2021年浙江省丽水市城中学高二数学理期末试题含解析

2021年浙江省丽水市城中学高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且
则△ABC的面积S＝()．
A. B. C. D．2
参考答案：
C
2. 如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于
A. －＋
B. －－
C、－
D、＋
参考答案：
A
3. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
参考答案：
B
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论．
【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；
假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；
所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．
故选B．
4. 某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是（）
A．7，11，18 B．6、12、18 C．6、13、17 D．7、14、21
参考答案：
D
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】由题意，要计算各层中所抽取的人数，根据分层抽样的规则，求出各层应抽取的人数即可选出正确选项．
【解答】解：由题意，老年人、中年人、青年人比例为1：2：3．
由分层抽样的规则知，老年人应抽取的人数为×42=7人，
中年人应抽取的人数为×42=14人，
青年人应抽取的人数为×42=21人．
故选：D．
【点评】本题考查分层抽样，解题的关键是理解分层抽样，根据其总体中各层人数所占的比例与样本中各层人数所占比例一致建立方程求出各层应抽取的人数，本题是基本概念考查题．
5. 在等比数列{a n}中，a1=1，a5=16，则公比q为（）
A．±2B．3 C．4 D．8
参考答案：
A
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵a1=1，a5=16，
∴16=q4，解得q=±2．
故选：A．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6. 若函数f(x)为偶函数，且，则（）
A.12
B.16
C.20
D.28
参考答案：
D
略
7. 直线过圆内一点，则被圆截得的弦长恰为整数的直线共有
A、5条
B、6条
C、7条
D、8条
参考答案：
D
8. 已知圆C: (x+1)2+(y－2)2=4，则其圆心和半径分别为（）．
A．(1,2)，4 B．(1,－2)，2 C．(－1,2)，2 D．(1,－2)，4
参考答案：
C
由圆的标准方程，
圆心圆心，
半径，
∴圆心，八景为．
故选．
9. 若存在两个正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则正实数a的最小值为（）
A．1 B．C．2 D．
参考答案：
D
，设，则，令，
当时，当时，
最小值为当时，
本题选择D选项.
10. 学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( )
A. 对立事件
B. 不可能事件
C. 互斥但不对立事件
D. 不是互斥事件
参考答案：
C
【分析】
对与黄色奖牌而言，可能是1班分得，可能是2班分得，也可能1班与2班均没有分得，然后根据对立事件和互斥事件的概念进行判断。

【详解】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选：C
【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，属于基础题。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆C: (θ为参数)的圆心坐标为________,和圆
C 关于直线x-y=0对称的圆
C′的普通方程是________.
参考答案：
12. 设，当时，恒成立，则实数的
取值范围为。

参考答案：
13. 已知两点，
，点是圆
上任意点，则
面积的最小值是
__________．
参考答案：
圆
，
，
由题意即为在圆上找一点到线段
的距离最小即可， 直线
，
，
∴线段
，
圆心
到其距离
，
∴圆上某点到线段
的距离最小值为
，
，
．
14. 若点A （1，1），B （2，m ）都是方程ax 2+xy ﹣2=0的曲线上，则m= ．
参考答案：
﹣1
【考点】曲线与方程．
【分析】点A （1，1），B （2，m ），代入方程ax 2+xy ﹣2=0，解方程组，即可求a 、m 的值． 【解答】解：∵A （1，1），B （2，m ）都在方程ax 2+xy ﹣2=0的曲线上，
∴
，
∴a=1，m=﹣1， 故答案为：﹣1
15. 双曲线
的渐近线方程为 ．
参考答案：
y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦点在y 轴上，可以求出a 、b 的值，进而由双曲线的渐近线方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，
则其焦点在y 轴上，且a==3，b=
=2，
故其渐近线方程y=±x ；
故答案为：y=±x ．
16. 在△ABC 中， 2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是***** .
参考答案：
等腰三角形 略
17. 若不等式的解集是，则的值为________
参考答案： -14 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知点
是椭圆上的一点。

F 1、F 2是椭圆C 的左右焦点。

（1）若∠F 1PF 2是钝角，求点P 横坐标x 0的取值范围； （2）求代数式
的最大值。

参考答案：
（1） （2）
略
19. 如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB
（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）取AB中点E，连结DE，证明SD⊥平面SAB，只需证明SD⊥SE，AB⊥SD；
（2）求出F到平面SBC的距离，由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，可得E到平面SBC的距离，从而可求AB与平面SBC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2．
连结SE，则
又SD=1，故ED2=SE2+SD2
所以∠DSE为直角，
所以SD⊥SE，
由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD．
因为AB∩SE=E，
所以SD⊥平面SAB…6分
（2）解：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE．
作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，
作FG⊥BC，垂足为G，则FG=DC=1．
连结SG，则SG⊥BC
又FG⊥BC，SG∩FG=G，
故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG，
作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC，即F到平面SBC的距离为．
由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为．
设AB与平面SBC所成的角为α，则…12分．
20. （本小题满分12分）
已知复数，求实数使
参考答案：
解：，……………………………………………….2分
……………………….4分
……………………….6分
……………………………. ………………. ……………….8分解得………………. ………………. ……………….12分
略
21. （本题满分16分）
已知数列是首项为，公比为的等比数列，设，数列满足.（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前项和；（3）若
对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.参考答案：
.解：（1）由题意知，略
22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为(为参数)，直线与
抛物线交于两点，求线段的长．
参考答案：。