人教版八年级(下)学期 第一次段考数学试题

一、选择题
1．如图，在RtΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC =9，BC =12，AD 是∠BAC 的平分线，若点P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( )
A ．245
B ．365
C ．12
D ．15 2．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为
（ ）．
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．直角三角形
3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（ ）
A ．0.8米
B ．2米
C ．2.2米
D ．2.7米 4．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形 5．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为 （ ） A 22d S d + B 2d S d -
C ．22d S d +
D ．()
22d S d + 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）
A ．102
B ．2
C ．512+
D ．32
7．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（ ）
A ．49
B ．25
C ．12
D ．10
8．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，3BC =．设AB 长是m ，下列关于m 的四种说法：①m 是无理数；②m 可以用数轴上的一个点来表示；③m 是13的算术平方根；④23m <<．其中所有正确说法的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．②③④
9．如图，正方体的棱长为4cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ）
A ．9
B ．10
C ．326+
D ．12
10．下列各组数据，是三角形的三边长能构成直角三角形的是（ ）
A ．2,3,4
B ．4,5,6
C ．2223,4,5
D ．6,8,10
二、填空题
11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．
12．在△ABC 中，若222225,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____．
13．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______
14．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.
15．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD
的值为____________．
16．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．
17．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为
MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM
的值为______________．
18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．
19．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．
20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．
(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．
（1）求BF 的长；
（2）求CE 的长．
23．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .
24．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．
（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；
（2）延长BD 与EF 交于点G ．
①如图2，求证：60BGE ∠=︒；
②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为
______________．
25．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．
（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．
（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 6m -n ﹣12）2＝0．
（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；
（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．
27．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
28．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．
（1）如图1，求∠BGD 的度数；
（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ； （3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝3ABCD 的面积．
30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）AE＝（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是度；
（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；
（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；
（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时
PC+PQ=EQ是最小值，根据勾股定理可求出AB的长度，再根据EQ⊥AC、∠ACB=90°即可得
出EQ∥BC，进而可得出AE EQ
AB BC
，代入数据即可得出EQ的长度，此题得解.
【详解】
解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ是最小值，
在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，
∴15AB =，
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠CAD=∠EAD ，
在△ACD 和△AED 中，90CAD EAD ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△AED （AAS ），
∴AE=AC=9．
∵EQ ⊥AC ，∠ACB=90°，
∴EQ ∥BC ，
AE EQ AB BC ∴
=， ∴91512
EQ =， 653EQ ∴=
. 故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点C 的对称点E ，及通过点E 找到点P 、Q 的位置是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由222+=a b c 的关系，可推导得到△ABC 为直角三角形．
【详解】
∵2
(1)0a c -= 又∵(
)21000a c ⎧-≥≥-≥⎪⎩
∴(
)21=0a c ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩
∴1 2
5
a
b
c
⎧=
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
∴222
+=
a b c
∴△ABC为直角三角形
故选：D．
【点睛】
本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．
3．D
解析：D
【分析】
先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．
【详解】
解：如图，由题意可得：
AD2=0.72+2.42=6.25，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，
∴AB2+1.52=6.25，
∴AB=±2，
∵AB＞0，
∴AB=2米，
∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．
故选：D.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22
a b
+，即可得到三角形的形状.
【详解】
∵a+b=10，ab=18，
∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64，
∵,c=8，
∴2c =64，
∴22a b +=2c ，
∴该三角形是直角三角形，
故选：B.
