5学年度高二第一学期期末考试数学试题(理)(附答案)(2)

山东省滕州市第一中学2014-2015学年度高二第一学期期末考试
数学试题（理）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．过点)1,4(-p ）且与直线0643=+-y x 垂直的直线方程是 A ．01934=--y x
B ．01334=++y x
C ．01643=--y x
D ．0843=-+y x
2．复数2
5
-i 的共轭复数是（ ）
A ．i +2
B ．i -2
C ．-i -2
D ．2 - i
3．方程mx 2-my 2=n 中，若mn<0,则方程的曲线是 A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆
D ．焦点在y 轴上的双曲线
4．条件甲：“00>>b a 且”,条件乙：“方程12
2=-b
y a x 表示双曲线”，那么甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．如果执行下面的程序框图，那么输出的S =（ ）．
A ．10
B ．22．
C ．46
D ．94
6．若→a ＝（2,-3,1）,→b ＝（2,0,3），→c ＝（0,2,2），则→a ∙（→b ＋→
c ）＝（ ） A ．4
B ．15
C ．7
D ．3
7．已知焦点在y 轴的椭圆19
922=++m y x 的离心率为21，则m=（ ）
A ．3
B ．3或4
9
-
C ．4
9
-
D ．936-
8、若双曲线116322
2=-p
y x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则P 的值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．24
9．已知抛物线C:x y 42=的焦点为F ，直线42-=x y 与C 交于A,B 两点，则COS ∠AFB=（ ） A ．
54 B ．5
3
C ．—
5
3
D ．—
5
4 10．椭圆的两顶点为
，且左焦点为F ，
是以
角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．） 11．准线方程为x=1的抛物线的标准方程是 12．函数2
1
()ln x
f x e x +=+的导数为 。

13．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为
14．点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点,则P 到y=x-2的距离的最小值为 ． 15．已知四面体顶点A （2,3,1）、B （4,1,-2）、C （6,3,7）和D （-5,-4,8）,则顶点D 到平面ABC 的距离为
三、解答题（80分）解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分13分） 已知复数123z i =-
, 2
211i z i +⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭
求:（1） 12z z + （2） 12.z z ; （3）
1
2
z z ． 17．（本小题满分13分） 某商场举行抽奖活动，从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
（Ⅰ）求中三等奖的概率； （Ⅱ）求中奖的概率． 18．（本小题满分13分）
已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。

（1）求a,b 的值
（2）求f （x ）在x ∈[-3,3]的最值 19．（本小题满分13分）
如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝1
2
AD ．
（1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； （2）证明平面AMD ⊥平面CDE ； （3）求锐二面角A -CD -E 的余弦值．
20（本小题满分14分） 已知函数f （x ）=x 2（x －a ）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l ，求函数f （x ）在点（1 ,f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若b =0，不等式
2()f x x -1nx +1≥0对任意的1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
恒成立，求a 的取值范围．
21．（本小题满分14分） 已知
为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在直线与椭圆交于M,N 两点，且线段)MN 1
的中点为点(1，2
，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由？
（3）若直线2y kx =+与椭圆交于A ，B 两点，当k 为何值时，OA OB ⊥（O 为坐标原点）？
2014-2015学年度山东省滕州市第一中学高二第一学期期末考试
数学试题（理）参考答案
1-10ABDAC DACDB 11．x y 42-=,
12．21
12x xe
x
++
13．
2π
14．2
15．11．
16．解:z 2=-1+i…………3分
（1）z 1+ z 2=（2-3i ）+（-1-i ）=1-4i ．………6分 （2）z 1·z 2=（2-3i ）（-1+i ）=1+5i ．………9分 （3）
12z z =
2351122i
i i
-=-+-+ ………13分 17．解：两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，设“中三等奖”的事件为A ，“中奖”的事件为B ，从四个小球任选两个共有（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）六种不同的方法．
（Ⅰ）两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：（0，3），（1，2）．故.3
1
62)(==
A P -----6分
（Ⅱ）两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：（0，1）；两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：（0，2）．故.3
2
621)(=-
=B P ------------------13分 18．解：解：⑴323)(2
-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ⎩⎨
⎧=--=-+.
0323,
0323b a b a 解得0,1==b a 。

………5分
（2）)1)(1(333)(,3)(2
3
-+=-='-=x x x x f x x x f 。

令0)(='x f ，得1,1=-=x x 。

若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则0)(>'x f ，故)(x f 在)1,(--∞上是增函数， )(x f 在),1(∞+上是增函数。

若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数。

所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值;最大．小值f （3）=18,f （-3）=-18………13分
19．解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原 点．设AB ＝1，依题意得B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），E （0，1，1），F （0，0，1），M （12，1，1
2
）．
（1）BF →＝（－1，0，1），DE →＝（0，－1，1）， 于是cos 〈BF →，DE →
〉＝BF →·DE →
|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12．
所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°． （2）证明 由AM →＝（12，1，12），CE →
＝（－1，0，1），
AD →＝（0，2，0），可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →
＝0． 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD ． 又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD ．
而CE //平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE ． （3）设平面CDE 的法向量为u ＝（x ，y ，z ），
则⎩
⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝（1，1，1）．
又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝（0，0，1）． 所以，cos 〈u ，v 〉＝
u ·v |u||v|＝0＋0＋13×1
＝3
3． 因为二面角A -CD -E 为锐角，所以其余弦值为3
3
． 20．解:由于a=3，b=l ∴x x x x f +-=2
3
3)( ∴163)('2+-=x x x f
∴1131)1(,2163)1('-=+-=-=+-==f f k
∴切线方程为：12)1(21+-=--=+x y x y 即 6分 （3）∵b=0
∴)()(2a x x x f -=
∵
上恒成立对任意),21
[01ln )(2
+∞∈≥+-x x x
x f ∴上恒成立在),2
1
[1ln +∞∈≥+-x a x x
设g(x)=x-lnx+1，则g ’（x ）=1-x
1
=0,得x=1
∴g （x ）在)1,2
1
(单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴g （x ）最小值为g （1）=2
∴a ≤2 14分 21．解：（I ）设椭圆的标准方程为
由已知得
，
……………………2分
又点
在椭圆上，
椭圆的标准方程为
所求椭圆方程是13
42
2=+y x ……………………4分 （2）若存在这样的直线l ，依题意，l 不垂直x 轴设 l 方程)1(2
1
-=-
x k y 代入012)2
1
(4)21(8)43(13
42222
2=--+-++=+k x k k x k y x 得 ……………… 7分
设),(11y x M 、),(22y x N ， 有1221=+x x ，得 2
1
8()
322,342
k k k k -
==-+得 ……（9分） 又134)21,1(22=+y x C 在椭圆点 内部，故所求直线l 方程 22
3
+-=x y ………（10分）
（3）设11()A x y ，，22()B x y ，联立方程：22
143
2x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
化简得： 22(34)1640k x kx +++=……（11分）
则1221634k x x k +=-
+，122
4
34x x k
⋅=+ ∵OA OB ⊥ ∴12120x x y y ⋅+= ，又2
1212
1212(2)(2)2()4yy k
x k x k xx k x x =++=+
++……（12分）
∴2
22416(1)
2403434k k k k k -++⋅+=++， 解得：2
43k = ∴3
k =±
……（13分）
经检验满足0∆>，∴当k =OA OB ⊥． …………（14分）。