人教版数学九年级上册期末考试试卷及答案

人教版数学九年级上册期末考试试题
一、选择题（每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为（a,b ），则点A'的坐标为
（）
A ．(-a,-b)
B ．(-a,-b-1)
C ．(-a,-b+1)
D ．(-a,-b+2)
3.有一题目：“已知；点O 为ABC ∆的外心，130BOC ∠=︒，求A ∠．”嘉嘉的解答为：画ABC ∆以及它的外接圆O ，连接OB ，OC ，如图．由2130BOC A ∠=∠=︒，得65A ∠=︒．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，A ∠还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（）
A ．淇淇说的对，且A ∠的另一个值是115°
B ．淇淇说的不对，A ∠就得65°
C ．嘉嘉求的结果不对，A ∠应得50°
D ．两人都不对，A ∠应有3个不同值
4.某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一
新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.将二次函数y=x 2+2x ﹣1的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（
）A ．y=（x+3）2﹣2B ．y=（x+3）2+2
C ．y=（x ﹣1）2+2
D ．y=（x ﹣1）2﹣26.已知222,220,220a m am n an ≥-+=-+=，则()()2211m n -+-的最小值是（）。

A ．6
B ．3
C ．-3
D ．0
7.若点()()()1231,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x =-
的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．132
y y y >>D ．321y y y >>8.定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如
果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a ﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x 2+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn 值为（
）
A ．2
B ．0
C ．﹣2
D ．39.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交
AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是（）
A ．18﹣9π
B ．18﹣3π
C ．9﹣
D ．18﹣3π
10.如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1
＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（）
A ．a ＜0
B ．a ﹣b+c ＜0
C ．﹣
D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a
11.如图，过点C （1，2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A ．B 两点，若反比例函数
y=（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（）
A ．2≤k≤9
B ．2≤k≤8
C ．2≤k≤5
D ．5≤k≤8
12.已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1（a 是常数，a≠0），下列结论正确的是（
）A ．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B ．当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点
C ．若a ＞0，则当x≥1时，y 随x 的增大而减小
D ．若a ＜0，则当x≤1时，y 随x 的增大而增大
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13.把一元二次方程（x-3）2=4化为一般形式为___________，一次项系数为_________，常数项为
_________．
14.有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余
均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是________．
15.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2．分别以A ．B 、C 为圆心，以AC 为半径画弧，三
条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是．（保留π）
16.如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△COD ，若∠AOB=15°，则∠AOD 的度数是．
17.若12x m ﹣1y 2与3xy n+1是同类项，点P （m ，n ）在双曲线上，则a 的值为．
18.二次函数y=mx 2+（m+2）x+m+2的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19.(1)计算：2)
+-(2)解方程：(3)260
x x x -+-=20.有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，
第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k ，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b ．
（1）写出k 为负数的概率；
（2）求一次函数y=kx+b 的图象经过二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
21.在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，3），点B 在x 轴上，将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°
得到△AEF ，点O ，B 对应点分别是E ，F.
（1）若点B 的坐标是()40- ，，请在图中画出△AEF ，并写出点E ，F 的坐标；
（2）当点F 落在x 轴上方时，试写出一个符合条件的点B 的坐标.
