2020届江苏高考数学(文)总复习课堂检测：平面向量的数量积及其应用

课时跟踪检测(二十七)平面向量的数量积及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1. _________________________________________________________________ (2019海门模拟)向量a = (3,4)在向量b= (1,- 1)方向上的投影为______________________________ .
解析：•••向量a= (3,4), b= (1, - 1),
向量a在向量b方向上的投影为
a b 3 x 1+ 4 X (- 1\ 迈
|a|cos e=函一宁
答案：—-2
2 n t
2. _______(2018江苏百校联盟联考)已知平面向量a, b的夹角为—，且a (a-b)= 8, |a|= 2, 则| b|= __________ .
解析：因为a (a - b) = 8,所以a a — a b= 8,
即|a I2—|a||b|h)g a, b = 8,
所以 4 + 2|b|X 2= 8，解得|b|= 4.
答案：4
3. (2018 苏州期末)已知a= (m,2), b= (1, n), m>0, n> 0,且|a|= 4, |b|= 2,则向量
a与b的夹角是__________ .
解析：设向量a与b的夹角是e, e€ [0 , n]
■/ a= (m,2), b = (1, n), m>0, n>0,且|a|= 4, |b| = 2,
•m2+ 4= 16,1 + n2= 4，解得m= 2 3, n==J3.
• a b= m+ 2n = 4 3 = 4X 2X cos e,
•cos e= 23，则向量a与b的夹角是才.
答案:
4. (2018 滨海期末)已知向量a = (-1,3), b= (3, t),若a丄b，则|2a+ b| =
解•••向量a= (- 1,3), b = (3, t), a丄b,
•a b=- 3+ 3t= 0,解得t= 1,
•b= (3,1), 2a + b = (1,7),
故|2a+ b|= . 1 + 49= 5 2. 答案：5 2
-- > -- >
AB -AC = ________
解析：由题意得AC = AB + —D ,所以AB —C = —B ( A B + A D )= A B 2+ AB :AD = 4+ 2 X 1 X cos 120°= 3.
答案：3
—D 1 --- D ---- D 1 ----- D
6. (2018南通一调)已知边长为6的正三角形ABC , BD = 2 BC , AE = ：AC , AD与
2 3
BE交于点P，则PEB P E的值为 _________ .
解析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐
标系，则B(-3,0), C(3,0), D(0,0), A(0, 3 3), E(1, 2 3), P0,穿，所以気•P D=1
敲|2=穿2=27.
答案：27
4
—保咼考，全练题型做到咼考达标
1.(2018淮安调研)已知向量a= (1 ,x),b= (—1,x),若2a-b与b垂直，则|a| = ______________ .
解析：由已知得2a- b = (3, x),而(2a-b) b= 0? - 3+ x2= 0? x2= 3,所以|a|= ,1+ x2 =4 = 2.
答案：2
2. (2019如皋模拟)已知平面向量a与b的夹角为60° a = (3,4), |b|= 1，则|a- 2b| =
解析：•/ a= (3,4) ,A |a| = 32+ 42= 5,
1 5
又|b|= 1，二a b = |a| |b|cos 60°= 5X 1 X寸=5,
••• |a- 2b|2= a2+ 4b2- 4a b= 25 + 4- 10= 19,
则|a - 2b|= . 19.
答案：,19
3. (2018苏北四市期末)已知非零向量a, b满足|a|= |b|= |a+ b|,贝U a与2a- b夹角的余弦值为.
1 解
析：因为非零向量a, b 满足|a| = |b|= |a+ b|,所以a2= b2= a2+ 2a b+ b2, a b = -~a2
=-^b2,所以a (2a - b)= 2a2- a b= ：a2, |2a - b|= , 2a-b 2= . 5a2- 4 a b= . 7|a|, cos
5 a2
a(2a— b ) = 2 =丄=站
〈a, 2a —
b>
|a| |2a- b|= |a| :7|a|= 2 ；7 = 14
答案：乎
14
4. （2018泰州中学高三学情调研 ）矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 所在平面内一点， 且
-- > -- >
满足PA = 3, PC = 4,矩形对角线 AC = 6,贝U PB -PD =
--- > > > > > > > 2 > > > >
解析：由题意可得 PB -PD = ( PA + AB ) (- PA + AD )= PA + PA AD + AB ・PA + -- > ------ > ------------------ > --- >
(AD + AB ) + 0 = 9 + PA -AC = 9 + 3X 6X cos( n- / PAC) = 9 — 2 2 2
PA + AC — PC 9+ 36 — 16 11
18X = 9— 18 X = 一 —.
