单墫老师教你学数学 十个有趣的数学问题
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如与自己以前写的数学小册子相比!史的比重增加了!搜集 了一些资料!做了一番梳理"核查工作!这也算一种新的尝试吧,
十个数学问题是什么!请读者自己看书!这里不再赘述!
单墫 $))+年于广州
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目!录
总序 !0 前言 !0
0! !立方倍积 !0 #! !三等分任意角 !0# !! !化圆为方 !#1 :! !挂谷问题 !:3 2! !正方体的分解 !"0 "! !正整数集上的库拉托夫斯基问题 !"" 3! !能兜住地球的网兜 !3! 1! !0!个球的问题 !31 4! !球的装箱 !0$0 0$!!平面对称群 !00$
!"% !不可能"的证明 """""""""""""""""""""""""""
怎样证明一个作图问题不可能用尺规作图解决呢! 古希腊人无法解决这样的问题!因为他们没有跳出初等几 何的圈子!%不识庐山真面目!只缘身在此山中!& 解决这类问题的关键之一是建立几何与代数之间的联系! 3721年!笛卡儿"@"(A!"%,*9."%!3457’3746#发明了解析 几何!其主要思想是$ "3#建 立 直 角 坐 标 系!使 平 面 上 的 点 * 与 有 序 实 数 对 "#!%#一一对应!"#!%#称为点* 的坐标! "0#建立起平面曲线与方程+"#!%#$6的对应!特别地! 直线是一次方程"# ,-% ,. $6!圆是二次方程 "# /"#0 , "% /-#0 $00! 在立方倍积这一问题中!已知长为3"即坐标轴上的单位#! 采用尺规作图!可以作出一条线段的正整数倍!又可将这线段任 意等分!从而可以作出平面上所有的有理点!它们的坐标#)% 的集合是全体有理数 %! %是一个域!也就是在 % 中可以进行加)减)乘)除"除数非 6#!结果仍是有理数! 如果在 %中添加槡0!得出所有形如" ,-槡0 的数!其中")
方法三!考虑抛物线#0 $"% 与双曲线#% $0"0 的交点坐 标!这一作法也属于梅内赫莫斯!
方法四!更一般地!设" ’-!我们作#!%!使"!#!%!成等比数列!
为此!如 图 2!作 一 边 在 # 轴 上)一 边 在 % 轴 上 的 矩 形 ’()5!’( $-!’5 $"!再以矩形中心8 为圆心作矩形的外 接圆!易知这圆的方程为
在尺规作图中!如果所有 已 知 点 的 坐 标 都 属 于 某 个 数 域 2 !那么任取的点由于没有其他信息!只能假定它们都是坐标在 域 2 中的点!因此!过上述点的直线或以上述点为圆心)过上述 点的圆!它们的方程中的系数都是域 2 中的数!直线与直线的 交点!可通过解一次方程组得出!其坐标仍为域 2 中的数!直线 与圆的交点或圆与圆的交点!可通过解二次方程组得出!方程组 中一个方程是一次的"直线方程#或可化为有一个是一次的"由 两圆方程相减产生#!因此可用代入法解出!所以这些点的坐标
斯则认为!可以代数地表出#!他的著作包含无穷小分析的很多 有趣的结果!并早于牛顿发现分数幂的二项式定理"但未发表#! 如果天假以年!他 很 可 能 在 牛 顿 之 前 发 明 微 积 分!他 的 侄 子 大 卫-格雷戈 里 "!*H’>)9"F$9G!3773’3168#也 是 一 位 数 学 家) 天文学家!在%32个球的问题&中我们要说到!
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从直觉上看!由 %出发!经过有限多次开平方运算!不可能 得出立方根2槡0!但要证明这一点却并不容易!最自然的方法是 用域扩张理论!即扩张次数 "%"2槡0#&%#$2!而对上面所说的 23!扩张次数 "23&%#$03!显然03 %2!下面我们给出一个简 单的初等证明!
设 2槡0 # 23!而2槡0 $ 23/3!则有"!-!1 # 23/3!槡1 $ 23/3!使
图3
事实上!在 @.&)67 中!斜边上的高57 $% 满足
%&0" $#&%!
"5#
而在 @.&(67 中!56 $# 满足
"&# $#&%!
