高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 复数的表示法素材 新人教A版选修22

复数的表示法
①几何形式；复数被复平面上的点 z（a，b ）唯一确定。

这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。

也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。

②向量形式。

复数z=a+bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。

这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。

③三角形式。

复数z=a+bi化为三角形式
z=r（cosθ+isinθ）
式中r= √（a^2+b^2），是复数的模（即绝对值）
θ 是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作arg(z)
这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。

④指数形式。

将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ换为exp(iθ），复数就表为指数形式z=rexp(iθ）
用直线将复平面内任一点z与N相连，必与球面相交于P点，则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系，而N点本身可代表无穷远点，记作。

这样的球面称作复球面。

除了复数的平面表示方法外，还可以用球面上的点来表示复数。

扩充复数域---引进一个“新”的数∞；
扩充复平面---引进一个“理想点”；无穷远点∞。

约定：
a/0=∞，a/∞=0(a╪∞)，∞/a=∞(a╪∞)，
a*∞=∞*a(a╪0)，a±∞=∞±a(a╪∞)。

注：若无特殊说明，平面均指有限复平面。

⑤复平面。

由于一个复数z=x+iy由一对有序实数（x,y)唯一确定，所以对于平面上给定的直角坐标系，复数的全体与该平面上点的全体成一一对应关系，从而复数z=x+iy可以用该平面上坐标为（x,y)的点来表示，此时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面或z平面。

这样，复数与复平面上的点一一对应，并且把“点z”作为“数z”的同义词。

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