3-2第二节阶跃输入的瞬态响应

统在工程实际中占有相当重要的地位，许多
控制系统的性能基本上属于二阶系统。
二阶系统的典型函数为；
G(s)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
2、响应 传递函数的特征方程为；
D ( s) = S 2 + 2ξ wnS + wn2 = 0
可求得：
S1，2 = −ξ wn ± ξ 2wn2 − wn2 = −ξ wn ± wn ξ 2 −1
⇒ Mx(t ) + Bx (t ) + Kx(t ) = f (t )
⇒ MS 2 X (s) + BSX (s) + KX (s) = F (s)
⇒ Φ(s) =
MS 2
1 + BS
+K
=
S2
wn 2
+ 2ξ wnS
+ wn2
⋅1 K
wn2 = K / M
2ξ wn = B / M
系统输入量：R(s) = 8.9 / S = F (s)
1−ξ 2
wdt p
=0
从而有：wdtp = nπ ，取n = 1；
推出:
tp
=
π
wd
=
wn
π 1−ξ 2
②超调量M p（δ %）
( ) M p = Ch tp − Ch (∞)
( ) 或：δ % = Ch
tp Ch
− Ch
(∞ )
(
∞
)
×100%
( ) M p = 1−
1 ⋅ e−ξ wntp sin
说明：
当G(s)
=
S2
+
Kwn2
2ξ wnS
+
wn 2
时，单位阶跃
响应Ch (∞) ≠ 1，但性能指标tr 、tp、ts 表达式
− ξπ
不变，只是M p = Ch (∞) ⋅ e 。 1−ξ2
例 1：求如图系统的单位阶跃响应及性能 指标。
解：Φ ( s )
=
S
2
+
1000 34.5S +1000
化为标准形
)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
ξ =0
⋅
1 S
= wn2 ⋅ 1 = 1 − S S 2 + wn2 S S S 2 + wn2
推出：
Ch (t ) = A−1 ⎡⎣C (s)⎤⎦ = 1− cos wnt （t ≥ 0）
响应为等幅振荡，系统不稳定，不可控。
（3）当0 < ξ < 1（欠阻尼）
T1
S2 = −ξ wn − wn
ξ2 −1 = − 1
T2
（T1 > T2）
不相等的两个负实根。
单位阶跃响应为：
C
(s)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
⋅
1 S
1⋅1
=
T1 T2
⋅1
⎛ ⎜ ⎝
S
+
1 T1
⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝
S
+
1 T2
⎞ ⎟ ⎠
S
=
1
+
⎛ ⎜ ⎝
T2 T1
⎞−1 −1⎟
⎠
+
⎛ ⎜ ⎝
取
n =1
得
tr
=
π −β
wd
= π − cos−1ξ wn 1− ξ 2
可见，二阶欠阻尼系统的性能指标完全
由ξ 和wn决定，为使系统过渡平稳，反应灵敏， 综 合 考 虑 的 结 果 为 ， 0.4 ≤ ξ ≤ 0.8 ， 从 而
1.5% ≤ δ % ≤ 25.4%，此时随着wn 的增大，系
统反应加快，灵敏度提高。
当r (t ) = 1(t )时，即R(s) = 1 ；
S
（1）当ξ < 0， wn > 0 −ξ wn > 0 ，且 −ξ wn > wn ξ 2 −1，属于右
根，Ch (∞)不存在。响应Ch (t )明显看出是发
散的，系统不稳定，不可控。
（2）当ξ = 0（无阻尼）
此时：
C
(s)
=
G(s)
R(S
①稳态值为 1。
②过渡过程无振荡，无δ %（M p）、tp。
③由调节时间ts 的定义
( ) 1− e−wnts 1+ wnts = 0.95
⇒ wnts = ln 20 + ln (1+ wnts ) 令wnts = x，则 x = ln 20 + ln (1+ x)
因：⎣⎡ln
20
+
ln
(1
+
x )⎦⎤′
=
1
1 +
x
<
1
故用叠代法逼近得： x ≈ 4.75
所以：