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出22a b +是解题的关键.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。

【详解】
解：设直角三角形的两条直角边分别为x 、y ，
∵斜边上的中线为d ，
∴斜边长为2d ，由勾股定理得，x 2+y 2=4d 2，
∵直角三角形的面积为S ， ∴12
S xy =,则2xy=4S ，即（x+y ）2=4d 2+4S ，
∴x y +=
∴这个三角形周长为：)
2
d ，故选：D. 【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2. 6．A
解析：A
【解析】
试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠CBD=∠ABD
∵∠C=∠DKB=90°，
∴CD=KD ，
在△BCD 和△BKD 中，
CD KD BD BD ⎧⎨⎩
＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ，
∴BC=BK=3
∵E 为AB 中点
∴BE=AE=2.5，EK=0.5，
∴AK=AE-EK=2，
设DK=DC=x ，AD=4-x ，
∴AD 2=AK 2+DK 2
即（4-x ）2=22+x 2
解得：x=32
∴在Rt △DEK 中，DE=22223
10=+0.5=2DK KE +（）（）. 故选A ．
7．C
解析：C
【解析】
试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，
∴c 2=25，
∴a 2+b 2=c 2=25，
∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6，
又∵直角三角形的面积是12
ab=6，
∴ab=12．
故选C.
8．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，
∴在Rt ABC中，m＝AB＝22
AC BC
+＝13，
故①②③正确，
∵m2＝13，9＜13＜16，
∴3＜m＜4，
故④错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
9．B
解析：B
【分析】
将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
【详解】
解：如图，AB＝22
++=．
(24)2210
故选：B．
【点睛】
此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．
10．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可．
【详解】
解：A 、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B 、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C 、∵222222(3)(4)337(5)+=≠，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D 、∵62+82=100=102，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
11．
103
． 【解析】 试题解析：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=10， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，
∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=10，故3x+12y=10， x+4y=103
， 所以S 2=x+4y=
103． 考点：勾股定理的证明．
12．125
【分析】 解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】
解：∵2222
25,7a b a b +=-=，
将两个方程相加得：2232a =，
∵a ＞0，
∴a=4
代入得：22425b +=，
∵b ＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC 是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
1122ABC S AC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ， 即：1134522
CD ⋅⋅=⋅⋅， 解得：CD=125
， 故答案为：125
. 【点睛】 本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
13．322或11或5或
1095
【分析】
分别就E ，F 在AC,BC 上和延长线上，分别画出图形，过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H ，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.
【详解】
解：①过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H
∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°
又∵D 是AB 的中点，
∴DG=12
BC 同理：DH=
12
AC 又∵BC=AC
∴DG=DH 在Rt△DGE 和Rt△DHF 中
DG=DH,DE=DF
∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）
∴GE=HF
又∵DG =DH,DC=DC
∴△GDC≌△FHC
∴CG=HC
∴CE=GC -GE=CH-HF=CF=AB-BF=3 ∴EF=223332+=
②过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H
∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°
又∵D 是AB 的中点，
∴DG=12
BC 同理：DH=
12AC 又∵BC=AC
∴DG=DH
在Rt△DGE 和Rt△DHF 中
DG=DH,DE=DF ∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）
∴GE=HF
又∵DG=DH,DC=DC
∴△GDC≌△FHC
∴CG=HC
∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11
221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，
∴∠1+∠2=45°
∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°
∴△EDF 为等腰直角三角形
可证AED CFD △△≌
∴AE=CF=3,CE=BF=4 ∴
2222
435EF CE CF =+=+=
④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，
∴ED=DF=522
,可证△E CF E DE ''∆∽,
2223y x +=
52
52x =+综上可得：25x =
∴2222E F DE DF DE '''''=+=
1095
E F ''= 【点睛】
本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.
143
【分析】
作点B 关于AD 的对称点B′，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，B′N 的长度即为BM+MN 的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，
再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
如图，作点B关于AD的对称点B′，
由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=2，
∴B′N=2×
3
2
3
即BM+MN3．
3．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
15．62 2
【解析】
【分析】
过A点作BC的垂线，E点作AC的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出
∠DAM=15°，在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到
DG=AG=2a，332)a，31)a，231)a,代入计算即可.
【详解】
过A点作AM⊥BC于M点，过E点EN⊥AC于N点.
∵∠BCA＝30°，AE=EC
∴AM=1
2
AC，AN=
1
2
AC
∴AM=AN
又∵AD=AE
∴R t∆ADM ≅ R t∆AEN (HL)
∴∠DAM=∠EAN
又∵∠MAC=60°，AD ⊥AE
∴∠DAM=∠EAN=15°
在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°
设DM=a,则 DG=AG=2a ，
根据勾股定理得：
GM=3a, ∵∠ABC ＝45° ∴AM=BM=(32)a + ∴BD=(31)a +，AB=2(32)a +, ∴()()62262231a AB BD a
++==+ 故答案为：
622+
【点睛】
本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.
