山东省临沂市兰陵四中高三数学上学期第一次月考试卷 文(含解析)

2015-2016学年山东省临沂市兰陵四中高三（上）第一次月考数学试
卷（文科）
一.选择题
1．已知数列{a n}中，，那么是这个数列的第( )
A．9项B．10项C．11项D．12项
2．已知下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②如果向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③如果向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；
④如果∥，∥，那么∥；
⑤两个向量不能比较大小，但是他们的模能比较大小．
其中正确的命题为( )
A．①②④⑤ B．②④⑤C．⑤D．③④
3．在等差数列{a n}中，已知a3+a5+a7+a9+a11=180，则a7的值为( )
A．30 B．36 C．48 D．72
4．如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=( )
A．B．C．D．
5．已知数列{a n}中，a1=1，a n=n（a n+1﹣a n）（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( ) A．2n﹣1 B．n C．D．n2
6．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=( )
A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a2
7．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
8．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为( )
A．B．C．D．
9．下列四组数：（1），，；（2）2，，4；（3）a2，a4， a8；（4）lg2，lg4，lg8；
那么( )
A．（1）是等差数列，（2）是等比数列B．（2）和（3）是等比数列
C．（3）是等比数列，（4）是等差数列D．（2）是等比数列，（4）是等差数列
10．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为( )
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=__________．12．求数列的前n项和S n=__________．
13．已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=__________．
14．设函数，并且满足f（1+x）+f（﹣x）为定值，利用课本中推导等差数
列前n项和的方法，求f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）的值为__________．15．已知两个等差数列{a n}，{b n}的前n和分别为S n，T n，且满足，求=__________．
二.解答题
16．已知两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使得与共线；
（3）若=（1，2），=（1，1），，且⊥，求实数λ的值．
17．已知数列{a n}的前n项和为S n=n2﹣2n﹣1，求这个数列的通项公式．
18．已知，，（，
（1）求与的夹角
（2）求，．
19．（13分）已知数列{a n}是等差数列，且a2=3，a5=6，数列{b n}是等比数列且公比q=2，S4=15 （1）求通项公式a n，b n
（2）设{a n}的前n项和为S n，证明：数列是等差数列
（3）设数列的前n项和为T n，求T n．
20．（13分）已知向量，，函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，，且a ＞b，求a，b的值．
21．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=2n+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．
2015-2016学年山东省临沂市兰陵四中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）
一.选择题
1．已知数列{a n}中，，那么是这个数列的第( )
A．9项B．10项C．11项D．12项
【考点】数列的函数特性．
【专题】计算题．
【分析】由条件得，要判断是数列中的哪一项，只需令
a n=，解出n得值即可．
【解答】解：∵，
令a n=，可得=，
∴n=10．
故选B．
【点评】要判断某个数是否是数列中的项（或是数列中的哪一项），只需要根据通项公式，让a n等于该值，解方程进行判断．
2．已知下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②如果向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③如果向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；
④如果∥，∥，那么∥；
⑤两个向量不能比较大小，但是他们的模能比较大小．
其中正确的命题为( )
A．①②④⑤ B．②④⑤C．⑤D．③④
【考点】向量的物理背景与概念．
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．
【分析】根据题意，结合平面向量的基本概念，对题目中的命题进行分析、判断即可．
【解答】解：对于①，有向线段可以表示向量，向量是矢量，用有向线段表示，∴①错误；对于②，当向量与向量平行时，与的方向相同或相反或有一个是零向量，∴②错误；对于③，当向量与向量共线时，A，B，C，D四点不一定共线，∴③错误；
对于④，当∥，∥时，若=，则∥不一定成立，∴④错误；
对于⑤，向量是矢量，两个向量不能比较大小，他们的模能比较大小，∴⑤正确．
综上，正确命题的序号是⑤．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，向量是矢量，大小和方向是向量的两个要素，是基础题目．
3．在等差数列{a n}中，已知a3+a5+a7+a9+a11=180，则a7的值为( )
A．30 B．36 C．48 D．72
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列{a n}的性质，及a3+a5+a7+a9+a11=180，可得5a7=180，解出即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a3+a5+a7+a9+a11=180，
∴5a7=180，
解得a7=36．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=( )
A．B．C．D．
【考点】向量数乘的运算及其几何意义．
【专题】计算题．
【分析】利用向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，结合正方体进行求解．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴==，
