本章内容三铰拱的组成特点及其优缺点三铰拱的反力和内力
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拱式结构的特点是承受较大的压力，除此之外，各截面 还有剪力和弯矩，由这三个分力可求出合力，如图4-7(a)、(b) 所示。合力与分力之间的关系为：
FR F F M e FR
2 N 2 S
(b) (a) M FR FN
e
FS tan FN
FS
图4-7
上式中e是由截面形心到合力FR作用线的垂直距离，α是合 力FR与该截面拱轴切线之间的夹角。对于拱内各截面来说，一 般是处于偏心受压状态，
10kN/m 40kN A B
FAV=70kN
50Βιβλιοθήκη FBV=50kN0
(c)
15 0 20 15 20
5
M图（kN·m）
7.10
(d)
4.00
0
4.90
17.9
7.00
FS图（kN）
4.90 4.00 10.0 17.9 78.0 58.1 76.0 60.0 60.6 77.0
91.9
78.0
60.6
一定时，M0C 为定值，推力FH与拱高f成反比。f愈小，拱愈平坦， 推力FH则愈大。若f = 0，则FH = ∞，此时三铰位于同一直线上，
拱成为瞬变体系。
y
a2 a1 (a) C b1
b2
(a ) A
a1
F1 K y x x
C
F2
B FH FBV
F1
F2 f
FH
A FAH FAV l1 l
B FBH
§4-1 概 述
1．拱的组成及受力性能
杆轴线是曲线且在竖向荷载作用下能产生水平反力(推力)的结 构，称为拱。拱的基本形式有三铰拱、两铰拱和无铰拱，分别如 图4-1(a)、(b)、(c)所示。前一种是静定拱，后两种是超静定拱。 本节仅讨论静定拱的内力计算。
F (a) C (b) (c)
E FAH
B FBH FAV FBV
(4-2)
还与拱的轴线形状有关。
q=10kN/m
例4-1 试作图4-6(a)所示三铰拱的内
力图。拱轴线方程为：
(a) y A
0 2 1 3 4
C
5 f=4m x
F=40kN
6 7 8
B FH=60kN
FH=60kN FAV=70kN
8m l=16m 4m 4m
4f y 2 (l x ) x l
tanf = dy/dx = 1-x/8 故有 y6 = x6(1-x6/16) = 12(1-12/16) = 3m tanf6 = 1- x6/8 = 1-12/8 = -0.5, f6 = -26°34′, sinf6 = -0.447, cosφ6 = 0.894 (2) 计算截面6的内力。 由式(4-2)，得： M6 = M06- FH y6 = 50×4-60×3 = 20 kN· m 由于等分点6在集中力作用处，故该截面剪力、轴力均有突变， 应分别计算出左、右两边的剪力和轴力。
解： 1. 反力计算。 由式(4-1)可知 FAV = F0AV = (40×4+10×8×12)/16 = 70 kN(↑) FBV = F0BV = (10×8×4+40×12)/16 = 50 kN(↑) FH = M0C/f = (50×8-40×4)/4 = 60 kN
(b)
FBV=50kN
x 1)
图4-11所示三铰拱在受径向均布荷载(如静水压力)作用 下，根据微段的平衡条件即可推出合理拱轴线为圆弧曲线 (推导从略)。
qc qx qc+rf
q
x C
f
C
B
A
l 2 y l 2
A
B
图4-10
图4-11
应该指出，当跨度一定时，对于不同的荷载，其合理拱轴的形
式也不同。在工程实际中，结构要承受各种不同荷载的作用。根据
如图4-7(b)所示。如各截面弯矩越小，则偏心距e越小。当 M=0时，则e = 0，这对截面受力而言是比较理想的。各截面合 力FR作用点的联线就称为该拱的压力曲线。
2. 三铰拱的合理拱轴线
如果三铰拱的各截面上的弯矩和剪力均为零，则各截面FN 的方向与拱的轴线相切，即压力曲线与拱轴线重合。此时拱内 各截面上正应力均匀分布，在材料使用上最为经济，故称这样 的拱轴线为合理拱轴线。 合理拱轴线可由拱截面上弯矩处处为零的条件确定。在竖 向荷载作用下，三铰拱任一截面的弯矩由式(4-2)中第一式计算， 故合理拱轴线由M = M0-FHy = 0,可得 y = M0/FH (4-4) 上式表明，在竖向荷载作用下，合理拱轴线的竖坐标与相 应简支梁弯矩的竖坐标成正比。当荷载已知时，只需求出 相应简支梁的弯矩方程，然后除以拱的推力FH，便可得到 合理拱轴线方程。
