2019年广州市高三数学上期中模拟试题附答案

2019年广州市高三数学上期中模拟试题附答案
一、选择题
1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018
B ．2018-
C ．4036-
D ．4036
2．下列命题正确的是
A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2
B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc
C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3
D ．若a>b ，则
1
a ＜1b
3．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1
n n n
a b a +=
．若10112b b =，则21a =（ ）
A ．92
B ．102
C ．112
D ．122
4．在数列{}n a 中，12a =，11
ln(1)n n a a n +=++，则n a =
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
5．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 km
B
km
C
．
D
．
6．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ） A ．()8,10
B
．(
C
．()
D
．
)
7．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,
若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则
a c
b
+的值为( ) A ．2
B
C
D ．4
8．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =
，c =，
30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )
A
B ．
3
4 C ．32
或
2
D ．
34
或2
9．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9
B ．22
C ．36
D ．66
11．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1
{3
(3)
x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=
A ．
B ．
C ．1
D ．2
12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3
x y
+的最大值为 A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
二、填空题
13．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为____．
14．设数列{a n }的首项a 1＝
3
2
，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177
n n S S <<的所有n 的和为________． 15．对一切实数x ，不等式2
||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 16．已知函数()3a
f x x x
=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.
17．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14
x y
+的最小值为______． 18．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足(
)2
21n n a S n *
-=∈N
．若
不等式
()
()
1
1
181n
n n n a n
λ++-+⋅-≤
对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．
19．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且
22
a c ac bc -=-，则
sin c
b B
的值为________. 20．已知数列{}n a 的通项1n n a n
+=
+15项的和等于_______.
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．
22．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，
3
sin 5
B =.
（Ⅰ）求b 和sin A 的值；
（Ⅱ）求π
sin(2)4
A +
的值. 23．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，已知
2
4sin 4sin sin 22
A B
A B -+=（1）求角C 的大小；
（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.
24．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列{(1)}n
n a -•的前2n 项和2n T ．
25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =
，n a （*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：当2n ≥时，12311113232
n a a a na ++++<L 26．已知数列{}n a 满足：1=1a ，(
)*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数
设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列；
（2）求数列3+2n n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
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一、选择题 1．D
【解析】
分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.
详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：
120171009201710092201720172017201722
a a a
S a +=
⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：
()12018
201710091010201810091009440362
a a S a a +=
⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．C
解析：C 【解析】
对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.
故选C
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】
数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1
n n n
a b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝
，＝4312341233
a
a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，
，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】
本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+
⎪⎝⎭
112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+
12ln
ln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12
ln(
)2121
n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 5．D 解析：D 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】
因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫
⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
700．
所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】
由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个
角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到222
222
1313a a ⎧+>⎨+>⎩
，
由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一
般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：
A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<. 7．A 解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3
B π
=，再由余弦定理，求得
()2
24b a c =+，即可求解，得到答案．
【详解】
在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =，即tan B =3
B π
=
，
由余弦定理得2
2
2
2
2
2
2
2
2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线1
2
BD c =
，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】
解：3,30b c B ===o Q ，
∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得29272a a =+-⨯⨯，
整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．
Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则122
BD c ==，
∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：
222333336(
)26CD =+-⨯⨯⨯，或22233333
3()23CD =+-⨯⨯⨯
， ∴解得AB 边上的中线32CD =
或37
2
． 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】
由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
10．D
解析：D 【解析】
分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本
量运算，解答过程注意避免计算错误.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
画出不等式组表示的平面区域如图所示：
当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，
2a -），所以
221a -=，解得1
2
a =
，故选B. 【考点定位】
本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 分析题意，取3x y +倒数进而求3
x y
+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。

【详解】
因为40x y xy +-=，化简可得4x y xy +=，左右两边同时除以xy 得
14
1y x
+= 求
3x y +的最大值，即求
333
x y x y
+=+ 的最小值 所以1413333x y x y y x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+⨯=+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4143333
x y y x =
+++
4142
33
33
x y y x ≥⨯++ 3≥，当且仅当
433x y y x
=时取等号 所以
3x y +的最大值为1
3
所以选A 【点睛】
本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题。