∵=，
∵，
∴=．
故选D．
【点评】本题考查向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
5．已知数列{a n}中，a1=1，a n=n（a n+1﹣a n）（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( )
A．2n﹣1 B．n C．D．n2
【考点】数列递推式．
【专题】转化思想；做商法；等差数列与等比数列．
【分析】a n=n（a n+1﹣a n），可得=，利用“累乘求积”即可得出．
【解答】解：∵a n=n（a n+1﹣a n），
∴=，
∴a n=•…••a1
=•…••1
=n，
故选：B．
【点评】本题考查了递推关系的应用、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=( )
A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a2
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，
∴=a2，=a×a×cos60°=，
则=（）•==
故选：D
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题
7．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
【考点】等比数列．
【分析】先由等比数列的性质求出a2•a4=a32，a4•a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为（a3+a5）2=25求解．
【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4=a32，a4•a6=a52
∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为
（a3+a5）2=25又∵a n＞0
∴a3+a5=5
故选A
【点评】本题主要考查等比数列性质和解方程．
8．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为( )
A．B．C．D．
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．
【解答】解：，，
则向量方向上的投影为：•cos＜＞
=•===，
故选A．
【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．
9．下列四组数：（1），，；（2）2，，4；（3）a2，a4，a8；（4）lg2，lg4，lg8；
那么( )
A．（1）是等差数列，（2）是等比数列B．（2）和（3）是等比数列
C．（3）是等比数列，（4）是等差数列D．（2）是等比数列，（4）是等差数列
【考点】等比数列；等差数列．
【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）是公比为的等比数列；
（2）是公比为﹣的等比数列；
（3）对a分类讨论即可得出；
（4）lg2，lg4，lg8，即为lg2，2lg2，3lg2，是公差为lg2的等差数列．
【解答】解：（1），，，是公比为的等比数列；
（2）2，，4，是公比为﹣的等比数列；
（3）a2，a4，a8，a=0时是等差数列；a=1时既是等差数列，又是等比数列；a≠0，1时，是等比数列；
（4）lg2，lg4，lg8，即为lg2，2lg2，3lg2，是公差为lg2的等差数列．
因此D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为( )
A．B．C．D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，
解方程组后即可得到m的值
【解答】解：∵P是BN上的一点，
设，由，
则
=
=
=
=
=
∴m=1﹣λ，
解得λ=，m=
故选D
【点评】本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组，是解答本题的关键．
二、填空题
11．已知向量=（， 1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=1．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．
【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1），
∴﹣2=，
又=（t，），且﹣2与共线，
则，解得：t=1．
故答案为：1．
【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则
⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．
12．求数列的前n项和S n=．
【考点】数列的求和．
【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】由于=﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求．
【解答】解：由于=﹣，
即有++…+=﹣+﹣+…+﹣
=﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于基础题．
13．已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=．
【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．
【解答】解：由题意可知：，
因为，
所以，
所以
=
=
=﹣12λ+7=0
解得λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．
14．设函数，并且满足f（1+x）+f（﹣x）为定值，利用课本中推导等差数
列前n项和的方法，求f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）的值为．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】求出f（1+x）+f（﹣x）的定值，利用倒序相加法，求解所求表达式的值．
【解答】解：函数，
∴f（1+x）+f（﹣x）
===
==，
f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）
=[f（﹣4）+f（5）+f（﹣3）+f（4）+f（﹣2）+f（3）+f（﹣1）+f（2）+f（0）+f（1）+…+f （5）+f（﹣4）]
==
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，利用题目提示的方法，求解是解题的关键．
15．已知两个等差数列{a n}，{b n}的前n和分别为S n，T n，且满足，求=．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的性质可得：==，即可得出．