与中间铰C相应的截面C的弯矩M0C。所以，(a)、(b)、(d)式又可 写为
FAV = F0AV
FBV = F0BV FH = M0C/f 式(4-1)表明，三铰拱的竖向支座反力与相应简支梁的相同，而 其推力等于相应简支梁截面C的弯矩M0C 除以拱高f。推力FH与拱 (4-1)
的轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。当荷载与跨度
图4-1
如果杆轴线虽然是曲线，但在竖向荷载作用下不产生水平支座 反力的结构不是拱，而称为曲梁。在竖向荷载作用下，是否产生水 平推力，是拱与梁的基本区别。 拱与梁相比，由于推力的存在，减小了各截面的弯矩。这就有 可能使处于压弯组合应力状态的拱截面，只承受压应力，从而可采 用抗压性能好的廉价材料，如砖、石及混凝土等来建造。但是，推 力的存在又反过来作用于基础，因而要求比梁具有更坚固的地基或 支承结构。
FS6L = FS06Lcosf6-FHsinf6 = (-10)×0.894-60×(-0.447) = 17.9 kN FS6R = FS06Rcosf6-FHsinf6 = (-50)×0.894-60×(-0.447) = -17.9 kN
FN6L = FS06Lsinf6+FHcosf6 = (-10)×(0.447)+60×0.894 = 58.1 kN
(a) C A B
拱轴线 拱趾
拱顶
拱高
拱趾
(b)
跨度
图4-2
图4-3
所以作屋盖承重用的拱，一般要加拉杆，以承担拱对墙的水平 推力。如图4-2(a)所示，称为带拉杆的三铰拱。为了获得较大的净 空，有时也将拉杆做成折线形状，如图4-2(b)所示。
2．名词解释
拱的各部分名称如图4-3所示。拱身各截面形心的联线称为拱轴 线。拱与基础联结处称为拱趾(或拱脚)。两拱趾间的水平距离称为 跨度。两拱趾的联线称为起拱线。拱轴上距起拱线最远的一点称为 拱顶。三铰拱通常在拱顶处设有中间铰(或称为顶铰)。拱顶至起拱 线之间的竖直距离称为拱高。拱高与跨度之比f/l称为高跨比。两拱 趾在同一水平线上的叫平拱，不在同一水平线上的叫斜拱。本节只 讨论平拱的计算。
FN6R = FS06Rsinf6+ FHcosf6 =(-50)×(0.447)+60×0.894 = 76.0 kN
同理可计算出其他各截面的内力，具体计算时，可列表进行。
根据表中计算出的数值，即可绘出M、FS、FN图，分别如图46(c)、(d)、(e)所示。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
1. 压力曲线
例4-2 试求图4-9(a)所示对称三 铰拱在竖向均布荷载q作用下的 合理拱轴线。 解：图4-9(b)所示相应简支梁的 弯矩方程为 M0 = qlx/2-qx2/2 = qx(l-x)/2 由式(4-1)求得水平推力为 FH = M0C/f = ql2/(8f) 根据式(4-4)，得合理拱轴线方 程为 y = M0/FH = 4f(l-x)x/l2 可见，在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线是二次抛物 线。
q
y (a) A
C
f x
B
l 2
l 2
q (b) A C
x 1 ql 2
B
1 ql 2
图4-9
图4-10所示三铰拱受填土荷载作用，拱上分布荷载 qx=qc+γy。qc为拱顶处荷载集度，γ为填土容重。应用式 (4-2)积分(分析从略)后得合理拱轴线是一条悬链线。方程为
y qc
(cos h
FH
某种荷载确定的合理拱轴线，并不能保证其他荷载作用下，拱内各 截面都处于无弯矩状态。因此，在结构设计中通常是以主要荷载作 用下的合理拱轴作为拱的轴线。而在其他荷截作用下产生的弯矩， 应控制其压力线不超过截面核心，以保证各截面不产生拉应力。
上式中(FAV-F1)等于相应简支梁截面K的剪力FS0，故又可写为： FS = FS0 cosf- FH sinf (f)
由ΣFη=0， 得： FN = FS0sinf+ FH cosf 取负。 综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下的内力计算公式为 M = M0 -H y FS = FS 0cosf- FH sinf FN = FS 0sinf+ FH cosf 由式(4-2)可知，三铰拱的内力不仅与三个铰的位置有关，而且 (g) 在式(f)及(g)中，f的符号在图示坐标系中左半拱取正，右半拱
