高等数学(工科类)第八章

行 列
式可用对角线法则来记忆，即等于
式
主对角线上两个元素的乘积减去次对
角线上两个元素的乘积，如图所示．
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行列式
矩阵
线性方程组
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2．三阶行列式
定义2 与二阶行列式类似，可以定义三阶行列式为
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
(1)11 a11
高等数学（工科类）
高 等 数 学 第 八 章
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目
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（一）行列式的概念 （二）行列式的性质 （三）克莱姆法则 （四）运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解
第一
节
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行列式Βιβλιοθήκη 矩阵线性方程组x1

b1a22 a11 a22

a12 a12
ba221，x2

a11b2 a11 a22
a21b1 ． a12 a21
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定义1 将由4个数排列成2行2列（横排为行，竖排为列）并左右两边
1
各加一条竖线的算式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12 a21
a1n
a11 a21
a2n ，则DT a12 a22
an1 an2 ．
an1 an2
ann
a1n a2n
ann
性质1 行列式与其转置行列式的值相等，即D DT．
性质2 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号．
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2 行列式的性质
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推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则
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2 行列式的性质
性质4 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于用数k乘以此行列式，即
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
kai1 kai2
kain k ai1 ai2
ain ．
an1 an2
ann
an1 an2
ann
推论3 行列式某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
式
a11 0
0
Dn a21 a22
0 a11a22 a33 an． n
an1 an2
ann
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2 行列式的性质
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首先介绍转置行列式的定义．将行列式D的行、列互换后，所得到的行列式称为
a11 a12 D的转置行列式，记作DT，即若D a21 a22
行 列 式
称为二阶行列式，用D表示．其中，aij (i，j 1，2)称为二阶行列式的元
素，简称元；上式的右端a11a22 a12 a21称为二阶行列式的展开式．
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1
在行列式中，从左上角元素到右下角元素的直线称为主对角线，
从右上角元素到左下角元素的直线称为次对角线．二阶行列式的展开
行
式．事实上，三阶行列式还可以按第二行和第三行展开，即
列 式
D (1)21 a21
a12 a32
a13 a33
(1)22 a22
a11 a31
a13 a33
(1)23 a23
a11 a31
a12 a32
D (1)31 a31
a12 a22
a13 a23
(1)32 a32
推论4 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为0．
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性质6 将行列式某一行（列）的各个元素都乘以同一常数k后，再加到
另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变．
12 3
例2 计算D 0 1 2 ．
0 1 4
解 利用行列式的性质把它化为上三角行列式，再求值
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1．二阶行列式
例1 设二元一次线性方程组为
1
a11 x1 a12 x2 b1 ，
a21 x1 a22 x2 b2
行
其中，xj ( j 1，2)为未知量，aij (i，j 1，2)为未知量系数，bi (i 1，2)
列 式
为常数项． 当a11a22 a12 a21 0时，方程组的解为
a22 a32
a23 a33
(1)12 a12
a21 a31
a23 a33
(1)13 a13
a21 a31
a22 a32
a11 (a22 a33 a23 a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a3．1
1
行 列 式
（8-1）
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三阶行列式的值也遵循对角线法则，如图所示．需要注意的是，
对角线法则仅适用于二、三阶行列式的计算．
我们注意到，一个三阶行列式是它的第
1
一行各元素分别与3个二阶行列式乘积的代
数和．因此我们也称式（8-1）右端为三阶行列式按第一行展开的展开
式
a11 0 Dn a21 a22
0 0．
an1 an2
ann
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由行列式按行展开的方法容易证明，上（下）三角行列式的值等于主
对角线上元素的乘积，即
1
a11 a12
a1n
0 Dn
a22
a2n a11a22 a33 ann，
行 列
00
ann
此行列式的值等于0．
推论2 n阶行列式某一行各元素与另一行对应元素的代数余
子式乘积之和为0，即
n
aij Akj ai1 Ak1 ai2 Ak 2
j 1
ain Akn 0，i k．
性质3 如果行列式中有一行（列）的元素全为0，则此行列式的值为0．
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12 3
12 3
D 0
1
r2 r3
2
01
2 11 (2) 2．
a11 a21
a13 a23
(1)33 a33
a11 a21
a12 a22
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（2）上三角和下三角行列式
定义5 主对角线以下的元素都为0的行列式称为上三角行列式，即
a11 a12
a1n
1
0 Dn
a22
a2n ．
行
00
ann
列
主对角线以上的元素都为0的行列式称为下三角行列式，即