【数学】贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考试题解析版

贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考数学试题
一、选择题
1. （）
A. B. C. D.
2. 设集合为，，则（）
A. B. C. D.
3. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. 或 D. 2或
4. 一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为（）
A. 20
B. 18
C. 16
D. 12
5. 等差数列中，是函数的两个零点，则的前9项和等于（）
A. -18
B. 9
C. 18
D. 36
6. 已知，则（）
A. 0
B. 1
C. 32
D. -1
7. 下图所示中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（）
A. 11
B. 10
C. 7
D. 8
8. 已知的面积为12，如果，则的面积为（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
9. 已知，，，，从这四个数中任取一个数使函数
有极值点的概率为（）
A. B. C. D. 1
10. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足
则其外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
11. 已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，则的最大值为（）
A. B. C. D.
12. 已知，函数对任意有成立，与
的图象有个交点为，…，，则（）
A. B. C. D.
二、填空题
13. __________．
14. 在中，三顶点，，，点在内部及边界运动，则
最大值为__________．
15. 若半径为1的球与的二面角的两个半平面切于两点，则两切点间的球面距离（即经过两点的大圆的劣弧长）是__________．
16. 在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，，______．三、解答题
17. 不是直角三角形，它的三个角所对的边分别为，已知. （1）求证：；
（2）如果，求面积的最大值.
18. 某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
19. 如图1，，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2 所示）
（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
（2）当三棱锥的体积最大时，设点分别为棱、的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小.
20. 已知椭圆（）的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点且与椭圆相交于两点.
（1）求的方程；
（2）在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标，若不存在，说明理由.
21. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标中，圆，.
（1）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）；
（2）求出圆的公共弦的参数方程.
23. 选修4-5：不等式选讲
（1）比较与的大小；
（2）已知，且，求证：
【参考答案】
一、选择题
1.【答案】A
【解析】由已知
，故选A.
2. 【答案】B
【解析】由已知可得，，为不能被整除的数，为整数，又分母相同，故，故选B.
3. 【答案】A
【解析】因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以
，故选A.
4.【答案】C
【解析】因为田径队男运动员，女运动员人，所以这支田径队共有人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，所以每个个体被抽到的概率是，因为田径队有男运动员人，所以男运动员要抽取人，故选C.
5. 【答案】C
【解析】等差数列中，是函数两个零点，
的前项和，，故选C.
6. 【答案】A
【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则
．在原二项展开式中令，可得
．故本题答案选．
7. 【答案】D
【解析】当，时，不满足，，故此时输入的值，并判断，若满足条件，此时，解得，这与
与条件矛盾，若不满足条件，此时
，解得，此时不成立，符合
题意，综上所述，，故选D.
8. 【答案】C
【解析】设，以为邻边作平行四边形，连接则
，，
，，所以可得的面积为
，故选C.
9. 【答案】B
【解析】对求导得若函数有极值点，
则有2个不相等的实数根，
故，解得，
而
满足条件的有2个，分别是，
故满足条件的概率
故选：B．
10. 【答案】B
【解析】由题可知，O为△ABC的重心，△ABC外接圆的半径为，且三棱锥的高为1．故
∴球＝＝，故选D
11. 【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，由过焦点的弦长公式，可
得，，所以可得
，的最大值为，故选D.
12. 【答案】D
【解析】化简，的图象关于对称，
由可得,可得的图象也关于对称，
因此与的图象的个交点为，…，，也关于对称，
所以，，
设，则，两式相加可
，同理可得
，
，故选D.
二、填空题
13.【答案】1
【解析】由，故答案为.
14.【答案】
【解析】画出符合题意的的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由平移可知当直线，经过时，直线的截距最小，此时取得最大值，代入，即的最大值是，故答案为.
15.【答案】
【解析】画出图形，如图，在四边形中，是球的大圆的切线，，，两切点间的球面距离是弧，故答案为.
16.【答案】
【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，则
，即为此等比数列的公比，
，
，由，又，
，
，
，故答案为.
三、解答题
17. （1）证明：由，根据正弦定理可得
，，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；
（2）解：方法一：b=2a.c=12，余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)
方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆，圆心在直线AB上，当C 上升到离直线AB最远时面积最大。

方法三：利用海伦公式直接将面积表示为a的函数
方法三为最简捷办法，凡只涉及边的面积问题可优先想到海伦公式。

18. 解：（1）依题意，，
由二项分布可知，.
,,
,,
所以的分布列为
.
（2）记水电站的总利润为（单位：万元），
①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，；
②若安装2台发电机，
当时，只一台发电机运行，此时，，
当时，2台发电机运行，此时，，
.
③若安装3台发电机，
当时，1台发电机运行，此时，，当时，2台发电机运行，此时，，当时，3台发电机运行，此时，，
综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.
19. 解：（1）解法1：在如图1所示的△中，设，则．由，知，△为等腰直角三角形，所以.
由折起前知，折起后（如图2），，，且，
所以平面．又，所以．于是
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当，即时,三棱锥的体积最大．
解法2：同解法1，得．
令，由，且，解得．
当时，；当时，．
所以当时，取得最大值．
故当时,三棱锥的体积最大．
（2）以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．
由（1）知，当三棱锥的体积最大时，，．
于是可得，，，，，，
且．
设，则.因为等价于，即
，故，.
所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．
设平面的一个法向量为，由及，
得可取．
设与平面所成角的大小为，则由，，可得
，即．
20. 解：（1）由，，解出可得椭圆的方程为.
（2）由直线过椭圆右焦点，
当直线不与轴重合时，可设
代入椭圆方程，并整理得
设，，则，
设，则
为定值，
则，解得
故存在定点，使得为定值.
21. （1）解：∵，故其定义域为，
∴，令，得，令，得.
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：∵，，∴，令
又，令解得.
当在内变化时，，变化如下表
+
由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以，
（3）证明：由（2）知，∴（）
∴
∴
即
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 解：（1）根据公式：
圆C1、C2的极坐标方程分别为：，
联立：解得：
∴圆C1与圆C2的交点极坐标分别为：
（2）把（1）中两圆交点极坐标化为直角坐标，
得：
∴此两圆公共弦的普通方程为：
∴此弦所在直线过（1，0）点，倾斜角为90°
∴所求两圆的公共弦的参数方程为：
23. （1）解：因为，所以；（2）证明：∵a+b+c=1，a，b，c∈R+，
∴当且仅当a=b=c时，取等号。