2_指对跨阶系列--同构在导数中的应用最新(鲁明明)

x
1

e1 x

1 x

2
1 x2


e1 x

2x2 x2
x
1

0
，
x
1或
x


1 2
由此可得
g

x
在

,

1 2

单调递减，在


1 2
,
0

单调递增，
在 0,1 单调递增，在 1, 单调递减；
k g 1 1
y
方法一： ln =e4 ，则 ln =e3 ，设 f x xex
e
ee
3 2
则
f

f

ln
e

，
0

ln e
，



ln
e



e4
1
–4 –3 –2 –1 O 1 2 x
–1
–2
方法二： ①式 eln e3 ，则 ln 3 ②式两边取对数 ln ln ln 1 4 ，则 ln ln 1 ln 1 3

1 2

，
0 x0
1 ，又 2
a

1 4 x0 e2 x0
在

0,
1 2

单调递减
当
x0

1 2
时，
amin

1 2e
.
解法二：同构式
①由题可得 2a e2x

ln
x
，所以 2e2x

1
ln
x
，即 2x e2x

x
ln
x

ln
x
ln x
e a
，
a
aa
1
–1 O 1 2 x
–1
再看 1911 杭州期中 T15：设 a 1，曲线 f x ax 与曲线 g x loga x 有且仅有一个公共点，则实数 a 的值
y 我们先思考这个一般性问题
若 a 0 且 a 1时， ax loga x 恒成立，求 a 的取值范围；
解法一： elna x ln x （易知 a 1） ln a
解法二：设 x ln x t ，单调递增，则 t ,
所以问题转化为 y et t 的最小值，显然利用导数或切线不等式可得最小值为 1；
题目 2：（1901 柯桥期末 T10）已知不等式 xex a x 1 ln x 对任意正数 x 恒成立，则实数 a 的最大值为
解析： x2e3x 2ln x 1 k 3 ，左 e2ln x3x 2ln x 1 (2ln x 3x 1) 2ln x 1 3
x
x
x
当且仅当 2ln x 3x 0 时，
左 min
3
k
3 ，k
0
题目 4：（2019 东城联考 22） xex1 k ln x k x 1 在 0, 恒成立，其中 k 0 ，求 k 的取值范围.
处理方式二： xex eln xx e ln x x ，当 ln x x 1时，取等. （常用公式 ex ex ）
例如：求 f x xex x ln x 的最小值
解法一： f x eln xx x ln x x ln x 1 x ln x 1 当 x ln x 0 时，取的最小值 1；
A. 0,1
B. 0,4
C.1, 4
D. 1,
解析：只能反函数，不能同构
可以变形为 x2 a ax a a
可解得 0 a 4 ，故选 B.
y x2 a 与 y ax a 互为反函数，因此只需满足 x2 a x
a
a
3
xm
练习 2：（2019 河南名校联盟 2 月联考）设实数 m 0 ，且不等式 mx ln x x me m 0 对 x 0 恒成立，则 m 的
x
4y
3 2 1
–1 O 1 x
–1
解析：
2 a ln x x xex

a


ln
x

x

2 eln xx
min
，
设
ln
x

x

t
,

右边

t

2 et
易求得 右边 min
1 ln 2 ，a
1 ln 2
题目 6：（1911 江淮十校 T16）已知实数, 满足e e3 ， ln 1 e4 ， e 为自然对数的底数，则 =
②由题意可得 eln2a2x ln x ln a ln 2x ln 2a
eln 2a2x ln 2a ln 2x eln 2a2x 2x ln 2a 2x ln 2x eln 2x ln 2x
设 f x ex x ，则 f x 单调递增， f 2x ln 2a f ln 2x
y
解析： ex ln x xex x ln x
2
设 f x x ln x ， f x 的图像（常用）如图所示， f ex f x
故只需 ex

x
， x

ln
x，

ln x x max

2 e2
，因此 min

2 e2
解析：由题意可得 eln xx1 k ln x x 1 ，设 ln x x 1 t
et kt ，易知 t 0 恒成立， et et ， 0 k e （或 t 0 恒成立， t 0 时， et k ）
t
题目 5：若 ex (a ln x) xex 2 在 0, 恒成立，求 a 的取值范围.
.
解析： xex ln x a ，左 = eln xx ln x ln x x 1 ln x 1，当且仅当 ln x x 0 时，
x 1
x 1
x 1
左 min
1 a ， amax
1
题目 3：（1904 嘉丽衢 T22） x2e3x k 3 x 2ln x 1在 0, 恒成立，求 k 的取值范围；
设 f x ln x x ， f x 单调递增， ln 1， ln 1 e4
2
回到同构在导数中的应用
题目 7：设实数 0 ，若对任意的 x e2 , ，不等式 ex ln x 0 恒成立，则 的最小值为
最大值为（ ）
e2
A. e
B.
C. 2e
D. e2
y
2
解析：只能同构，不能反函数
mx ln
x
x
xm
me m
， x ln
x