"36#
"5#)"36#表明"!#!%!0" 成等比数列! 欧托修斯"B+.$,’+%#将 上 述 作 法 归 之 于 柏 拉 图!但 柏 拉 图
!)
反对采用尺)规以外的工具!所以这一说法值得怀疑! 方法二!如图0!考虑两条抛物线#0 $"% 与%0 $0"#!设
附录!看"波利亚的相册# !0!#
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立方倍积
!"! 源起 """""""""""""""""""""""""""
传说在公元前四百多年!希腊的雅典发生了时疫!人们为了 消除灾难!便向 !"#$%的太阳神庙去求助!遵照神谕!必须把立 方的祭坛增大一倍!疫病才不会流行!一位自作聪明的设计师将 祭坛的每边增大一倍!做了一个新的祭坛放在太阳神庙里!结果 太阳神大怒!疫 势 更 加 猖 獗!人 们 发 现 新 祭 坛 体 积 是 原 来 的 八 倍!而不是两倍!那么应当怎样做才符合要求呢!
" ,- 槡1 $ 2槡0!
"2#
立方得
"" ,- 槡1#2 "-01 , 槡1"2"0- ,-21#$0! 因为 槡1 $ 23/3!所以必有
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"4# "7#
开立方"取实根#得
"" /-槡1#2 $0!
"1#
" /-槡1 $ 2槡0!
这一 作 法 属 于 苏 格 兰 数 学 家 格 雷 戈 里 "E*?"%)9"F$9G! 3728’3714#!他是一位天文学家!由于天文观察导致眼疲劳而 失明!随后不久就英年早逝!但他的贡献极多!在数学上!研究过 .*(# 与*9,.*(# 的泰勒展开式!最先提出级数收敛与发散的区 别!尝试过证明化圆为方的不可能"当时引领潮流的数学家惠更
!#
作时仍不免产生误差!谁见过恰好长3米或长0米的线段"一点 误差也没有#!
不难算出 2槡0 $3!0455036(!用3!076米为边作一个立方 体!它的体积大约就是0米2!和0米2 的误差不超过6!663米2! 即使在理论上能作出长为2槡0的线段!实际施工时也不免产生误 差!6!3厘米的误差应当在许可范围之内!所以采用上面的近似 值进行制作!是无可非议的!
!&
- 为有理数!这添加后的集记为 %"槡0#!%"槡0#也是域!即形如 " ,-槡0 的数!经加)减)乘)除后仍在 %"槡0#中!例如
" ,-槡0 . ,1 槡0
$
""
,-槡0#". /1 .0 /010
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$.".0 //001-10 ,.-.0 //0"110槡0!
类似地!任一个数域 2 添加一个二次无理数! 后!得到的 集 2"!#$ +" ,-!&"!- # 2,仍然是域!
#0 ,%0 $"% ,-#!
"33#
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图2
作双曲线
#% $"-!
"30#
"33#与"30#的一个交点为)!另一个交点* 的坐标"#!%#即为 所求的解 "令. $%0 /-#!则由 "33#得"% $ #0 ,.!从而 "-#% $ "%0 /.#"#0 ,.#$#0%0 /.0 ,."%0 /#0#!利用"30# 得.0 $."%0 /#0#!若. $%0 /#0!则#0 $-#!# $-!% $ "!若. $6!则"% $#0!-# $%0!与方法二相同#!
它们的"不同于原点’ 的#交点为*!则* 的坐标#)% 显然满 足要求!
图0
抛物线当然无法用尺规作出!但可用机械的方法作图"它是
到一定点与到一定直线距离相等的点的轨迹#!这一作法属于公 元前2世纪的梅内赫莫斯"&"(*",C?+%!前214’前204#D正是 由这一作法!他发现了圆锥曲线"抛物线)椭圆)双曲线#!
"&# $#&% $%&0"!
"0#
!!反之!若"0#成立!则
" # 0"
#
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从而"3#成立!所以立方倍积问题等价于在" 与0" 之间插入两 项#!%!使"!#!%!0" 成等比数列!
