江苏省扬州市江都樊川中学高三数学理月考试卷含解析

江苏省扬州市江都樊川中学高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，，，则a，b，c的大小关系是（）．
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.
【详解】因为
，故本题选C.
【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.
2. 已知函数，为了得到函数的图象，只需要将
的图象( )
A. 向右平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
参考答案：
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4
D 解析：由于函数=sin2x，函数g（x）=sin2x+cos2x=sin
（2x+）=sin2（x+），故将y=f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到g（x）的图象，故选D．
【思路点拨】利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，得出结论．3. 函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）
（A）在区间上单调递减
（B）在区间上单调递增
（C）在区间上单调递减
（D）在区间上单调递增
参考答案：
B
由题意得，，
所以函数的解析式为，
当时，则，
又由余弦函数的图象与性质可知，函数在单调递增，
函数f(x)在上单调递增，故选B.
4. 已知集合，，则A∩B=（）
A. {－3,－2,－1,0}
B. {－1,0,1,2,3}
C. {－3,－2}
D. {－3,－2,－1,0,1,2,3}
参考答案：
B
【分析】
利用一元二次不等式的解法化简集合，再由交集的定义可得结果.
【详解】因为，
∴．
故选B．
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
5. 已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）
A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1
参考答案：
B
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意可知：令f（x）=g（x），化简求得t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，根据h（x）的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．
【解答】解：由ax+elnx=，整理得：a+=，
令h（x）=，且t=h（x），
则t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，
求导h′（x）==0，解得：x=e，
∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，
则当x→+∞时，h（x）→0，如图所示，
由题意可知方程有一个根t1在（0，1）内，另一个根t2=1或t2=0或t2∈（﹣∞，0），当t2=1方程无意义，当t2=0时，a=1，t1=0不满足题意；
则t2∈（﹣∞，0），由二次函数的性质可知：，即，
解得：a＞1，
故选：B．
【点评】本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．
6. 若，当，时，，若在区间，内
有两个零点，则实数的取值范围是( )
.，.，.，
.，
参考答案：
D
7. 设为表示不超过的最大整数,则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
8. 若函数=
A．0 B．1 C．2
D．
参考答案：
C
，所以．
9. 若复数z满足（z-3）（2-i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）
A.2+i
B.2-i
C.5+i
D.5-i
参考答案：
D
10. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①；②；③；④；
则输出函数的序号为
A.①
B.②
C.③
D. ④
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 二项式，则该展开式中的常数项是______.
参考答案：180
【分析】
求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案.
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，可得，即展开式的常数项是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频
率为。

参考答案：
解析：频率/组距，组距，频率
13. 已知则= .
参考答案：
略
14. 已知球的直径PC=4，A，B在球面上，∠CPA=∠CPB=45°，AB=2，则棱锥P﹣ABC的体积为．参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意画出图形，取CP 中点O ，结合已知可得△ABO 为等边三角形，且证得CP⊥平面ABO ，再由V P ﹣ABC =V C ﹣ABO +V P ﹣ABO 求解． 【解答】解：如图，
由球的直径PC=4，A ，B 在球面上，则∠CAP=∠CBP=90°， 又∠CPA=∠CPB=45°，
∴△ACP 、△BCP 为等腰直角三角形， 取CP 中点O ，即为球心，连接AO 、BO ， ∴AO⊥CP，BO⊥CP，且AO=BO=．
又由AO∩BO=O，∴CP⊥平面ABO ，
故，．
由△ABO 中，AB=AO=BO=2，可知△ABO 为等边三角形． ∴
=
． ∴V P ﹣ABC =V C ﹣ABO +V P ﹣ABO =
=
． 故答案为：
．
15. 已知集合为整数集，则集合中所有元素的和等于________
参考答案： 3
本题考查了绝对值不等式的解法，考查了集合的交、并、补运算，难度较小。

集合，所以，元素之和为3.
16. 的展开式中，
的系数为
（用数字作答）．
参考答案：
10
.
17. （选修4—5 不等式选讲） 若对于任意实数x 不等式 恒成立，则实数
的取
值范围是： ；
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列{a n }满足.
（1）设
，求数列{b n }的通项公式；
（2）求数列{a n }的前n 项和S n ；
（3）记
，求数列{c n }的前n 项和T n .
参考答案：
（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由得
，得
；
（2）易得
，
错位相减得
所以其前项和；
（3）
，
或写成.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
19. 已知某圆的极坐标方程是ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0
求：
（1）求圆的普通方程和一个参数方程；
（2）圆上所有点（x，y）中xy的最大值和最小值．
参考答案：
【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】直线与圆．
【分析】（1）圆的极坐标方程是，化为直角坐标方程即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，从而进一步得到其参数方程．
（2）因为 xy=（2+cosθ）（2+sinθ）=4+2（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ，再令
sinθ+cosθ=t∈[﹣，]，则xy=t2+2t+3，根据二次函数的最值，求得其最大值和最小值．【解答】解：（1）普通方程：x2+y2﹣4x﹣4y+6=0…（2分）；
参数方程：（θ为参数）…（4分）
（2）xy=（2+cosθ）（2+sinθ）=4+2（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ…令sinθ+cosθ=t∈[﹣，]，2sinθcosθ=t2﹣1
，则xy=t2+2t+3…（6分）
当t=﹣时，最小值是1；…（8分）
当t=时，最大值是9；…（10分）
【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和的正弦公式，圆的参数方程，得到圆的参数方程，是解题的关键．
20. 已知函数（）
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）设函数，当时，函数的最小值为，且
（），求的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）当时，化为
当时，不等式化为，解得
当时，不等式化为，解得
当时，不等式化为，解得
综上不等式的解集是
（Ⅱ）当时，
当且仅当时，即时，等号成立
所以，函数的最小值
所以，
当且仅当，即时等号成立
所以的最小值是.
21. 已知斜三棱柱，，在底面上的射影恰为的中点，又知。

（I）求证：平面；（II）求求二面角余弦值的大小
参考答案：
（I）如图，取的中点，则，因为，
所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，
则，，，
，，
，，
，由，知，
又，从而平面；
（II）由，得。

设平面的法向量为，，，所以
，设，则
所以点到平面的距离。

（III）再设平面的法向量为，，，
所以
，设，则，
故，根据法向量的方向，
可知二面角的余弦值大小为
略
22. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．
参考答案：
解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调减区间是，单调增区间是；
当时，函数是常数函数，无单调区间。

（Ⅱ）
由,
∴，. 高考资源网w。

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故，
∴,
∵函数在区间上总存在极值，
∴函数在区间上总存在零点，
又∵函数是开口向上的二次函数，且
∴高考资源网w。

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由，令，则，所以在上单调递减，所以；
由，解得；
综上得：所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。

高考资源网w。

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（Ⅲ）高考资源网w。

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令，则
.
①当时，由得，从而,
所以，在上不存在使得；高考资源网w。

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②当时，,
，在上恒成立，
故在上单调递增。

故只要，解得
综上所述，的取值范围是高考资源网w。

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略。