二、填空题
13．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+
解析：5 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值． 【详解】
作出实数x ，y 满足10
2010x y x y x y ++≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≤⎩
对应的平面区域，如图：
由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，
平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1） 此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5， 故答案为5． 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
14．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1
解析：7 【解析】
由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝
a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝3
4
，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1
＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝311221
12
n
⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<
2n n S S <8
7，可得117<(12
)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 15．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两 解析：[－2，+∞）
【解析】 【分析】
根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原
式可变形为a≥-（|x|+ 1
x
），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得
答案. 【详解】
根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2
+1），即a≥-（|x|+
1x
）, 又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1
x
）≤-2；
要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可； 综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）； 故答案为[-2，+∞）． 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．
16．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得
取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析：[]20,30
【解析】
【分析】
先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x ()f x 达到最小，得到()()56f f ≤，()()54f f ≤，解得即可.
【详解】
∵()3a f x x x
=++，*x ∈N ， ∴()2221a x a f x x x
-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 为增函数，
最小值为()()min 14f x f a ==+，不满足题意，
当0a >时，令()0f x '=，解得x =
当0x <<()0f x '<，函数()f x 在区间(上单调递减，
当x ()0f x '>，函数()f x 在区间
)+∞上单调递增，
∴当x =()f x 取最小值，又*x ∈N ，
∴x ()f x 达到最小，
又由题意知，5x =时取到最小值，
∴56<<或45<≤，
∴()()56f f ≤且()()54f f ≤，即536356a a +
+≤++且534354
a a ++≤++， 解得2030a ≤≤.
故实数a 的所有取值的集合为[]20,30.
故答案为：[]20,30.
【点睛】 本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题.
17．【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等 解析：94
【解析】
变形
14141444x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
之后用基本不等式：求解即可. 【详解】 原式可变形为：
()14141914544444
x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当43x =，83
y =时取等． 故答案为：94
【点睛】 本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 18．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题 解析：77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：由题意，则，
当为偶数时由不等式()
()11181n n n n a n λ++-+⋅-≤得821n n n λ
-≤+，即(8)(21)n n n
λ-+≤， (8)(21)8215n n y n n n
-+==--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤- 当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤
=++，函数8217y n n =++， 当3n =时取得最小值为773，即77,3λ-≤所以773λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．
19．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题
【分析】
利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =︒，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有
1sin sin c b B A
=，从而得到所求之值. 【详解】
∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=. 在ABC ∆中，由余弦定理2221cos 22
c b a A bc +-== ， 因()0,A π∈，∴60A =︒. 由正弦定理得2sin sin sin sin sin sin c C C b B B B B
==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ，
故2sin sin 1sin sin sin sin C C B A C A ===. 故答案为
3. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
20．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还 解析：3
【解析】
【分析】
将n a =
15项的和.
【详解】
利用分母有理化得
n a ===
设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，所以前15项的和为：
151215S a a a =+++L
1=L
1=
413=-=
即：153S =.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查利用裂项相消法求数列的前n 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.
三、解答题
21．（1）21n a n =+；（2）()1212n n +-⋅
【解析】
【分析】
()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出21n a n =+．
(2()111)2,2212n n n n n n n
b b a n a ---==⋅=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ．
【详解】
解：(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，
且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．
()()1121
113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩，
解得132a d =⎧⎨=⎩
()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，
21n a n ∴=+
(2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
Q 是首项为1公比为2的等比数列， ()1112,2212n n n n n n n
b b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①
()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②
两式相减得：
()
()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-
()1212n n =+-⋅
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。

22．
（Ⅰ）b =sin A
=
13.
（Ⅱ）26. 【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC V 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=
，所以b =. 由正弦定理sin sin a b A B =,
得sin sin a B A b == 所以，b
sin A
. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <
，得cos 13
A =，所以12sin22sin cos 13A A A ==， 25cos212sin 13A A =-=-.
故πππsin 2sin2cos cos2sin 444A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭
. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
23．（1）
4π；（2
. 【解析】
【分析】
（1
）由二倍角的余弦公式把24sin 4sin sin 22
A B A B -+=+的余弦公式求cos()A B +，由三角形三内角和定理可求得cos C ，从而求得角C ； （2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求E 边.
试题分析：
（1）由已知得2[1cos()]4sin sin 2A B A B --+=+
化简得2cos cos 2sin sin A B A B -+=
，
故cos()2
A B +=-，所以34A B π+=， 因为A B C π++=，所以4C π=
.
（2）因为1sin 2S ab C ⊥=，由6ABC S =V ，4b =，4
C π=，所以a =，
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，所以c =.
【点睛】
本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题.
24．(1) 23n a n =- (2) 22n T n =
【解析】
【分析】
（1）由题意，可知2324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1），可知12n n a a --=，可得
()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.
则2324(1)a a S =⋅+，即()()()2
12136d d d -+=-+-+，解得2d =， 所以数列的通项公式23n a n =-.
（2）由（1），可知12n n a a --=，
所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
25．(1) 21n a n =- (2)见证明
【解析】
【分析】
(1)由题意将递推关系式整理为关于n S 与1n S -的关系式，求得前n 项和然后确定通项公式即可；
(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.
（1
）由n a =
1n n S S --=+
1(2)n =≥，
所以数列
1==为首项，以1为公差的等差数列，
1(1)1n n =+-⨯=，即2n S n =，
当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，
当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-； （2）当2n ≥时，111(21)(22)n na n n n n =<--111112(1)21n n n n ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭
， 所以123111123n a a a na +++⋅⋅⋅+1111111122231n n ⎛⎫<+-+-++- ⎪-⎝⎭L 313222
n =-< 【点睛】
给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .
26．（1）见解析（2）1242n n n S -+=-
【解析】
【分析】
（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列； （2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的通项公式，结合错位相减法即可求得前n 项和n S ．
【详解】
（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+， 所以()1222n n b b ++=+，即1222
n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，
所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．
（2）由（1）得，1232n n b -+=⋅，
11
332322n n n n n n b --==+⋅， 所以021
11222n n n n n S ---=+++L
02
22222n n n S -=+++L 则1021122222n n n n n n S S S --⎛⎫=-=-
+++ ⎪⎝⎭L 11111221212
n n n --⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+- 1
242n n -+=-
． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题.。