首先考虑整体平衡mb0aavf?ma0bbvf?fx0fahfbhfhc其次取左半拱为隔离体由mc0d1122iifbfbfbll???iifal?1111avhflflaff???考察ab两式的右边恰好等于相应简支梁如图44b所示的支座反力f0av和f0bv而式d的右边分子等于相应简梁上与中间铰c相应的截面c的弯矩m0c
(b )
FAV F1 M
FN
l2
FBV
K FH FAV A
FS
(b) A
F1
C
F2 B
(c ) A F1 K C
F2
B
F0 AV
F
0 BV
F
0 AV
F
0 BV
图4-4
图4-5
2．内力的计算
反力求出后，可用截面法求出拱内任一截面的内力。任一截面 K的位置可由其形心坐标、和该处拱轴线的倾角确定，如图4-5(a)所 示。截面内力正负号规定如下：因拱常受压，故轴力以使拱截面受 压为正，剪力以绕隔离体有顺时针转动趋势者为正，弯矩以使拱内 侧受拉为正。 截取截面K左部分为隔离体，为便于计算，沿FNK及FSK方向建 立辅助坐标系ξKη。如图4-5(b)所示。 由ΣMK=0， 得: M=[FAV x-F1(x-a1)-FHy] 由于FAV = F0AV，上式方括号内的数值等于相应简支梁截面K的弯矩 M0，故上式可写为 M = M0 -FH y (e) 由ΣFξ= 0，得 FS = (FAV-F1) cosf-FH sinf
§4-2 三铰拱的计算
下面以竖向荷载作用下的三铰拱为例，讨论其反力及内力的计 算方法。
1．支座反力的计算
三铰拱共有四个支座反力，如图4-4(a)所示。除了取全拱为隔 离体可建立三个整体平衡方程外，还可利用中间铰C处弯矩为零 (MC = 0)的条件建立一个补充方程，从而可求出所有支座反力。 首先考虑整体平衡 F1b1 F2b2 Fi bi F ΣMB = 0, (a) AV ΣMA = 0,
(e)
67.0
FN图（kN）
图4-6
2.内力计算
为绘内力图，将拱沿跨度方向分成8等分，分别计算出各 等分点截面处的内力值，现以距左支座x = 12m的截面6为例， 说明计算步骤。 (1) 截面的几何参数。
4f 拱轴线方程：y 2 (l x ) x = 4×4/162×(16-x)x = x(1-x/16) l
FBV
ΣFx = 0, FAH = FBH = FH
Fi ai l
l
l
(b)
(c)
(d)
其次，取左半拱为隔离体，由ΣMC = 0，
F l F1 (l1 a1 ) FH AV 1 f
考察(a)、(b)两式的右边，恰好等于相应简支梁(如图4-4(b)
所示)的支座反力F0AV和F0BV，而式(d)的右边分子等于相应简梁上
FR F F M e FR
2 N 2 S
(b) (a) M FR FN
e
FS tan FN
FS
图4-7
上式中e是由截面形心到合力FR作用线的垂直距离，α是合 力FR与该截面拱轴切线之间的夹角。对于拱内各截面来说，一 般是处于偏心受压状态，
10kN/m 40kN A B
FAV=70kN
50Βιβλιοθήκη FBV=50kN0
(c)
15 0 20 15 20
5
M图（kN·m）
7.10
(d)
4.00
0
4.90
17.9
7.00
FS图（kN）
4.90 4.00 10.0 17.9 78.0 58.1 76.0 60.0 60.6 77.0
91.9
78.0
60.6
一定时，M0C 为定值，推力FH与拱高f成反比。f愈小，拱愈平坦， 推力FH则愈大。若f = 0，则FH = ∞，此时三铰位于同一直线上，
拱成为瞬变体系。
y
a2 a1 (a) C b1
b2
(a ) A
a1
F1 K y x x
C
F2
B FH FBV
F1
F2 f
FH
A FAH FAV l1 l
B FBH
§4-1 概 述
1．拱的组成及受力性能
杆轴线是曲线且在竖向荷载作用下能产生水平反力(推力)的结 构，称为拱。拱的基本形式有三铰拱、两铰拱和无铰拱，分别如 图4-1(a)、(b)、(c)所示。前一种是静定拱，后两种是超静定拱。 本节仅讨论静定拱的内力计算。
F (a) C (b) (c)
E FAH
B FBH FAV FBV
(4-2)
还与拱的轴线形状有关。
q=10kN/m
例4-1 试作图4-6(a)所示三铰拱的内
力图。拱轴线方程为：
(a) y A
0 2 1 3 4
C
5 f=4m x
F=40kN
6 7 8
