竞赛中的向量与向量方法

竞赛中的向量与向量方法
黄超
【摘要】平面向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在高考和数学竞赛中，平面向量也是一种重要的命题载体和解题思想，因为它集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥梁，并能有效地结合坐标系解题．由于向量的可平移性，使得向量成为较广泛的解题工具之一．从某种意义上说，向量不仅能实现用代数方法解决几何问题，给代数问题予以几何的解释，而且向量性质的巧妙运用可以让解题闪耀出智慧的光芒．以下从问题解决的角度对部分以平面向量为背景的问题（包含高考和竞赛试题）予以简要解读．
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2013(000)007
【总页数】4页(P45-48)
【关键词】向量方法;赛中;解题思想;几何问题;近代数学;平面向量;数学概念;三角函数
【作者】黄超
【作者单位】昌硕高级中学,浙江安吉313300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
平面向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在高考和数学竞赛中，平面向量也是一种重要的命题载体和解题思想，因为它集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥梁，并能有效地结合坐标系解题.由于向量的可平移性，使得向量成为较广泛的解题工具之一.从某种意义上说，向量不仅能实现用代数方法解决几何问题，给代数问题予以几何的解释，而且向量性质的巧妙运用可以让解题闪耀出智慧的光芒.以下从问题解决的角度对部分以平面向量为背景的问题(包含高考和竞赛试题)予以简要解读.
由m·n=|m||n|cos<m,n>，得|m·n|≤|m||n|(或(m·n)2≤m2·n2)，当且仅当m,n共线时等号成立.令m=(a,b),n=(c,d)，则由(m·n)2≤m2·n2得
当且仅当ad=bc时等号成立，此不等式即为二维柯西不等式.若令
m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn),则
当且仅当==…=时等号成立，此不等式即为n维柯西不等式.因此，应用
|m·n|≤|m||n|(或(|m·n)2≤m2·n2)是构造向量证明不等式的一种基本策略.
例1 设≤x≤5，证明：2++<2.
证明设m=(,,,),n=(1,1,1,1),则由|m·n|≤|m||n|得
·1+·1+·1+·1≤
·=2≤2≤2,
当且仅当m·n共线，即==时等号成立，显然不可能.从而式(1)等号取不到，原不等式成立.
例2 给定正整数n和正数M，对于满足条件的所有等差数列a1,a2,a3,…,试求
S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.
解由等差数列的性质，知S=(n+1)(an+1+a2n+1)=(n+1)(3an+1-a1).令
m=(an+1,a1),n=(3,-1)，则由m·n≤|m||n|得
从而
当且仅当m,n同向且时等号成立.因此当a1=-,an+1=时，S取得最大值
点评这些问题的结构和向量并没有直接的关联，但向量的数量积与模之积之间的不等关系却使问题迎刃而解，并显得简捷有力，是构造向量解决不等关系的典型问题.换言之，柯西不等式可以算是向量不等式的一种直观表达方式,但向量的构造需要一定的观察力和洞察力.
通过构造向量并建立关系式，可以将方程问题转化为向量问题，借助向量运算尤其是数量积运算，可以快捷求解方程.
例3 解方程x+x=4.
解设m=(x,x),n=(,),则
从而
当且仅当x2=1时等号成立.由题意，|m||n|≤m·n,又|m||n|≥m·n，即|m||n|=m·n,故x=1或x=-1(舍去)，即方程的解为x=1.
例4 已知正数x,y,z满足方程组
求xy+2yz+3zx的值.
解式(3)+式(4)-式(2),得
令则
故m⊥p,n⊥p，于是m∥n，因此
又且x,y,z都是正数，故xy+2yz+3zx=24.
点评能将方程结构和向量结构联系起来并进行合理转化是解决此类问题的关键，这些构造看似巧妙，但还是有规律可循的.
“设点O,A,B不共线，点P在直线AB上的充要条件是存在实数x,y，使且
x+y=1”，这是平面向量中熟知的一个结论(可称之为“共线定理”).合理地使用此结论，可以快速地解决一些线性向量问题.