22.扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今
年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克，若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）
23.如图，已知BO ⊥PO ，AB 是⊙O 上弦，点C 是⊙O 上的动点，∠CBA=∠ACP ．
（1）求证：PC 与⊙O 相切；
（2）若点A 是PO 的中点，⊙O 的半径是2，求四边形OACB 的面积．
24.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）（x 1＜x 2）两点，
与y 轴交于点C ，x 1，x 2是方程x 2+4x ﹣5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D ，求S △ABC ：S △ACD 的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
25.如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，已知∠CAB=90°，AB=AC ，A （﹣2，0），B （0，1）．
（1）求点C 的坐标；
（2）将△ABC 沿x 轴正方向平移，在第一象限内B ，C 两点的对应点B′，C′恰好落在某反比例函数图象上，求该反比例函数的解析式；
（3）若把上一问中的反比例函数记为y 1，点B′，C′所在的直线记为y 2，请直接写出在第一象限内当y 1＜y 2时x 的取值范围．
26.已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A ．B 两点，以线段AB 为直角边在第二象限
内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC=90°，如图1所示：
（1）填空：AB=，BC=；
（2）将△ABC 绕点B 逆时针旋转，①当AC 与x 轴平行时，则点A 的坐标是．
②当旋转角为90°时，得到△BDE，如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式．
③在②的条件，旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少？
（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，点C′为直线AB上的一点，请直接写出△ABC扫过的图形的面积．
答案解析
一、选择题
1.【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】设点A′的坐标是（x，y），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
解：根据题意，点A．A′关于点C对称，
设点A′的坐标是（x，y），
则
2x
a+
=0，
2y
b+
=1，
解得x=﹣a，y=﹣b+2，
∴点A′的坐标是（﹣a，﹣b+2）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A．A′关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．
3.【考点】三角形的外接圆，圆周角定理,圆内接四边形的性质
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
4.【考点】列表法与树状图法．
【分析】画出树状图，根据概率公式求解即可．
，
共有16种结果，小明和小红分在同一个班的结果有4种，故小明和小红分在同一个班的机会==．
故选A．
【点评】本题考查的是列表法和树状法，熟记概率公式是解答此题的关键．
5.【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式．
解：∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，
∴二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1﹣2）2﹣2=（x﹣1）2﹣2，
故选D．
【点评】本题借助于一个特殊函数图象的平移来求解析式，着重考查了函数的图象平移的公式，属于基础题．
6.【考点】根与系数的关系，二次函数的最值
【分析】根据已知条件得到m，n是关于x的方程x2-2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得
到m+n=2a，mn=2，于是得到4（2-3，当a=2时，（m-1）2+（n-1）2有最小值，代入即可得到结论．
解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，
∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，
∴m＋n＝2a，mn＝2，
∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝
4(a2－3，
∵a≥2，
∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，
∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(22－3＝6，
【点评】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
7.【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据点()()()1131,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x
=-的图象上，可以求得123,,y y y 的值，从而可以比较出123,,y y y 的大小关系．
解：∵点()()()1131,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x
=-
的图象上，∴1661y =-=-，2632y =-=-，3623y =-=-，∵326--＜＜，
∴132y y y >>，
故选：C ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
8.【考点】一元二次方程的解
【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为-1，则2+m+n=0，2-m+n=0，然后求出m 、n 的值后计算mn 的值．
解：根据题意得“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为-1，
所以一元二次方程2x 2+mx+n=0的根为1和-1，
所以2+m+n=0，2-m+n=0，解得m=0，n=-2，
所以mn=0．
故选：B ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9.【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，菱形的性质，扇形面积的计算
【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积﹣扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．
解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°﹣60°=120°，
∵DF 是菱形的高，
∴DF ⊥AB ，
∴DF=AD•sin60°=6×=3，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积=6×3﹣
=18﹣9π．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
10.【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【分析】由开口方向，可确定a＞0；由当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，可确定B错误；由对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，可确定x=﹣＜1；由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣
2），对称轴在y轴右侧，a＞0，可得最小值：＜﹣2，即可确定D正确．
解：A．∵开口向上，∴a＞0，故本选项错误；
B、∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故本选项错误；
C、∵对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，∴x=﹣＜1，故本选项错误；
D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴最小值：＜﹣2，
∴4ac﹣b2＜﹣8a．
故本选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
11.【考点】反比例函数综合题．
【分析】先求出点A．B的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y=﹣x+6，设交点为（x，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．
解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x=1时，y=﹣1+6=5，
当y=2时，﹣x+6=2，解得x=4，
∴点A．B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小，
设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，
则k=x（﹣x+6）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，
∵1≤x≤4，
∴当x=3时，k值最大，
此时交点坐标为（3，3），
因此，k的取值范围是2≤k≤9．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12.【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二
次函数的性质
【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．
解：A．∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故
错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故
正确；
故选D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
二、填空题
13.【考点】一元二次方程的一般形式
【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax2+bx+c=0，再分别表示一次项的系数、常数项的系数.
解：（x-3）2=4化为x2-6x+5=0，所以一次项系数为-6，常数项为5.
【点睛】此题主要考察一元二次方程的形式.
14.【考点】中心对称图形，概率公式
【分析】让有中心对称图案的卡片的情况数除以总情况数即为所求的概率
解：在圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形5种图形中，只有等腰三角形不是中心对称图形，
所以抽到有中心对称图案的卡片的概率是4 5 .
