一种弧底梯形明渠临界水深的快速解法

一种弧底梯形明渠临界水深的快速解法
杨茂松;马子普
【摘要】MATLAB语言以其特有的优越性广泛应用于科学和工程计算,本文采用MATLAB语言编程计算弧底梯形明渠临界水深,其过程简便,结果精确,便于在水利工程中进行推广应用。

%MATLAB language with its unique advantages widely used in scientific and engineering computing,this paper calculated the critical depth of trapezoidal open channel with spherical bed using MATLAB programming language,whcih process simple,accurate,easy to promote in hydraulic engineering applications.
【期刊名称】《吉林水利》
【年(卷),期】2011(000)011
【总页数】3页(P17-18,29)
【关键词】MATLAB;弧底梯形明渠;临界水深
【作者】杨茂松;马子普
【作者单位】中国水利水电第五工程局有限公司第三分局,四川成都610066;西北农林科技大学水利与建筑工程学院,陕西杨凌712100
【正文语种】中文
【中图分类】TV222.2
弧底梯形渠道作为梯形断面和圆形断面的结合，表现出其他形式的断面不具备的优
越性，如具有较大的输水、输沙能力，耐冻胀，接近水力最优断面，且开挖量少，节省耕地。

目前已广泛应用于农田排灌、给排水等水利工程中。

弧底梯形明渠的临界水深是其水力学计算中的一个关键要素，在水力设计和计算中应用非常频繁。

因此，对其求解就显得非常重要。

然而，关于临界水深的方程涉及超越方程的求解问题。

对这一问题，传统的近似解法如试算法、迭代法、图解法，费力费时且精度不高。

近年来，许多专家学者进行了深入细致的研究，提出了多种不同求解弧底梯形过水断面临界水深的方法。

吕宏兴等［1］侧重从理论上推导得出了弧底梯形明渠临界水深的迭代公式，李风玲等［2］、王正中等［3］基于无量纲理论通过数学变换得到了各自的计算水深的显式公式。

这些方法较大程度地拓宽了问题的求解思路。

然而，由于显式公式受推导过程中拟合、简化及计算条件等因素的影响，其精度和应用范围都受到了一定限制。

MATLAB语言以其特有的优越性广泛应用于科学和工程计算，可进行算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境[4]。

本文首次应用MATLAB语言，基于数值优化理论及符号求解理论，对弧底梯形明渠的临界水深进行编程和直接计算，通过实例分析，证明其过程简便，结果精确，便于推广应用。

1 弧底梯形明渠临界水深函数表达式
对于弧底梯形渠道，过水断面面积：
图1 弧底梯形明渠断面示意图
过水断面宽度：
临界水深：
将(1)(2)带入(4)可得弧底梯形断面临界流方程为：
明渠临界流方程为：
以上各式中， Ak、Bk、hk分别为弧底梯形过水断面面积m2、宽度m和临界水深m，Q为流量m3/s，△h 为过水断面弧底梯形高，r为底弧半径，θ，β分别为h≥T与h＜T时过水断面底弧圆心角之半，θ，β取弧度值；T为底弧高，m为弧底梯形断面的边坡系数。

其中：
由于弧底梯形明渠过水断面面积Ak与过水断面宽度Bk因水深h≥T和h＜T而不同，故由流量Q计算临界水深hk时必须先判别流量Q所对应的过水断面高度大于T还是小于T，判别方法可取当h=T时的流量为分界点，实际流量大于该分界流量时，则水深大于底弧高度；反之则水深小于底弧高度。

U形渠道底弧弓形的面积、水面宽度依次为：
将(6)(7)带入(4)可得分界流量为：
2 实例分析
2.1 计算时的临界水深
实例1［5］：某电站渠道为弧底梯形断面，底弧半径 r=1.8m，侧墙直线段边坡系数 m=0.3，设计流量Q=7.82m3/s，计算该流量时的临界水深hk。

首先根据已知条件求得以下常数值：
由于 Q=7.82m3/s＜9.8974m3/s，可知0≤h＜T，故须采用(5)中第二式进行编程计算：
则分界流量：
MATLAB程序如下：
（其中alpha代表动能修正系数α）
即此时圆心角之半β=1.192669116rad，继续应用(3)中第二式进行编程计算：
即此时临界水深为1.1355m.
2.2 计算时的临界水深
实例 2［2］：已知某输水渠流量 Q=40m3/s，弧底半径r=2.5m，边坡系数
m=1,求此时的临界水深hk。

同理求出下列各值：
由于Q=40m3/s＞3.9683m3/s，可知h≥T，故须采用(5)中第一式进行编程计算：MATLAB程序如下：
即此时△h=1.6550m，继续应用(3)中第一式进行编程计算：
即此时临界水深为1.1355m.
3 结果分析
本文采用MATLAB语言对实例1、2进行了编程计算，现将所求临界水深与文献
结果进行比较以分析其计算精度与误差，见表1。

表1 临界水深不同计算方法误差比较计算条件算法计算值/m 精确值/m 相对误
差/%实例 1 文献[5] 1.1357 1.1355 0.018 0实例2本文算法文献[2]本文算法1.1355 2.3625 2.3872 1.1355 2.3879 2.3879-1.075-0.029
由表1可以看出，这种采用MATLAB编程的方法计算出来的弧底梯形断面的临界水深，显然具有更高的精度。

4 结论
应用Matlab语言编程求解弧底梯形明渠临界水深，与传统的试算、迭代、查表及多种直接算法相比，过程都大为缩减，且具有较高的计算精度，简单易懂，易于掌握，适合在工程上进行广泛的推广应用。

参考文献：
［1］吕宏兴,周维博,刘海军.U 形渠道的水力特性及水力计算［J］.灌溉排水学报,2004,23(4)：50.
［2］王正中,申永康,彭元平等.弧底梯形明渠临界水深的直接算法［J］.长江科学院院报,2005,22（3）：6-8.
［3］李风玲，文辉，陈雄.U 形渠道水力计算的显式计算式［J］.水利水电科技进展，2010，30（1）：65-67.
［4］郑阿奇.MATLAB实用教程［M］.北京：电子工业出版社,2007,172. ［5］吕宏兴,裴国霞,杨玲霞.水力学［M］.北京：中国农业出版社,2002.。