!"$ 实际与理论 """""""""""""""""""""""""""
作为一个实际问题!改建祭坛的工作一点也不困难! 不妨设原祭坛边长" 为3米"或3个长度单位#!则新祭坛 边长# 为2槡0米! 问题即如何作2槡0米 的 长 度!在 实 际 施 工 时!必 然 采 取 近 似 作法!实际上!即使作0米的长度!也就是将原长度3米延长至 0倍!虽然可以用圆规直尺来作!从理论上说是准确的!但在操
!"
!"# 等价形式 """""""""""""""""""""""""""
立方倍积的第一个真正进展是希波克拉特"此人在%化圆为 方&一章中还要说到#给出问题的一个等价形式!这种形式便于 用相似三角形等方法进行讨论!
设" 为已知立方体的边长!# 为所求立方体的边长!则
#2 $0"2!
"3#
希腊人早就知道# 在" 与0" 之间!希波克拉特在# 与0" 之间再插入一项%!使"!#!%!0" 成等比数列!即有
应当在 2 或在2"槡"#中!这里" 是2 中的一个数! 于是!从有理数域 %出发!使用尺规作图!所得的点的坐标
应当在 %的一个扩域中!这个扩域 23 是由 % 经有限多次添加 形 如 槡"4 的 数 得 出 的!"4 # 24! 槡"4 $ 24!24,3 $ 24"槡"4 #"4 $6!3!(!3 /3*26 $ %#!如果所要作的长度 或所要求的点的坐标不在这种扩域中!那么尺规作图就不可能 解决"笛卡儿已经知道这一点!并曾给出尺规作图不可能问题的 一个不够严密 的 证 明 #!例 如 立 方 倍 积 中!2槡0就 不 是 这 样 的 数! 所以立方倍积是尺规作图不可能问题!
"8#
由"2#)"8#得 2槡0 $"!即2槡0 #23/3!这与已知矛盾!所以2槡0 不属于一切 23!
!(
!"& 不限于尺规的作法 """""""""""""""""""""""""""
虽然立方倍积是尺规作图不可能问题!但不限于尺规作图! 人们早已发现种种作法!下面介绍几种!
方法一 ! 如 图 3!首 先 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线!相 交 于 点 5!分别在这两条直线上取5( $"!5) $0"!
作为一个理论问题!希腊人要求仅用圆规与直尺准确地"在 理论上#作出长为2槡0的线段!而不是长度近似于2槡0的线段!
这里的圆规)直尺有以下功能$ "3#过两点作一条直线* "0#以一点为圆心!过任一点画圆* "2#在任一射线’( 上截取线段’) 与已知线段相等! 有限多 次 地 使 用 圆 规)直 尺 进 行 上 述 2 项 作 图!称 为 尺 规 作图! 希腊人为什么限定用圆规)直尺作图!并将规)尺的功能加 以限定呢! 一方面!规)尺是基本的作图工具!初等几何中的图形也都 是由直线与圆组成的!似乎都可以通过尺规作图作出来!另一方 面!希腊的学者!例如柏拉图!非常重视数学在训练智力方面的 作用!认为限制作图工具有助于培养逻辑思维能力*欧几里得更 强调从最少的 基 本 假 定 "定 义)公 理 #出 发!推 出 尽 可 能 多 的 命 题!所以作图工具也相应地剩下少到不能再少的规)尺两种! 但是!尺规作图有其局限性!很多作图问题!不能用尺规作 图完成!最著名的就是立方倍积)三等分任意角和化圆为方!它 们称为几何作图的三大问题!两千多年来!无数的聪明才智倾注
然后用两个直角的曲尺"木工常用的工具#或三角板!使一 个曲尺的一边通过)!直角顶点在直线(5 上*另一个曲尺的一 边通过(!直角顶点在直线)5 上!移动两个曲尺"保持上述特 点#!直 至 两 个 曲 尺 有 一 条 直 角 边 吻 合 "成 一 条 直 线#!这 时 56 $#!57 $% 即为所求!
这就是著名的立方倍积问题!也称为 !"#$%问题! 更早一些!有一位不出名的希腊诗人叙述过类似的问题!说 的是 希 腊 神 话 中 的 国 王 米 诺 "&’($%#要 儿 子 格 劳 卡 斯 ")#*+,+%#将给他建造的坟墓增大一倍!并说$%只要将每边增大 一倍!就可以实现我的要求!& 这种传说大多是无稽之谈!但对于问题的传播起了推波助 澜的作用! 确切的是这个问题很早就产生了!而且很多古希腊的学者! 例如柏拉图"-#*.$!约前/01’约前2/1#及其学派!都曾研究过 这个问题!