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率PA．=．绕某个点旋转180°后能与自身重合的图形叫中心对称图形．
15.【考点】扇形面积的计算．
【分析】三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=三角形的面积﹣三个小扇形的面积．
解：2×2÷2﹣﹣=2﹣．
【点评】本题的关键是理解阴影部分的面积=三角形的面积﹣三个小扇形的面积．
16.【考点】旋转的性质．
【分析】如图，首先运用旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB=15°，即可解决问题．解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC=45°，
∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=45°+15°=60°，
故答案为：60°．
【点评】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是灵活运用、解题的关键．
17.【考点】同类项，反比例函数图象上点的坐标特点
【分析】先根据同类项的定义求出m、n的值，故可得出P点坐标，代入反比例函数的解析式即可得出结论．
解：∵12x m﹣1y2与3xy n+1是同类项，
∴m﹣1=1，n+1=2，解得m=2，n=1，
∴P（2，1）．
∵点P（m，n）在双曲线上，
∴a﹣1=2，解得a=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18.【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数的定义．
【分析】根据题意得出一元二次方程的判别式△=0，得出含m 的方程，解方程即可求出m 的值．解：根据题意得：y=0时，mx 2+（m+2）x+m+2=0，△=0，
∴（m+2）2﹣4×m （m+2）=0，
整理得：4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点的性质、方程的解法；熟练掌握抛物线与x 轴只有一个交点时判别式=0是解决问题的关键．
三、解答题
19.【考点】解一元二次方程，二次根式的加减
【分析】（1）根据二次根式的运算法则，合并同类二次根式计算即可得答案；
（2）把原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用十字相乘法解方程即可.
解：（1）原式=2+-2=
（2）(3)260
x x x -+-=x 2-x-6=0
（x ﹣3）（x+2）＝0
解得：x 1＝3，x 2＝﹣2.
【点睛】本题考查二次根式的运算及解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.
20.【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征；概率公式．
【分析】（1）利用概率的计算方法解答；（2）由图表解答．
解：（1）∵共有3张牌，两张为负数，
∴k 为负数的概率是；
（2）画树状图
共有6种情况，其中满足一次函数y=kx+b 经过第二、三、四象限，
即k ＜0，b ＜0的情况有2种，
所以一次函数y=kx+b 经过第二、三、四象限的概率为
．
【点评】一次函数y=kx+b 的图象有四种情况：
①当k ＞0，b ＞0，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；②当k ＞0，b ＜0，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；③当k ＜0，b ＞0时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；④当k ＜0，b ＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【考点】作图-旋转性质
【分析】以A 为旋转中心，△AOB 绕点A 逆时针旋转90°得到△AEF ，如图所示，确定出E 与F 坐标即可．解：（1）如答图，△AEF 就是所求作的三角形；点E 的坐标是(3，3)，点F 的坐标是()3,1- .
（2）答案不唯一，如B ()20- ，.
【点评】此题考查了作图-旋转性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
22.【考点】二次函数的应用
【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1+20%）＝12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：，求得x 即可
（2）根据总利润＝（售价﹣成本）×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为（x+1）元今年的批发销售总额为10（1+20%）＝12万元∴
整理得x 2﹣19x ﹣120＝0
解得x＝24或x＝﹣5（不合题意，舍去）
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均售价为m元，依题意
由（1）知平均批发价为24元，则有
w＝（m﹣24）（×180+300）＝﹣60m2+4200m﹣66240
整理得w＝﹣60（m﹣35）2+7260
∵a＝﹣60＜0
∴抛物线开口向下
∴当m＝35元时，w取最大值
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23.【考点】三角形的内角和定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理
【分析】（1）先求得∠OAC=∠OCA，从而根据三角形内角和定理得出2∠OCA+∠AOC=180°，进而得出∠OCA+12∠AOC∠OCA+12∠AOC=90°，由∠CBA=∠ACP，
∠CBA=12∠AOC∠CBA=12∠AOC，得出∠OCA+∠ACP=90°，即可证得结论；
（2）根据已知求得三角形AOC是等边三角形，进而得出∠BOC=30°，作CD⊥OP，BE⊥OC，
通过解直角三角形求得CD、BE，然后根据S
四边形OACB =S
△AOC+S△BOC即可求得．
解：（1）∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°，
∴2∠OCA+∠AOC=180°，
∴=90°，
∵∠CBA=∠ACP，，
∴∠OCA+∠ACP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC与⊙O相切；
（2）∵∠PCO=90°，点A是PO的中点，∴AC=OC=PA，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵BO⊥PO，
∴∠BOC=30°，
作CD⊥OP，BE⊥OC，
∴CD=OC=，BE=OB=1，
=S△AOC+S△BOC=OA•CD+OC•BE=×2×+×2×1=+1．∴S
四边形OACB
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线，求得三角形的高CD、BE是解题的关键．
24.【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）首先解一元二次方程，求出点A．点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论；