16．
355
【详解】 四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12
． 则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣
12=32． 在直角△ADC 中根据勾股定理得到：222+1=5
设AC 边上的高线长是x ．则
125x=32， 解得：355
．
故答案为355
. 17．12 【解析】
如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：
MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.
因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.
所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.
所以AM=AN=CM=CN.
因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.
设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，
由勾股定理可得()22322x x x -=， 所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.
所以22
2212MN x BM x
==12. 枚本题应填12. 点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解. 18．485
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD ⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485.
19．25
【分析】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明△ANP≌△MNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度．
【详解】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．
∵P（1，2），G（7．﹣2），
∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，
∵PA∥GM，
∴∠PAN＝∠GMN，
∵∠ANP＝∠MNG，
∴△ANP≌△MNG（AAS），
∴AN＝MN＝3，PN＝NG，
∵∠PAH＝45°，
∴PH＝AH＝2，
∴HN＝1，
∴2222
=+=+=
215
PN PH NH
∴PG＝2PN＝5．
故答案为5
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
20．22
-
【分析】
根据已知条件，添加辅助线可得△EAC≌△DAM（SAS），进而得出当MD⊥BC时，CE 的值最小，转化成求DM的最小值，通过已知值计算即可．
【详解】
解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，
∵90ACB ∠=，2AC BC ==，
∴∠CAB=45°，
又∵45EAD ∠=，
∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，
∴∠EAC =∠DAB ，
∴在△EAC 与△DAB 中
AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，
∴△EAC ≌△DAM （SAS ）
∴CE=MD ，
∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，
∵AC=BC=2， 由勾股定理可得2222AB AC BC =
+=，
∴222=-BM ，
∵∠B=45°，
∴△BDM 为等腰直角三角形，
∴DM=BD ，
由勾股定理可得222+BD DM =BM
∴DM=BD=22-
∴CE=DM=22-
故答案为：22-
【点睛】
本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE 最小时的状态，化动为静．
三、解答题
21．(1) 出发10s 后，△BMN 为等边三角形；(2)出发6s 或15s 后，△BMN 为直角三角形．
【分析】
（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=1
2
BM列方程求解可
得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=1
2
BN列方程求解可得．
【详解】
解(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝1
2
BM，即2x＝
1
2
(30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝1
2
BN，即30－x＝
1
2
×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
22．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt△ABF中，可由勾股定理求出BF的长；
（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt△CEF中，可由勾股定理求出CE的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10，
又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：2222
BF=AF-AB=10-8=6，
故BF的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，
又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，
∴FE=DE=8-x，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：222
CF+CE=EF，
∴222
4+x=(8-x)，解得：x=3，
故CE的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
23．作图见解析，32 5
【分析】
作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．
【详解】
如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．
连接AN，
在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，
∴2222
AB AC=84=45
++
∵11
AB AC=BC AH 22
⋅⋅
∴
85 45
∵CA⊥AB，A'M⊥AB，∴CA∥A'M
∴∠C=∠A 'NH ，
由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N
在△ACH 和△A'NH 中，
∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，
∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）
∴A'N=AC=4=AN ，
设NM=x ，
在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x
在Rt △AA'M 中，，A 'M=A 'N+NM=4+x
∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭
x
∴()2
224=16-+-⎝⎭x x 解得125
x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+
125=325 【点睛】
本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）①见解析；②2．
【分析】
（1）当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，然后由等边三角形的性质可得∠CBD 的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F 的度数，于是可得∠CBD 与∠F 的关系，进而可得结论；
（2）①过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则易得△AHE 是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF ，∠BHE =∠ECF =120°，BH =EC ，于是可根据SAS 证明△BHE ≌△ECF ，可得∠EBH =∠FEC ，易证△BAE ≌△BCD ，可得∠ABE =∠CBD ，从而有∠FEC =∠CBD ，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE =∠BCD ，进而可得结论； ②易得∠BEG =90°，于是可知△BEF 是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE 和BF 的长，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长，进而可得△GCN 也是等腰直角三角形，于是有∠BCG =90°，故所求的△BCG 的面积=
12
BC CG ⋅，而BC 和CG 可得，问题即得解决． 【详解】 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，
当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，∴1302
DBC ABC ∠=
∠=︒， ∵CF CD =，∴∠F =∠CDF ，
∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°，∴∠F =30°，
