连续归纳法

关于连续归纳法
叶荣臻
（浙江师范大学数学与应用数学103班）
摘 要：连续归纳法的理论基础是实数的连续性定理，实数的连续归纳法同自然数的数学归纳法是极为相似的，这说明连续的实数系与离散的正整数系具有某种程序的统一性。

本文给出了四种常见的连续归纳法的形式及其详细的证明过程，并列举了一些连续归纳法的应用。

一、几种常见的连续归纳法及其证明
定理1（连续归纳法）：
000+x x x y x y x P x x x x P x y P P x y x P δδ<<>< 设是一个关于实数 的命题，如果：
（1）存在某个实数，使对一切实数 ,有成立.
（2）若对一切实数有成立，则有 ，使对一切实数也成立.
那么对一切实数，有成立.
定理2（新形式的连续归纳法）： 000x x x y x y x P x x x x P x y P P x y x P δδ>>>>- 设是一个关于实数 的命题，如果：
（1）存在某个实数，使对一切实数 ,有成立.
（2）若对一切实数有成立，则有 ，使对一切实数也成立.
那么对一切实数，有成立.
为证明定理1和定理2，先给出戴德金定理.
戴德金分割
''''=A A R A A R A A A A ⋃ 设与 是实数集的两个非空子集， ，且中的任一个数都比 中的 任一个数小，则或者中有最大数，或者 中有最小数，二者必居其一， 且仅居其一.
以下证明定理1和定理2.
''''''''',.x x x x x P x P x y P y A A A A A P A A A A A A ∈∞证明 （定理1）用反证法.若定理1不成立，则有一个关于实数的命题，使定理1中的（1）和（2）都成立，但仍有使得不成立.约定：若对一
切（-）有成立，则属于，其余的实数属于 显然与均非空.这是因为（1）保证了非空，而反证法假设不成立则保证了非空.
由的做法可知中的每一个数比中任一数大，由戴德金分割，中有最大数或中有最小数，记此数为000'.
,=22
,,0,.x x a x a a a x a x a x a y a y A x x y A P x a P P x a a A a A A δδδ++∈∞<<∈∞∈∞><++∈ 对任一（-）,由于，故是中的元素，而，即（-），由的定义知成立，即对于一切（-）有成立.由定理1中的（2）知，有 ，使对一切实数成立.这就推出了这与是中的最大数或中最小数矛盾从而否定了反证法的假设.证毕.
***''''''',
..
x x x x x P x P x y P y A A A A A P A A A A A A b ∈+∞（定理2）用反证法.若定理2不成立，则有一个关于实数的命题，使定理2中的（1）和（2）都成立，但仍有使得不成立.约定：若对一切（）有成立，则属于，其余的实数属于 显然与均非空.这是因为
（1）保证了非空，而反证法假设不成立则保证了非空.由的做法可知
中的每一个数比中任一数小，由戴德金分割，中有最大数或中有最小数，记此数为'11'1'',=22
,,0,.x x b x b b x b x b x b y b y A x x y A P x b P P x b b A b A A δδδ++∈+∞>>∈+∞∈+∞>>--∈ 对任一（）,由于，故是中的元素，而，即（），由的定义知成立，即对于一切（）有成立.由定理2中的（2）知，有 ，使对一切实数成立.这就推出了这与是中的最大数或中最小数矛盾从而否定了反证法的假设.证毕.
定理3（第二连续归纳法）：
000[,]x x x y y x y x P x a b a x a x x P y b x y P y b P x y x a b P δδδ<≤≤≤<>+≤<+∈ 设是一个关于实数的命题，是任意两个实数，如果：
（1）有不小于 的实数，对一切，有成立.
（2）有实数，若对实数有成立，则有，，使对一切实数也成立.
那么，对一切实数，成立.
0000*[,]**=.
**x x x x x x x x x x P x a b P P x a x b P x x a x a x x P P P x x x P x y b P δ∈<>≤≤<<≤证明 由定理1已知连续归纳法成立，以下证明第二连续归纳法成立. 构造一个实数 的命题，使得在 时，仍为，而当或时，： （1）由于有不小于 的实数，使对一切，有成立，因而此时也成立.于是，对于使命题成立的实数，对一切实数，有成立.
(2)由于对于实数，如果有成立，则有0[,]***y y x y x x x x y b P x y x a b P P y b P P δδ>+≤<+∈>，，对一切实数也成立.于是,在 时，成立，因此也成立.而当 时，显然成立.
于是，由连续归纳法知，对一切实数成立.
因此，第二连续归纳法成立.证毕.
定理4 ：
00[,]0[,]x x x y x y x P x a b x a b x x b P a y x b P P a y x x a b P δδ<∈<<<<<><-<∈ 设是一个关于实数的命题，是任意两个实数，如果：
（1）有实数，对一切，有成立.
（2）若对一切实数，有成立，则有，使对一切实数也成立.
那么，对一切实数，成立.
证明略.
二、连续归纳法的应用
0011()[,]()[,]()()[,][,]===()(),[,][,],.,[,]f x a b f x a b P x f x a x a b x a x a x P x P x a x y b f y y a b f a y x f b x αβαβαβ⊂≤<≤∈
⊂例1：若函数在闭区间 上连续，则在 上有界.
证明：引入命题：“在 上界.
（1）取，则对一切，成立.
(2)若对一切成立，由于在连续，故有(),使得，并且在()上有界 在()内取，则在上有界，又1[,],-,+=()()[,]()[,]x b y x y b P x P x x a b f x a b βββδδβ=<≤∈在
上有界，从而在()上有界. 取则对任一个，成立.由第二连续归纳法，对所有成立，即在 上有界.
{()}[,]()[,]{()}{()}[,]().
()()-(),[,]{()}0. ()[,]0()=(n n n n n n n n n Dini f x a b f x x a b f x f x a b f x r x f x f x x a b r x r x a b x a r x r ∈=∈<例2 （定理）设连续函数序列 在有限区间 上逐点收敛于连续函数，且对任何， 都是单调数列，则于 上一致收敛于 证明： 记依题设对任何， 单调趋于只需证明在一致收敛于.不妨设当时，)()=()=1,2,3()()-+0n n n a x b r x r b n P x r x >∞∞，当时，，...构造命题：“在（，）上一致收敛于”.
00111=()(),1()[,]()00().()0,().n n n n x a x x P x x y P x y b x y P x y a b r y N n N r x r x n N y x y y r x εεεδδδε<<><+∈>><>>∈-+< (1)取，显然对一切，成立.
（2）假设对一切，有成立.若由归纳假设对一切有成立；若，则有单调趋于.故对任意的，存在正整数，当时，有|| 因为（）在处连续，所以对上述存在，对一切（）,有||又由归纳假设2212()-/2]0,-/2]().=max{}()()()()[,]0.n n n n r x y N n N x y r x N N N n N x y r x x y P x P x x r x a b δεδεδεδ∞->>∈∞-<><+<<+在（，上一致收敛于0.所以对上述存在当时，对一切（，有||取，，则当时对一切有||，亦即对一切有成立.
由连续归纳法，对一切实数成立.从而在上一致收敛于
【参考文献】
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