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在这几个问题之中!这几个问题!在35世纪业已解决!3821年! 旺策尔"-’"99":*+9"(.;*(.<"#!383/’38/8#证明了立方倍积 与三等 分 任 意 角 都 是 不 可 能 尺 规 作 图 的!3880 年 林 德 曼 "="9>’(*(>:’(>"?*((!3840’3525#证明了 ! 是超 越 数!从 而 化圆为方也是不可能尺规作图的!
如与自己以前写的数学小册子相比!史的比重增加了!搜集 了一些资料!做了一番梳理"核查工作!这也算一种新的尝试吧,
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0! !立方倍积 !0 #! !三等分任意角 !0# !! !化圆为方 !#1 :! !挂谷问题 !:3 2! !正方体的分解 !"0 "! !正整数集上的库拉托夫斯基问题 !"" 3! !能兜住地球的网兜 !3! 1! !0!个球的问题 !31 4! !球的装箱 !0$0 0$!!平面对称群 !00$
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怎样证明一个作图问题不可能用尺规作图解决呢! 古希腊人无法解决这样的问题!因为他们没有跳出初等几 何的圈子!%不识庐山真面目!只缘身在此山中!& 解决这类问题的关键之一是建立几何与代数之间的联系! 3721年!笛卡儿"@"(A!"%,*9."%!3457’3746#发明了解析 几何!其主要思想是$ "3#建 立 直 角 坐 标 系!使 平 面 上 的 点 * 与 有 序 实 数 对 "#!%#一一对应!"#!%#称为点* 的坐标! "0#建立起平面曲线与方程+"#!%#$6的对应!特别地! 直线是一次方程"# ,-% ,. $6!圆是二次方程 "# /"#0 , "% /-#0 $00! 在立方倍积这一问题中!已知长为3"即坐标轴上的单位#! 采用尺规作图!可以作出一条线段的正整数倍!又可将这线段任 意等分!从而可以作出平面上所有的有理点!它们的坐标#)% 的集合是全体有理数 %! %是一个域!也就是在 % 中可以进行加)减)乘)除"除数非 6#!结果仍是有理数! 如果在 %中添加槡0!得出所有形如" ,-槡0 的数!其中")
方法三!考虑抛物线#0 $"% 与双曲线#% $0"0 的交点坐 标!这一作法也属于梅内赫莫斯!
方法四!更一般地!设" ’-!我们作#!%!使"!#!%!成等比数列!
为此!如 图 2!作 一 边 在 # 轴 上)一 边 在 % 轴 上 的 矩 形 ’()5!’( $-!’5 $"!再以矩形中心8 为圆心作矩形的外 接圆!易知这圆的方程为
在尺规作图中!如果所有 已 知 点 的 坐 标 都 属 于 某 个 数 域 2 !那么任取的点由于没有其他信息!只能假定它们都是坐标在 域 2 中的点!因此!过上述点的直线或以上述点为圆心)过上述 点的圆!它们的方程中的系数都是域 2 中的数!直线与直线的 交点!可通过解一次方程组得出!其坐标仍为域 2 中的数!直线 与圆的交点或圆与圆的交点!可通过解二次方程组得出!方程组 中一个方程是一次的"直线方程#或可化为有一个是一次的"由 两圆方程相减产生#!因此可用代入法解出!所以这些点的坐标
斯则认为!可以代数地表出#!他的著作包含无穷小分析的很多 有趣的结果!并早于牛顿发现分数幂的二项式定理"但未发表#! 如果天假以年!他 很 可 能 在 牛 顿 之 前 发 明 微 积 分!他 的 侄 子 大 卫-格雷戈 里 "!*H’>)9"F$9G!3773’3168#也 是 一 位 数 学 家) 天文学家!在%32个球的问题&中我们要说到!