∴∠CBD =∠F ，∴BD DF =； （2）①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，AB=AC ，
过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则∠AHE =∠ABC =60°，
∠AEH =∠ACB =60°，
∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，
∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，
又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），
∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ， ∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，
∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，
∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；
②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，
∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°， ∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE 3
∴BF 226BE =232GF =，
过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，
∴6BM ME MF ===
∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =266262CF ==
∴262312CN FN ===，
∴)
2323131GN GF FN CN =-=-==， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ，
∴62CG CF ==
∴△BCG 的面积=()()116262222BC CG ⋅=+-=． 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．
25．（1）13，17，10，
112；（2）图见解析；7． 【分析】
（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．
（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，
S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣
32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，
112
． （2）△PMN 如图所示．
S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，
故答案为7．
【点睛】
此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
26．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，
0）；（3）点P的坐标（
14
3
-，
64
3
）
【分析】
（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；
（2）画出图象，由CD⊥AB知1
AB CD
k k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；
（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.
【详解】
解：（1）∵6
m-＋（n﹣12）2＝0，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，
则有
12
60
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
12
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，
∵直线AB过点C（a，a），
∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，
设直线CD解析式为y＝1
2
x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y＝1
2
x＋2，
∴点D坐标（－4，0）．
（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，
图2
∵直线EC 解析式为y ＝
32x －2，直线CF 解析式为y ＝－23x ＋203， ∵32×（－23
）＝－1， ∴直线CE ⊥CF ，
∵EC ＝13CF ＝13
∴EC ＝CF ，
∴△FCE 是等腰直角三角形，
∴∠FEC ＝45°，
∵直线FE 解析式为y ＝－5x －2，
由21252y x y x =-+⎧⎨=--⎩解得143643x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴点P 的坐标为（1464,33-
）. 【点睛】
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.
27．(1)①见解析；②()22012x y x x
-=
<<-；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证
△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），
∴EB=ED，∠CBE=∠1，
∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，
∴∠EBC+∠EFC=180°，
∵∠EFC+∠2=180°，
∴∠EBC=∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF，
∴BE=EF.
②解：∵正方形ABCD的边长为2，∴对角线AC=2.
将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，
则△BAE≌△BCP，
∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，
由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，
在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.
∴PG=EG =2－x －y ，
∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，
∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2
222x y x y +=--， 化简，得(
)22012x y x x
-=
<<-. （2）如图3，作法如下：
①延长BE 交AD 于点M ， ②连接MO 并延长交BC 于点N ，
③连接DN 交AC 于点Q ，
④连接DE 、BQ ，
则四边形BEDQ 为菱形.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.
28．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.
【分析】
（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；
（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】
（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
理由如下：
根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；
若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；
若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，
所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
理由如下：
对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．
因为2224222
(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+
所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．
因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正整数，
所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
【点睛】
考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用
29．（1）∠BGD ＝120°；（2）见解析；（3）S 四边形ABCD ＝263．
【解析】
【分析】
（1）只要证明△DAE ≌△BDF ，推出∠ADE=∠DBF ，由
∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；
（2）如图3中，延长GE 到M ，使得GM=GB ，连接BD 、CG ．由△MBD ≌△GBC ，推出DM=GC ，∠M=∠CGB=60°，由CH ⊥BG ，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH ，由
CG=DM=DG+GM=DG+GB ，即可证明2GH=DG+GB ；
（3）解直角三角形求出BC 即可解决问题；
【详解】
（1）解：如图1﹣1中，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ＝AB ，
∵∠A ＝60°，。