（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式．
解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，
由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．
抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），
∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），
令x=0，得y=﹣5a，
∴C点的坐标为（0，﹣5a）．
依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，
过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．
S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC
=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC
=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a
=15a，
而S
△ABC
=AB•OC=×6×5a=15a，
∴S
△ABC ：S
△ACD
=15a：15a=1；
（2）如解答图所示，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，
设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．
∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，
∵a＞0，
∴a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错．注意第（1）问中求△ACD面积的方法．
25.【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）作CN⊥x轴于点N，根据HL证明Rt△CAN≌Rt△AOB，求出NO的长度，进而求出d；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，用c表示出C′和B′，根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，进而求出c的值，即可求出反比例函数和直线B′C′的解析式；
（3）直接从图象上找出y1＜y2时，x的取值范围．
解：（1）作CN⊥x轴于点N，
∵A（﹣2，0）B（0，1）．
∴OB=1，AO=2，
在Rt△CAN和Rt△AOB，
∵，
∴Rt△CAN≌Rt△AOB（HL），
∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，
又∵点C在第二象限，
∴C（﹣3，2）；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，
则C′（﹣3+c，2），则B′（c，1）
又点C′和B′在该比例函数图象上，
把点C′和B′的坐标分别代入y1=，
得﹣6+2c=c，
解得c=6，
即反比例函数解析式为y1=，
（3）此时C′（3，2），B′（6，1），
设直线B′C′的解析式y2=mx+n，
∵，
∴，
∴直线C′B′的解析式为y2=﹣x+3；
由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为C′（3，2），B′（6，1），∴若y1＜y2时，则3＜x＜6．
【点评】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识，解决第（2）问关键求出c的值，此题难度不是很大．
26.【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A．B两点的坐标，利用勾股定理即可解答；
（2）①因为B（0，3），所以OB=3，所以AB=5，所以AO=AB﹣BO=5﹣3=2，所以A（0，﹣2）；
②过点C作CF⊥OA与点F，证明△AOB≌△CFA，得到点C的坐标，求出直线AC解析式，
根据AC∥BD，所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析式，即可解答．
③利用旋转的性质进而得出A，B，C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90°圆心角
的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积求出答案；
（3）利用平移的性质进而得出△ABC扫过的图形是平行四边形的面积．
解：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴AO=4，BO=3，
在Rt△AOB中，AB=，
∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，
∴BC=；
故答案为：5；．
（2）①如图1，
∵B（0，3），
∴OB=3，
∵AB=5，
∴AO=AB﹣BO=5﹣3=2，
∴A（0，﹣2）．
当在x轴上方时，点A的坐标为（0，8），故答案为：（0，﹣2），（0，8）．
②如图2，
过点C作CF⊥OA与点F，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAF=90°，
∵∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CAF=∠OBA，
在△AOB和△CFA中，
，
∴△AOB≌△CFA（AAS）；
∴OA=CF=4，OB=AF=3，
∴OF=7，CF=4，
∴C（﹣7，4）
∵A（﹣4，0）
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A与C坐标代入得：，
解得：，
则直线AC解析式为y=，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为90°时，得到△BDE，∴∠ABD=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD=∠CAB=90°，
∴AC∥BD，
∴设直线BD的解析式为
y=x+b1，
把B（0，3）代入解析式的：b1=3，
∴直线BD的解析式为
y=x+3；
③因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°
圆心角的扇形面积，
所以可得：S=；
（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，△ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC，如图3
：
将C点的纵坐标代入一次函数y=x+3，求得C′的横坐标为，
平行四边CAA′C′的面积为（7+）×4=，
三角形ABC 的面积为
×5×5=
△ABC 扫过的面积为：+
=．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键。

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