【解答】解：∵两个等差数列{a n}，{b n}的前n和分别为S n，T n，且满足，
∴====，
故答案为：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二.解答题
16．已知两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使得与共线；
（3）若=（1，2），=（1，1），，且⊥，求实数λ的值．
【考点】向量数乘的运算及其几何意义．
【专题】证明题；方程思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】（1）由已知条件利用向量的坐标运算推导出=5，从而共线，由此能证
明A、B、D三点共线．
（2）由已知得存在实数λ，使=λ（），从而得到k2﹣1=0，由此能求出k．（3）先求出=（1+λ，2+λ），再由向量垂直数量积为0的性质能求出λ．
【解答】（1）证明：∵，，，
∴=
=
==5，
∴共线，
又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．
（2）解：∵与共线，
∴存在实数λ，使=λ（），
即=λ，∴（k﹣λ）=，
∵是两个不共线的非零向量，
∴k﹣λ=λk﹣1=0，∴k2﹣1=0，
解得k=±1．
（3）∵=（1，2），=（1，1），，且⊥，
∴=（1+λ，2+λ），
=1+λ+2+λ=0，解得λ=﹣．
【点评】本题考查三点共线的证明，考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意向量平行、向量垂直的性质的合理运用．
17．已知数列{a n}的前n项和为S n=n2﹣2n﹣1，求这个数列的通项公式．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】在数列的前n项和中，取n=1求得首项，再由a n=S n﹣S n﹣1求得n≥2时的通项公式，验证首项后得答案．
【解答】解：当n=1时，a1=s1=﹣2；
当n≥2时，
a n=S n﹣S n﹣1
=（n2﹣2n﹣1）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣1]
=（n2﹣2n﹣1）﹣（n2﹣4n+2）
=2n﹣3．
当n=1时，a1=﹣2，不适合上式
∴数列的通项公式为．
【点评】本题考查数列递推式，考查了利用数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．
18．已知，，（，
（1）求与的夹角
（2）求，．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】（1）运用向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，就是即可得到所求夹角；（2）运用向量的平方即为模的平方，即可得到所求值．
【解答】解：（1）由，，，
可得42﹣32﹣4•=61，即有4×16﹣3×9﹣4•=61，
解得•=﹣6，
由cosθ===﹣，
由于0≤θ≤π，可得与的夹角为；
（2）==
==；
==
==2．
【点评】本题考查向量数量积的定义和运算性质，主要考查向量的夹角公式和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
19．（13分）已知数列{a n}是等差数列，且a2=3，a5=6，数列{b n}是等比数列且公比q=2，S4=15 （1）求通项公式a n，b n
（2）设{a n}的前n项和为S n，证明：数列是等差数列
（3）设数列的前n项和为T n，求T n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；等差数列与等比数列．
【分析】（1）设数列{a n}的首项为a1公差为d，从而可得a n=n+1；设数列{b n}的首项为b1，从而可得，从而解得；
（2）由（1）知，从而利用定义证明；
（3）由（2）知，，从而可得，
故利用错位相减法求解即可．
【解答】解：（1）设数列{a n}的首项为a1公差为d，
∵a5=a2+3d，∴d=1，a1=2；
∴a n=n+1；
设数列{b n}的首项为b1，
∵，
即，
解得b1=1；
故．
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∴数列是以2为首项，以为公差的等差数列．
（3）由（2）知，，
即，；
∴，
∴T n=4•2﹣1+5•20+6•21+…+（n+3）2n﹣2；
2T n=4•20+5•21+6•22+…+（n+3）2n﹣1；
两式相减可得，
﹣T n=2+﹣（n+3）2n﹣1
=2+2n﹣1﹣1﹣（n+3）2n﹣1
=﹣（n+2）2n﹣1+1；
∴T n=（n+2）2n﹣1﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用及错位相减法的应用，同时考查了转化的思想应用．
20．（13分）已知向量，，函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，，且a ＞b，求a，b的值．
【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；余弦定理．【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）由题意结合数量积的定义可得f（x）的解析式，由整体法可求单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1，进而可得，结合余弦定理和结合可解答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：=
==
由，
得．
所以f（x）的单调增区间是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1
∵C是三角形内角，∴，即，
∴cosC==，即a2+b2=7．
将代入可得，解之得：a2=3或4，
∴a=或2，∴b=2或，
∵a＞b，∴a=2，b=．
【点评】本题为三角函数和解三角形的综合应用，涉及余弦定理，属中档题．
21．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=2n+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用数列中a n与 S n关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1解决．（2）由（1）b n=2n+n（﹣1）n，应用分组求和法求和．
【解答】解：（1）解：当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==n，n=1时也适合．
所以a n=n
（2）由（1）b n=2n+n（﹣1）n，
数列{b n}的前2n项和T2n=21+22+…22n+[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣（2n﹣1）+2n]
=+n
=4n+n﹣1
【点评】本题考查利用数列中a n与 Sn关系求数列通项．数列求和计算，考查分组求和，公式应用能力．。