x

m
e
x
m m
，设
f
x

x ln
x
m
O xlna x
则
f
x
f
xm e m

，
x

e
xm m
ln x
x
1

m
m


指对跨阶系列--同构在导数中的应用（浙江义乌鲁明明）
题目 1：对任意实数 x 0 ，不等式 2a e2x ln x ln a 0 恒成立，则 a 的最小值为
.
解法一：传统隐零点
设 f x 2a e2x ln x ln a ，则 f ' x 4ae2x 1 ，其中 a 0 ,则 f ' x 单调递增
x

0
时，
k

R
①当
x

0
时，则
k


2

1 x


e1 x
max
②当
x

0
时，
k


2

1 x


e1 x
min
下面讨论函数
g

x


2

1 x

e1
x
，
g 'x

1 x2
e1 x


2

1 x

e1
2x ln 2a
ln 2x ，ln 2a
ln 2x 2x max

1
2a

1 e
，
amin

1 2e
反思： x ex 与 x ln x 为常见同构式 x ex ln ex ex ， x ln x eln x ln x
1
反思：关于指对数改头换面（同构基础）
ln a exln a ln x x ln a exlna x ln x ，设 f x xex
O xlna x
所以
f
xln a

f
ln
x ， x ln a

ln
x
，则 ln a

ln x x max

1 e
1
所以 a ee
1
杭州期中 a ee
x eln x ， xex eln xx ， x2ex e2ln xx ， ex exln x ， ln x ln a ln ax ， ln x 1 ln x
x
e
经常结合切线不等式： xex eln xx
处理方式一: xex eln xx ln x x 1 ，当 x ln x 0 时，取等；（常用公式 ex x 1 ）
故只需满足
k

g


1 2


3
4e 2
，则
k
3 1, 4e2
aa a
y
设
f
x

x ex
，则
f
2x

f

ln
x a
，
f
x 的图像（常用）如图所示
3 2
只需 2x ln x ，即 x e2x aa
amin

1 2e

a


x e2x
max

1 2e
，
1
–4 –3 –2 –1 O 1 2 x
–1 –2
反思： xex 与 x ln x 为常用的同构式， x ln x elnx ln x ， xex ln ex ex
x
且当 x 0 时， f ' x ；当 x 时， f ' x
存在 x0 0, 使 f ' x0 0 ， f x 在 0, x0 ， x0 ,

f (x)min

f
x0 2ae2x0
ln x0
ln a 0 ，其中 4ae2x0

1 x0
1 2x0
ln x0
ln 4x0e2x0
0
，
1 2 x0
ln 4x02
2x0
0
ln 4x02

2 x0

1 2 x0

0
，设
g x

ln 4x2

2x

1 2x
，
g x
单调递增，
g(1) 2

0
g

x0


0

g
C. e, 4e2
3 D. e, 4e2

解析：同构
两边同时除以
en1
， km

1 2n en1

2n

2m
1
enm1

0
则
2m

2n
1 enm+1

km

2n 1 en1

0
，
2m 2n 1 emn1

km

2n 1 en1

0
2m 2n 1 emn1

k
m

n

2n 1 en1

kn

0 ，构造函数
f
x

2x 1 e x 1

kx
则 f m n f n 0 对任意的实数 m, n 恒成立，因此只需满足 f x 0 恒成立即可，

2x e x 1
1

kx
，当
a
2a
2a
2a
所以 ae2x

1 ln 2
x a

ae2 x

x
，则 a

x e2x
max

1 2e
，则 a 的最小值为
1 2e
.
练习 1：（原创）设 a 0 ，函数 f x x2 a a ax a ，若 f x 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
解法二：数形结合，反函数
y ax 与函数 y loga x 关于 y x 对称
ax
loga
x
ax

x
， x ln a
ln x
，则 ln a

ln x x max

1 e
，所以 a

1
ee
回到题目 1 反思指对函数为常用互为反函数
方法三： 2ae2x ln x ，即 ae2x 1 ln x y ae2x 反解可得 x 1 ln y y ae2x 与 y 1 ln x 互为反函数
ln
x x 1 min

e2
，则 m
的最大值为 e2
（难）练习 3（原创）：已知对于任意的实数 m, n ，不等式 kmen1 2n 1 2n 2m 1 e2nm 0 恒成立，则实数 k
的取值范围为（ ）
3 A. 1, 4e2

B. 1, 4e2