ts
=
4.75 wn
上升时间tr（从稳态值的 0.1 到 0.9 所需
的时间），同理可得；
tr
=
3.866 wn
−
0.516 wn
=
3.35 wn
取：
tr
=
3.5 wn
（5）当ξ > 1（过阻尼）
S1 = −ξ wn + wn
ξ2 −1 = − 1
时间，上升时间为tr = 2.2T 。
（2）响应曲线初始斜率为1 T 。
d ⎡⎣Ch (t )⎤⎦
=
1
−1t
eT
=1
dt
T
T
t=0
t=0
（3）可用时间常数T 去度量系统的输出量
Ch (t )的值。
ts T 2T 3T 4T 5T
Ch (t ) 0.632 0.865 0.95 0.982 0.993
1−ξ 2
wdt p + β
−1
=−
1
− ξπ
⋅ e 1−ξ2 sin (π + β )
1−ξ 2
=−
1
− ξπ
⋅ e 1−ξ2 [sinπ cos β + cosπ sin β ]
1−ξ 2
=−
1
− ξπ
− ξπ
[ ] ⋅ e 1−ξ 2 0 − sin β = e 1−ξ 2
1−ξ 2
− ξπ
式中： β = tg −1 1− ξ 2 = cos−1ξ ξ
（t ≥ 0）
1——稳态分量
−
1
1−ξ 2
⋅ e−ξ wnt
sin ( wdt
+
β
)——瞬态分量
以wnt 为横坐标，给出不同的ξ 值，可得
到一簇Ch (t )曲线，如上图。
图中每条曲线均有以下特点： ①都是衰减的振荡过程。 ②稳态值均为 1。 ③振幅由指数曲线包络，包络曲线为
Ch (t )中后项的影响，得
( ) Ch
t
≈1−
T1
−1t
−1t
e T1 ≈ 1 − e T1
TS +1 S =1− T =1− 1
S TS +1 S S + 1 T
这时：
Ch
(t)
=
A −1
⎡⎣C
( s )⎦⎤
=1−
−1t
eT
（t
≥
0）
式中： 1——稳态分量
−1
eT
t
——瞬态分量
可见一阶系统单位阶跃响应曲线是初始
值为 0，以指数规律上升，稳态值为 1 的曲线。
3、分析
曲线特点
（1）不超过稳态值，无超调量，无峰值
+
β
)
= 1−1.2e−17.25t sin (26.5t + 0.995)
性能指标；
tr
=π −β
wd
=
π − cos−1ξ wn 1 − ξ 2
= 3.142 − 0.995 = 0.08 26.5
tp
=
π
wd
=
wn
π = 3.142 = 0.12（S） 1− ξ 2 26.5
ts
=
3.5
ξ wn
反馈通道参数α 应如何选择。
解：系统的传递函数为；
1
G(s)
=
1+
100
(100
S S
)
⋅a
=
S
100 + 100a
=
a 1 S +1
100a
时间常数：T = 1 100a
根据题意：ts
=
3T
=
3 100a
≤
0.1 ⇒
a
≥
0.3
二、二阶系统的单位阶跃响应
1、模型
用二阶线性常系数微分方程来描述的系
极 值 ， δ % = 4.3% 超 调 量 最 小 。 因 此 称
ξ = 0.707为最佳阻尼比。
④上升时间 tr 根据定义曲线从 0 开始到第一次达到稳
态值所需的时间。
Ch (tr ) = 1 = 1−
( ) 1 ⋅ e−ξwntr sin
1−ξ 2
wdtr + β
得
wdtr + β = nπ
系统输出量：
X
(s)
=
Φ(s)⋅ F
(s)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
⋅
1 S
⋅
8.9 K
由终值定理得：
X ss
=
X
(t)
t→∞
=
lim S
S →0
⋅
X
(s)
=
8.9 K
=
0.03
K = 8.9 = 297（N/m） 0.03
− ξπ
− ξπ
M p = 0.0029 = X ss ⋅ e 1−ξ 2 = 0.03 ⋅ e 1−ξ 2
1 ± 1 ⋅ e−ξwnt
1−ξ 2
性能指标：
①峰值时间t p
根据定义，tp为Ch (t )第一次达到峰值所
需的时间，故有；
d ⎡⎣Ch (t )⎤⎦ = 0
dt t =t p
Ch (t ) = 1−
1