例5 如图1，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则||的最小值为______．
解令则点F在线段AB上，且当时，||最小，即||min=，从而||min=4||min=5．
例6 如图2，已知在锐角△ABC中，AB=6，AC=10，O为△ABC的外心.若且
2x+10y=5，则cos∠BAC=______.
解由题意得，如图2，令由x+2y=1得点O,D,E共线，O为△ABC的外心，E为AC中点，故OE⊥AC.又AD=15，AE=5，则cos∠BAC=.
点评构造共线关系并结合向量的几何意义可以快捷地解决诸如等问题，这些问题
还可以进行适度的推广.
m·n=|m||n|cos<m,n>,称|n|cos<m,n>为n在m方向上的投影，即数量积m·n
的几何意义为|m|与n在m方向上的投影的乘积.利用此几何意义可以快捷地解决
某些数量积问题.
例7 在△ABC中，AC=2，若O为△ABC的外心，则______.
解如图3，过点O作OE⊥AC，垂足为E，则AE为在方向上的投影，且E为AC 中点，AE=1，从而
例8 已知曲线C的方程为y=，l是过点Q(-1，0)的直线，M是C上(不在l上)的
动点.如图4，点A,B在l上，MA⊥l,MB⊥x轴，求直线l的方程，使得为常数.
解设动点直线l的斜率为k,则直线l的方向向量(1,k),|QA|就是向量在向量(1,k)投
影的绝对值，从而
显然|QB|2=(1+k2)(x+1)2,因此
要使为常数,只需=1,即k=2,=5,因此所求直线l的方程为y=2x+2.
点评善用投影，很多数量积问题可成为能够“秒杀”的问题，在解题和增强学生
的学习兴趣上都有较大的作用.
平面向量基本定理：如果e1,e2是一个平面内2个不共线的向量，那么对这个平
面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做这个平面的所有向量的一组基底.换言之，若
a=λ1e1+λ2e2=k1e1+k2e2,则必有λ1=k1,λ2=k2，此为向量法解题的基本工具.几个向量首尾衔接构成一个圈，即它们的和为零向量.在解题过程中利用这个等式或与它等价的等式，就是回路法，适当地选择回路，是向量解题的基本手法.
例9 如图5，已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，O为AC和BD的交点，M和N分别是PB和PC的中点，Q为AN和DM的交点，求证：(1)点P,Q,O共线； (2)PQ=2QO.
证明 (1)联结MN.由三角形中位线定理，知MN BC.因为ABCD是平行四边形，所以AD BC，从而AD∥MN，于是△AQD∽△MQN，即==2.
显然在平行四边形ABCD中，BO=DO，又M是PB的中点，得PM=PB，故
而点P，Q，O分别在△BDM的BM，DM，BD所在的直线上.由梅内劳斯定理的逆定理，得点P,Q,O共线.
(2)因为又所以
即
从而
例10 已知在△ABC中，O,H分别是外心、垂心，R为其外接圆半径，试将
AB2+BC2+CA2+OH2写成关于R的函数.
解因为所以
点评基本定理和回路法是向量最本质属性的体现，恰当的运用基本定理和选择回路可最大限度地减少思维量和运算量.
向量兼具几何特征和代数表示，是沟通代数和几何的桥梁.而对向量问题几何背景的挖掘往往会使问题解决显得奇妙无比.
例11 已知向量a≠e，|e|=1，对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则
A.a⊥e
B.a⊥(a-e)
C.e⊥(a-e)
D.(a+e)⊥(a-e)
解设则|a-e|=||,|a-te|表示连接点A与直线OE上点的线段的长度d.由题意,||为d 的最小值,从而即e⊥(a-e).故选C.
例12 已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是______．
解法1 设则则在△OAB中，∠OBA=60°，由正弦定理得
即
从而
故|α|的取值范围是
解法2 设则则在△OAB中，∠OBA=60°，且
则点B在以线段OA为弦、半径为R的圆上，从而
故|α|的取值范围是
平面向量集代数、几何、三角于一身，有回路法、几何法、坐标法等各种方法，还可联系不等式、方程等诸多内容，使其成为高中数学中的一朵奇葩.。