备战中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练∶培优易错试卷篇附答案解析

备战中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练∶培优易错试卷篇附答案解
析
一、一元二次方程
1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2
﹣（2k +1）x +4（k ﹣
1
2
）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】
分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】
当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()2
14421402k k ⎛⎫-++-
= ⎪⎝⎭
解得：5
2
k = 当52
k =
时，原方程为x 2
﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，
∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；
当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2
﹣4×1×4（k ﹣12
）＝（2k ﹣3）2
＝0， 解得：k ＝
32
， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，
∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
2．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12
-
. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.
试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，
∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，
解得：x=0或x=﹣1
2
．
3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加
1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；
②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x千克，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，
整理得：x2﹣65x﹣750=0，
（x﹣75）（x+10）=0，
解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
考点：一元二次方程的应用
4．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）
根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣
2
6
a
a+
，x1x2=
6
a
a+
，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=
﹣
6
6
a-
是是负整数，即可得
6
6
a-
是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．
∵（x1+1）（x2+1）是负整数，
∴﹣是负整数，即是正整数．
∵a是整数，
∴a﹣6的值为1、2、3或6，
∴a的值为7、8、9或12．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．
5．计算题
（1）先化简，再求值：
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）2018；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
）
=
22
2
11 11 x x
x x
-+
÷
--
=
()() 2
2
11 1
x x
x
x x
+-
⋅
-
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x 2
﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0， 解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
6． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151
∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的）， 五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的）
则有151=1.7×80+（80－m ）×
即m 2
－80m+1500=0 解得m 1=30，m 2=50．
又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去． ∴m=50 【解析】
7．已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且22
1212615x x x x +=-，求k 的值.
【答案】（1）3
2
k ≥ （2）4 【解析】 试题分析：
根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论.
根据韦达定理可得：2
121211
14
x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析：
因为方程有两个实数根，所以()2
2114112304k k k ⎛⎫
⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭
， 解得3
2
k ≥
. 根据韦达定理，
()2
21212111141 1.
114
k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为22
1212615x x x x +=-，所以()2
12128150x x x x +-+=，将上式代入可得
()
2
211811504k k ⎛⎫
+-++= ⎪⎝⎭
，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为3
2
k ≥
，所以4k =.
8．关于x 的方程()2
204
k
kx k x +++
=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；
()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存
在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】
()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式
0>，由此可以得到关于k 的不等
式，解不等式即可求出k 的取值范围.
()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等
于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在
()1中的取值范围内.
【详解】
解：()1依题意得2
(2)404
k
k k =+-⋅
>， 1k ∴>-， 又0k ≠，
k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；
()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平
方根，
理由是：设方程()2
204
k
kx k x +++
=的两根分别为1x ，2x ，
由根与系数的关系有：1212214k x x k
x x +⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，
又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
21
2
k k +∴-
=， 43
k ∴=-，
由()1知，1k >-，且0k ≠，
4
3
k ∴=-不符合题意，
因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】
本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

9．关于x 的一元二次方程()2
2
210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x .
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值. 【答案】(1) k ＜1
4
;(2) k=0. 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2
，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可
求出k 值． 【详解】
解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2
=0有两个不等实根x 1，x 2，
∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0， 解得：k ＜
14
， 即实数k 的取值范围是k ＜
14
； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2
，
∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0， ∴1-2k+k 2-1=0， ∴k 2-2k=0
∴k=0或2，
∵由（1）知当k=2方程没有实数根， ∴k=2不合题意，舍去， ∴k=0． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．
10．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，
（1）若x 12+x 22
=6，求m 值；
（2）令T=12
12
11mx mx x x +--，求T 的取值范围．
【答案】（1）2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】 【分析】
由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围. 【详解】
∵方程由两个不相等的实数根，
所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2
﹣3m+3）
=﹣4m+4＞0，
所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m ＜1
∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；
（1）∵x 12+x 22
=6，
∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，
即（4﹣2m ）2﹣2（m 2
﹣3m+3）=6 整理，得m 2
﹣5m+2=0
解得m=；
∵﹣1≤m ＜1 所以m=
．
（2）T=+
=
=
=
=
=2﹣2m ．
∵﹣1≤m ＜1且m≠0 所以0＜2﹣2m≤4且m≠0 即0＜T≤4且T≠2． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +2
14
k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；
(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解． 【答案】(1)k ＞﹣1
2
；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】 【分析】
(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×
14
k 2
＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论． 【详解】
(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +2
14
k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14
k 2
＞0， ∴k ＞﹣
12
； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，
∴原方程可化为x2+x＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．
【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
【解析】
【分析】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.
【详解】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，
解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
13．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【解析】 【详解】
分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.
详解：（1）解：由题意：0a ≠．
∵()2
2242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如： 解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．
点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，
当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根. 当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根. 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.
14．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：
这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1
254
y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m 关于t 的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.
【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】
（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；
（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；
（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围
【详解】
（1）设该函数的解析式为:m=kx+b
由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩
解得:k=-2,b=100
∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.
（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，
()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002
t t =-++ ()2115612.52t =-
-+ ∵102
<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--
⎪⎝⎭ ()211525001002
t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，
∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，
∴15220a +≥，
∴ 2.5a ≥，
∴2.54a ≤<.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.
15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息
信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；
信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．
()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？
()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零
售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？
【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元
【解析】
【分析】
()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，
根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩
， 解得：{5
6x y ==．
答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，
根据题意得：()()250010001500a a -+=，
整理得：22310a a -+=，
解得：10.5a =，21a =．
答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。