1−ξ 2
( ⋅ e−ξwnt sin wdt
+
β)
( ) ⇒
wn ⋅ e−ξ wntp sin
= 0.05（或
0.02）
即：
1 ⋅ e−ξwntS = 0.05
1−ξ 2
ln 20 + ln 1
⇒ ts =
1−ξ 2 ξ wn
对于常见的二阶欠阻尼系统，ξ ≤ 0.8，
有；
ts
≤
ln
20 + ln1.7
ξ wn
≈
3.5
ξ wn
取
ts
=
3.5Leabharlann ξ wn可见 wn 越大，ts 值越小。
由实验曲线知，当ξ = 0.707左右时，ts有
此时，特征方程有一对具有负实部的共 轭复根。
S1，2 = −ξ wn ± ξ 2wn2 − wn2 = −ξ wn ± wn ξ 2 −1
令： wd = wn ξ 2 −1（阻尼振荡频率）
C(s) = G(s)R(S)
=
wn 2
⋅1
S 2 + 2ξ wnS + wn2 S
= 1 − S + 2ξ wn S S 2 + 2ξ wnS + wn2
响应曲线如下图：
曲线特点：
①稳态值为 1。
②过渡过程无振荡，无δ %（M p）、tp。
③很明显，难以根据上升时间和调节时间的 定义去推导出它们的精确计算公式。工程上
是用计算机解出不同ξ 值下的上升时间tr和调
节时间ts 的数值，然后制成曲线以供查用。
工 程 上 ， 当ξ >>（1 即T1 >> T2）时 ， 略 去
T1 T2
⎞−1 −1⎟
⎠
S
⎛ ⎜ ⎝
S
+
1 T1
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
S
+
1 T2
⎞ ⎟ ⎠
( ) Ch
t
=
1
+
⎛ ⎜ ⎝
T2 T1
−
⎞ 1⎟
−1
e
−
1 T1
t
⎠
+
⎛ ⎜ ⎝
T1 T2
−
⎞−1 1⎟
−1
e T2
t
⎠
=1−
T1
1 − T2
⎛ −1t ⎜⎜⎝T1e T1
−1t
− T2e T2
⎞ ⎟⎟⎠
或：δ % = e 1−ξ 2 ⋅100%
ξ → 0 M p = 1 δ % → 100% ξ →1 Mp = 0 δ% →0
说明随着ξ 的增大，系统过渡过程越平
稳。
③调节时间ts 显然，很难写出调节时间的准确表达式。
从包络线出发，可以近似为；
⎡⎛
⎢1 − ⎢⎣
⎝⎜⎜1
±
1
1−ξ 2
⎞⎤ ⋅ e−ξ wnt ⎟⎟⎠⎥⎦⎥ t=tS
Φ(s)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
wn = 1000 = 31.6
ξ = 34.5 = 0.545
2 1000
wd = wn 1− ξ 2 = 26.5 β = arccosξ = 57D = 0.995rad
单位阶跃响应为；
Ch (t ) = 1−
1
1−ξ 2
⋅ e−ξ wnt
sin (wdt
=
3.5 0.545× 31.6
=
0.2（S）
− ξπ
δ % = e 1−ξ 2 ⋅100% = 13%
例 2：如图机械位移系统，当受
f (t ) = 8.9N 阶跃力后，质量块m的位移曲线
如图，试计算系统的K 、B、m值。
解：由系统原理图可得出系统微分方程。
f (t ) − fK − fB = ma ⇒ f (t ) − Kx(t ) − Bx (t ) = Mx(t )
第二节 阶跃输入的瞬态响应 一、一阶系统的单位阶跃响应
1、模型 一阶系统是用一阶微分方程所描述的系 统，即传递函数的分母是 S 的一次多项式， 其典型表达式为：
G(s) = 1
TS +1
2、响应：当r (t ) = 1(t )时，即R(s) = 1 ；
S
C(s) = G(s)R(s) = 1 ⋅ 1
⇒ ξ = 0.6
tp = wn
π 1−ξ 2
= 2 ⇒ wn
= 1.96（rad/s）
m
=
K wn 2
= 297 1.962
=
77.3（Kg）
B = 2ξ wn ⋅ m = 181.8（ N ⋅ m/s）
（4）当ξ = 1（临界阻尼）
S1，2 = −ξ wn ± wn ξ 2 −1 ξ =1
⇒ S1，2 = −ξ wn = −wn
=
1 S
−