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从直觉上看!由 %出发!经过有限多次开平方运算!不可能 得出立方根2槡0!但要证明这一点却并不容易!最自然的方法是 用域扩张理论!即扩张次数 "%"2槡0#&%#$2!而对上面所说的 23!扩张次数 "23&%#$03!显然03 %2!下面我们给出一个简 单的初等证明!
设 2槡0 # 23!而2槡0 $ 23/3!则有"!-!1 # 23/3!槡1 $ 23/3!使
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事实上!在 @.&)67 中!斜边上的高57 $% 满足
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而在 @.&(67 中!56 $# 满足
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作时仍不免产生误差!谁见过恰好长3米或长0米的线段"一点 误差也没有#!
不难算出 2槡0 $3!0455036(!用3!076米为边作一个立方 体!它的体积大约就是0米2!和0米2 的误差不超过6!663米2! 即使在理论上能作出长为2槡0的线段!实际施工时也不免产生误 差!6!3厘米的误差应当在许可范围之内!所以采用上面的近似 值进行制作!是无可非议的!
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类似地!任一个数域 2 添加一个二次无理数! 后!得到的 集 2"!#$ +" ,-!&"!- # 2,仍然是域!
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"33#与"30#的一个交点为)!另一个交点* 的坐标"#!%#即为 所求的解 "令. $%0 /-#!则由 "33#得"% $ #0 ,.!从而 "-#% $ "%0 /.#"#0 ,.#$#0%0 /.0 ,."%0 /#0#!利用"30# 得.0 $."%0 /#0#!若. $%0 /#0!则#0 $-#!# $-!% $ "!若. $6!则"% $#0!-# $%0!与方法二相同#!
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立方倍积的第一个真正进展是希波克拉特"此人在%化圆为 方&一章中还要说到#给出问题的一个等价形式!这种形式便于 用相似三角形等方法进行讨论!
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应当在 %的一个扩域中!这个扩域 23 是由 % 经有限多次添加 形 如 槡"4 的 数 得 出 的!"4 # 24! 槡"4 $ 24!24,3 $ 24"槡"4 #"4 $6!3!(!3 /3*26 $ %#!如果所要作的长度 或所要求的点的坐标不在这种扩域中!那么尺规作图就不可能 解决"笛卡儿已经知道这一点!并曾给出尺规作图不可能问题的 一个不够严密 的 证 明 #!例 如 立 方 倍 积 中!2槡0就 不 是 这 样 的 数! 所以立方倍积是尺规作图不可能问题!
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方法一 ! 如 图 3!首 先 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线!相 交 于 点 5!分别在这两条直线上取5( $"!5) $0"!
作为一个理论问题!希腊人要求仅用圆规与直尺准确地"在 理论上#作出长为2槡0的线段!而不是长度近似于2槡0的线段!
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然后用两个直角的曲尺"木工常用的工具#或三角板!使一 个曲尺的一边通过)!直角顶点在直线(5 上*另一个曲尺的一 边通过(!直角顶点在直线)5 上!移动两个曲尺"保持上述特 点#!直 至 两 个 曲 尺 有 一 条 直 角 边 吻 合 "成 一 条 直 线#!这 时 56 $#!57 $% 即为所求!
这就是著名的立方倍积问题!也称为 !"#$%问题! 更早一些!有一位不出名的希腊诗人叙述过类似的问题!说 的是 希 腊 神 话 中 的 国 王 米 诺 "&’($%#要 儿 子 格 劳 卡 斯 ")#*+,+%#将给他建造的坟墓增大一倍!并说$%只要将每边增大 一倍!就可以实现我的要求!& 这种传说大多是无稽之谈!但对于问题的传播起了推波助 澜的作用! 确切的是这个问题很早就产生了!而且很多古希腊的学者! 例如柏拉图"-#*.$!约前/01’约前2/1#及其学派!都曾研究过 这个问题!
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在这几个问题之中!这几个问题!在35世纪业已解决!3821年! 旺策尔"-’"99":*+9"(.;*(.<"#!383/’38/8#证明了立方倍积 与三等 分 任 意 角 都 是 不 可 能 尺 规 作 图 的!3880 年 林 德 曼 "="9>’(*(>:’(>"?*((!3840’3525#证明了 ! 是超 越 数!从 而 化圆为方也是不可能尺规作图的!