X PA X AC 2X 3X 6
11 答案：—节
n
5. （2018苏锡常镇调研）已知菱形ABCD 边长为2,/ B = 3，点P 满足AP = AAB ,入
--- > --- >
€ R,若 BD CP =— 3，贝U 匸 解
析：
法一：由题意可得BA -C =2X 2cos n =2,
-- B -- B ------- B ---- B ------ B --- B
BD CP = ( BA + BC ) ( BP — BC)
---- B ---- B ------- B ---- B ----- B
=(BA + BC) [( AP — AB ) — BC ]
---- B ---- B --- B ----- B
=(BA + BC)[(入—1) AB — BC ]
---- o B B --- B B B o =(1 — ?) BA 2— BA - BC + (1 — ?) BA BC — BC 2
=(1 — ?) 4— 2+ 2(1 —片一4
=—6 X=— 3, 则 B(2,0), C(1,
3), D(— 1,
3).
令 P(x,0),由-1D -CIP = (— 3, 3) (x — 1,—
3)
=—3x =— 3 得 x = 1.
-- > -- > -------- > AB -AD = 9 + PA
法二：建立如图所示的平面直角坐标系,
--- > ------ >
因为AP =入A B，所以
入=*
6. （2018苏北四市调研）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD
-- B -- B --- B--- B
的中点，且OA= 3, OC= 5若AB AD = —7,贝U BC -DC =
--- B -- B ----- B---- B ---- B 解析：BC - DC = (OC —OB ) ( OC — -- B -- B ---- B ---- B ---- B -- B 2 OD )= (OC + OD ) ( OC —OD )= OC 2—OD 2,
同理，^—
B ―D =^A O 2-Ot D 2=- 7,所以-B
C ―c = O C 2- C)
D 2=_O C 2 -AO 2-7 = 9.
答案：9
7. (2019崇川一模)若非零向量 a 与b 满足|a |= |a + b | = 2, |b | = 1,则向量a 与b 夹角 的余弦值为 _________________ .
解析：•••非零向量a 与b 满足|a | = |a + b |= 2, |b | = 1, •••|a |2= |a + b |2= |a |2+ |b |2 + 2a b , 即 a b =- ^|b |2=- 1 x l 2=- 1,
设a 与b 的夹角为0,
1
•向量a 与b 夹角的余弦值为一-. 4
答案：-4
n
8. (2018盐城期中)如图，在四边形 ABCD 中，A = 3, AB = 2, AD = 3,
-- > ------ > ------ > ------ >
分别延长 CB , CD 至点E , F ，使得CE =入CB , CF =入CD ，其中 心0, 若& -AD = 15,贝V 入的值为 ___________
解析：•/'El? = 6? — (CE = AC!?- XC E3 = XEB ID =
-- > - ? ----- ? --- ? --- ? ----- ? 2 ---- ? - ?
•- EF -AD = X AD — AB) AD = X AD — AB -AD )=住一3) = 15,
4
=
答案:
9. (2019通州调研)设两个向量a , b 不共线.
(1)若N? = a + b , "BC = 2a + 8b , -C D = 3(a -b )，求证：A , B , D 三点共线；
⑵若|a |= 2, |b |= 3, a , b 的夹角为60°求使向量 k a + b 与a + k b 垂直的实数 k 的值. 解：(1)证明：•/ 入？=入？ +1B C + C? =(a + b ) + (2 a + 8b )+ 3(a — b ) =6(a + b )= 6AB ,
二-?与k?共线，且有公共点 A , • A , B , D 三点共线.