B FH=60kN
FH=60kN FAV=70kN
8m l=16m 4m 4m
4f y 2 (l x ) x l
tanf = dy/dx = 1-x/8 故有 y6 = x6(1-x6/16) = 12(1-12/16) = 3m tanf6 = 1- x6/8 = 1-12/8 = -0.5, f6 = -26°34′, sinf6 = -0.447, cosφ6 = 0.894 (2) 计算截面6的内力。 由式(4-2)，得： M6 = M06- FH y6 = 50×4-60×3 = 20 kN· m 由于等分点6在集中力作用处，故该截面剪力、轴力均有突变， 应分别计算出左、右两边的剪力和轴力。
解： 1. 反力计算。 由式(4-1)可知 FAV = F0AV = (40×4+10×8×12)/16 = 70 kN(↑) FBV = F0BV = (10×8×4+40×12)/16 = 50 kN(↑) FH = M0C/f = (50×8-40×4)/4 = 60 kN
(b)
FBV=50kN
x 1)
图4-11所示三铰拱在受径向均布荷载(如静水压力)作用 下，根据微段的平衡条件即可推出合理拱轴线为圆弧曲线 (推导从略)。
qc qx qc+rf
q
x C
f
C
B
A
l 2 y l 2
A
B
图4-10
图4-11
应该指出，当跨度一定时，对于不同的荷载，其合理拱轴的形
式也不同。在工程实际中，结构要承受各种不同荷载的作用。根据
如图4-7(b)所示。如各截面弯矩越小，则偏心距e越小。当 M=0时，则e = 0，这对截面受力而言是比较理想的。各截面合 力FR作用点的联线就称为该拱的压力曲线。
2. 三铰拱的合理拱轴线
如果三铰拱的各截面上的弯矩和剪力均为零，则各截面FN 的方向与拱的轴线相切，即压力曲线与拱轴线重合。此时拱内 各截面上正应力均匀分布，在材料使用上最为经济，故称这样 的拱轴线为合理拱轴线。 合理拱轴线可由拱截面上弯矩处处为零的条件确定。在竖 向荷载作用下，三铰拱任一截面的弯矩由式(4-2)中第一式计算， 故合理拱轴线由M = M0-FHy = 0,可得 y = M0/FH (4-4) 上式表明，在竖向荷载作用下，合理拱轴线的竖坐标与相 应简支梁弯矩的竖坐标成正比。当荷载已知时，只需求出 相应简支梁的弯矩方程，然后除以拱的推力FH，便可得到 合理拱轴线方程。
与中间铰C相应的截面C的弯矩M0C。所以，(a)、(b)、(d)式又可 写为
FAV = F0AV
FBV = F0BV FH = M0C/f 式(4-1)表明，三铰拱的竖向支座反力与相应简支梁的相同，而 其推力等于相应简支梁截面C的弯矩M0C 除以拱高f。推力FH与拱 (4-1)
的轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。当荷载与跨度
图4-1
如果杆轴线虽然是曲线，但在竖向荷载作用下不产生水平支座 反力的结构不是拱，而称为曲梁。在竖向荷载作用下，是否产生水 平推力，是拱与梁的基本区别。 拱与梁相比，由于推力的存在，减小了各截面的弯矩。这就有 可能使处于压弯组合应力状态的拱截面，只承受压应力，从而可采 用抗压性能好的廉价材料，如砖、石及混凝土等来建造。但是，推 力的存在又反过来作用于基础，因而要求比梁具有更坚固的地基或 支承结构。
FS6L = FS06Lcosf6-FHsinf6 = (-10)×0.894-60×(-0.447) = 17.9 kN FS6R = FS06Rcosf6-FHsinf6 = (-50)×0.894-60×(-0.447) = -17.9 kN
FN6L = FS06Lsinf6+FHcosf6 = (-10)×(0.447)+60×0.894 = 58.1 kN
(a) C A B
拱轴线 拱趾
拱顶
拱高
拱趾
(b)
跨度
图4-2
图4-3
所以作屋盖承重用的拱，一般要加拉杆，以承担拱对墙的水平 推力。如图4-2(a)所示，称为带拉杆的三铰拱。为了获得较大的净 空，有时也将拉杆做成折线形状，如图4-2(b)所示。
2．名词解释
拱的各部分名称如图4-3所示。拱身各截面形心的联线称为拱轴 线。拱与基础联结处称为拱趾(或拱脚)。两拱趾间的水平距离称为 跨度。两拱趾的联线称为起拱线。拱轴上距起拱线最远的一点称为 拱顶。三铰拱通常在拱顶处设有中间铰(或称为顶铰)。拱顶至起拱 线之间的竖直距离称为拱高。拱高与跨度之比f/l称为高跨比。两拱 趾在同一水平线上的叫平拱，不在同一水平线上的叫斜拱。本节只 讨论平拱的计算。
