ∴直线AF 的解析式为y =
√3
3
x −
√3
3
，
由{
y =
√3
3x −
√3
3y =√33x 2−4√3
3
x +√3
，得{x =1y =0，{x =4y =√3， ∴G 坐标为（1，0）或（4，√3）．。