0=空=2
|a ||b | 2x 1
1 4’
i)
(2) ■/ k a + b 与 a + k b 垂直， •••(k a + b ) (a + k b )= 0,
••• k a 2+ (k 2+ 1)|a ||b | cos 60+ k b 2= 0, 即 3k 2+ 13k + 3= 0, 解得k =半学
10.在四边形 ABCD 中，已知 AB = 9, BC = 6, ~CP = 2PF . (1)若四边形 ABCD 是矩形，求—ApP 云I?的值；
--- > --- > ---------- > ------ >
⑵若四边形ABCD 是平行四边形，且 AP •BP = 6，求AB 与AD 夹角的余弦值. 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，
--- > ----- > ------ > ---- >
所以 AB 丄 AD ，即 AB •AD = 0, 又 AB = 9, BC = 6, -C ? = 2-p D , 所以乔=；AD + B ? =-AID + 舟-B , 3 —
? ? ? ?
2 ? BP = BC + CP = AD —一 AB , 3
—
AB
-- ? 2 1 ------ > -- > 2 ---- ? 2 =AD — AB -AD —-AB
3 9
=62 — 2x 92= 18.
9
(2)设-B 与-?的夹角为0,由(1)得，
-A ?
= -AD +1-? • A D — 3-AB
=>A D 2— 1 -AB -AD — 2 -AB 2 =62 — 1 x 9X 6X cos 0— -x 92= 6,
3
9
所以cos 0= 2 3
--- B ---- B
2
故AB 与AD 夹角的余弦值为；. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1. (2018徐州高三年级期中考试 )如图，在半径为 2的扇形 AOB 中，/ AOB = 90° P
所以 N ? -BPP = -AD + -AD — 2
-AB
-- B --- B --- B-- B
为AB 上的一点，若OP OA = 2，则OP -AB = ___________ .
解析：如图，以0为原点，0A 所在直线为x 轴，0B 所在直线为y . 轴建立平面直角坐标系， 则A(2,0), B(0,2),设P(x , y),由6? -OA = 2,
可得2x = 2, x = 1, P 为A^B 上的一点，所以|6?| = 2，所以P(1, 3), 6? = (1,
3)，又 6? = (— 2,2),所以 6A? —AB = - 2+ 2 3.
答案：—2+ 2 3
2. (2018南通、扬州、泰州、淮安调研
)如图，已知△ ABC 的边BC
的垂直平分线交 AC 于点P ,交BC 于点Q 若|—B |= 3, |—?|
= 5,则(—A P 解析：法一： 因为-? =^A Q + d ?，所以 6?
= 2^A Q + 7?,
--- ? -- A ---- A
--- A ---- A --- A -- A -- A ---- A ---- A ---- A
而 AB — AC = CB ，由于 QP 丄 CB ，所以 Q P ・CB = 0，所以(AP + A Q ) (AB — AC )= (2-
A Q +"0?) CE
B = 2^A Q G ?，又因为 Q 是 B
C 的中点，所以 2^A Q = ^AB +^AC ，故 2^A Q -CEB
-- A A A A A 2 A 2
=(AB + AC ) (AB — AC) = AB — AC 2 = 9— 25=— 16.
法二：由题意得厶ABC 是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取 AB 丄BC ,从而
P 为AC 的中点.
. ----- A --- A -- A
3 又 |AB|= 3, | AC|= 5,所以 |BC|= 4, cos/ BAC = 5
故7A + -Q = 2 A C + 2( -A A + -A)=2^ + -A , 从而(AP + A Q ) (AB — AC )
=2 -AB + >AC (-AB —-A C )
=AB 2 + 舟-A - — ~AC 2
1
1 3
=-X 9 +~X 3 X 5X — 25=— 16. 2 2 5 答案：—16
3. (2019姜堰中学调研)在锐角△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,向量m -- A ---- A
)• AB — AC)的值为
c
+
口 3 =(cos(A—B), sin(A —B)), n = (cosB, —sin B),且mn=.
5
(1)求sin A的值;
⑵若a= 4 2, b= 5, AD丄BC 于。

，求灵DDt?的值.
3 3 解：(1)由mn=，得cos(A—B)cosB—sin(A—B) sin B =・,
5 5 因为0v A v n
所以sin A = 1 —cos?A= 4.
5
a b
⑵由正弦定理，得而=丽,
则sin B =迤f 4一
a 4^/2 2
因为0v B v n所以B=n,
所以sin C = sin(A+ B) = ¥(sin A+ cosA)= ^^.
又|AD |= | ―AC |sin C= 5X 需=兮,
所以"B X AD=(命+ DA) A D T=——A D2=—|A C T|2=—49.
3 所以cosA=・.
5。