江苏省南京市秦淮区2020届高三数学第一次模拟考试适应性测试试卷

江苏省南京市秦淮区2020届高三数学第一次模拟考试适应性测试试卷
一、填空题（共14题；共14分）
1.设全集，若集合，则________.
2.已知复数（是虚数单位），则的共轭复数为________．
3.函数f（x）的定义域为________．
4.根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为________．
5.某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是________．
6.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为________．
7.已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为，则该棱锥的体积为________ .
8.函数，则f（f（0））＝________．
9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为，圆心在y轴上，且圆C与直线2x+3y﹣10＝0相切于点P（2，2），则圆C的标准方程是________．
10.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝________．
11.已知e为自然对数的底数．若不等式（e x﹣1﹣1）（x﹣a）≥0恒成立，则实数a的值是________．
12.在等差数列{a n}中，已知公差d≠0，a22＝a1a4，若，…成等比数列，则k n＝________．
13.在平面直角坐标系xOy中，直线l是曲线M：y＝sinx（x∈[0，π]）在点A处的一条切线，且l∥OP，其中P为曲线M的最高点，l与x轴交于点B，过A作x轴的垂线，垂足为C，则________．
14.在锐角三角形ABC中，已知4sin2A+sin2B＝4sin2C，则的最小值为________．
二、解答题（共6题；共65分）
15.如图，在△ABC中，已知B ，AB＝3，AD为边BC上的中线，设∠BAD＝α，若cosα．
（1）求AD的长；
（2）求sinC的值．
16.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，E，F分别为BC，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求证：平面PBC⊥平面EFD．
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右焦点F到右准线的距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为，求△OPQ 的面积．
18.如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q为景区内一景点，A 为道路上一游客休息区，已知，（百米），Q到直线，的
距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路于点B，并在B处修建一游客休息区.
（1）求有轨观光直路的长；
（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演
时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）
的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.
19.在数列{a n}中，a1＝3，且对任意的正整数n，都有a n+1＝λa n+2×3n，其中常数λ＞0．
（1）设b n．当λ＝3时，求数列{b n}的通项公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，设c n＝a n，证明：数列{c n}为等比数列；
（3）当λ＝4时，对任意的n∈N*，都有a n≥M，求实数M的最大值．
20.已知函数g（x）＝e x﹣ax2﹣ax，h（x）＝e x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．
（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．
①讨论f（x）的单调性；
②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：．
答案解析部分
一、填空题
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】（1，+∞）
4.【答案】65
5.【答案】75%
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】x2+（y+1）2＝13
10.【答案】
11.【答案】1
12.【答案】3n+1
13.【答案】
14.【答案】
二、解答题
15.【答案】（1）解：由题,因为∠BAD＝α,且cosα,所以,
所以, 又在△ABD中,已知B ,AB＝3,AD为边BC上的中线,
则根据正弦定理可得,即,
解得BD ,AD
（2）解：由（1）, ,
根据余弦定理可得, ,解得AC ,
则由正弦定理可得,解得sinC .
16.【答案】（1）证明：如图,取PA中点G,连接BG,FG,
∵F为PD的中点,∴FG∥AD,且FG ,
∵E为BC的中点,∴BE∥AD,且BF AD,
∴FG∥BE,FG＝BE,则四边形BEFG为平行四边形,
∴EF∥BG,
又BG 平面PAB,EF 平面PAB,
∴EF∥平面PAB
（2）证明：∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC,
∵BD＝CD,E为BC的中点,∴DE⊥BC,
又PD DE＝D, 平面PDE,
∴BC⊥平面PDE,
又BC 平面PBC,
∴平面PBC⊥平面EFD.
17.【答案】（1）解：由题意知, ,
因为,解得a2＝4,b2＝3,
所以椭圆的方程为: 1
（2）解：由题意知直线l的斜率不为0,由（1）知F（1,0）,
设直线l的方程为x＝my+1,P（x,y）,Q（x',y'）,
联立直线l与椭圆的方程整理得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0,
所以y+y' ,yy' ,
所以|PQ| , 因为圆O:x2+y2＝4到l的距离d ,被圆O:x2+y2＝4截得的弦长为,
所以得14＝4（4 ）,解得m2＝1,
所以d ,|PQ| ,
所以S△OPQ.
18.【答案】（1）解：以点O为坐标原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
则由题设得：，直线的方程为，（）.
由，解得，所以.
故直线的方程为，
由得
即，故，
答：水上旅游线的长为.
（2）解：将喷泉记为圆P，由题意可得，
生成t分钟时，观光车在线段上的点C处，
则，，所以.
若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，
即，
当时，上式成立，
当时，，，当且仅当时取等号，因为，所以恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.
答：喷泉的水流不会洒到观光车上.
19.【答案】（1）解：当λ＝3时,有a n+1＝3a n+2×3n,
∴,
,则,
又∵,∴数列{b n}是首相为1,公差为的等差数列, ∴
（2）证明：当λ＞0且λ≠1且λ≠3时,
,
又∵,
∴数列是首项为,公比为λ的等比数列
（3）解：当λ＝4时,a n+1＝4a n+2×3n,
∴,
设p n,∴,
∴,
,
,
,
∴,
以上各式累加得: , 又∵,
∴,
∴,
∴,
显然数列{a n}是递增数列,
∴最小项为a1＝3,
∵对任意的n∈N*,都有a n≥M,∴a1≥M,即M≤3,
∴实数M的最大值为3.
20.【答案】（1）解：f（x）＝h（x）﹣g（x）＝e x﹣2x﹣lnx﹣e x+ax2+ax＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx（x＞0）,
① （x＞0）,
（i）当a≤0时,f′（x）＜0,函数f（x）在（0,+∞）上递减；
（ii）当a＞0时,令f′（x）＞0,解得；令f′（x）＜0,解得,
∴函数f（x）在递减,在递增；
综上,当a≤0时,函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时,函数f（x）在上单调递减,在上单调递增
②由①知,若a≤0,函数f（x）在（0,+∞）上单调递减,不可能有两个不同的零点,故a＞0；
且当x→0时,f（x）→+∞；当x→+∞时,f（x）→+∞；
故要使函数f（x）有两个不同的零点,只需,即, 又函数在（0,+∞）上为增函数,且,故的解集为（0,1）, 故实数a的取值范围为（0,1）
（2）证明: g′（x）＝e x﹣2ax﹣a,依题意,则,两式相减得, ,
因为a＞0,要证,即证,即证，
两边同除以,即证,
令t＝x1﹣x2（t＜0）,即证,
令,则,
令,则,
当t＜0时,p′（t）＜0,所以p（t）在（﹣∞,0）上递减,
∴p（t）＞p（0）＝0,
∴h′（t）＜0,
∴h（t）在（﹣∞,0）上递减,
∴h （t）＞h（0）＝0,即, 故.。