FN6R = FS06Rsinf6+ FHcosf6 =(-50)×(0.447)+60×0.894 = 76.0 kN
同理可计算出其他各截面的内力，具体计算时，可列表进行。
根据表中计算出的数值，即可绘出M、FS、FN图，分别如图46(c)、(d)、(e)所示。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
1. 压力曲线
例4-2 试求图4-9(a)所示对称三 铰拱在竖向均布荷载q作用下的 合理拱轴线。 解：图4-9(b)所示相应简支梁的 弯矩方程为 M0 = qlx/2-qx2/2 = qx(l-x)/2 由式(4-1)求得水平推力为 FH = M0C/f = ql2/(8f) 根据式(4-4)，得合理拱轴线方 程为 y = M0/FH = 4f(l-x)x/l2 可见，在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线是二次抛物 线。
q
y (a) A
C
f x
B
l 2
l 2
q (b) A C
x 1 ql 2
B
1 ql 2
图4-9
图4-10所示三铰拱受填土荷载作用，拱上分布荷载 qx=qc+γy。qc为拱顶处荷载集度，γ为填土容重。应用式 (4-2)积分(分析从略)后得合理拱轴线是一条悬链线。方程为
y qc
(cos h
FH
某种荷载确定的合理拱轴线，并不能保证其他荷载作用下，拱内各 截面都处于无弯矩状态。因此，在结构设计中通常是以主要荷载作 用下的合理拱轴作为拱的轴线。而在其他荷截作用下产生的弯矩， 应控制其压力线不超过截面核心，以保证各截面不产生拉应力。
上式中(FAV-F1)等于相应简支梁截面K的剪力FS0，故又可写为： FS = FS0 cosf- FH sinf (f)
由ΣFη=0， 得： FN = FS0sinf+ FH cosf 取负。 综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下的内力计算公式为 M = M0 -H y FS = FS 0cosf- FH sinf FN = FS 0sinf+ FH cosf 由式(4-2)可知，三铰拱的内力不仅与三个铰的位置有关，而且 (g) 在式(f)及(g)中，f的符号在图示坐标系中左半拱取正，右半拱
首先考虑整体平衡mb0aavf?ma0bbvf?fx0fahfbhfhc其次取左半拱为隔离体由mc0d1122iifbfbfbll???iifal?1111avhflflaff???考察ab两式的右边恰好等于相应简支梁如图44b所示的支座反力f0av和f0bv而式d的右边分子等于相应简梁上与中间铰c相应的截面c的弯矩m0c
(b )
FAV F1 M
FN
l2
FBV
K FH FAV A
FS
(b) A
F1
C
F2 B
(c ) A F1 K C
F2
B
F0 AV
F
0 BV
F
0 AV
F
0 BV
图4-4
图4-5
2．内力的计算
反力求出后，可用截面法求出拱内任一截面的内力。任一截面 K的位置可由其形心坐标、和该处拱轴线的倾角确定，如图4-5(a)所 示。截面内力正负号规定如下：因拱常受压，故轴力以使拱截面受 压为正，剪力以绕隔离体有顺时针转动趋势者为正，弯矩以使拱内 侧受拉为正。 截取截面K左部分为隔离体，为便于计算，沿FNK及FSK方向建 立辅助坐标系ξKη。如图4-5(b)所示。 由ΣMK=0， 得: M=[FAV x-F1(x-a1)-FHy] 由于FAV = F0AV，上式方括号内的数值等于相应简支梁截面K的弯矩 M0，故上式可写为 M = M0 -FH y (e) 由ΣFξ= 0，得 FS = (FAV-F1) cosf-FH sinf
§4-2 三铰拱的计算
下面以竖向荷载作用下的三铰拱为例，讨论其反力及内力的计 算方法。
1．支座反力的计算
三铰拱共有四个支座反力，如图4-4(a)所示。除了取全拱为隔 离体可建立三个整体平衡方程外，还可利用中间铰C处弯矩为零 (MC = 0)的条件建立一个补充方程，从而可求出所有支座反力。 首先考虑整体平衡 F1b1 F2b2 Fi bi F ΣMB = 0, (a) AV ΣMA = 0,
(e)
67.0
FN图（kN）
图4-6
2.内力计算
为绘内力图，将拱沿跨度方向分成8等分，分别计算出各 等分点截面处的内力值，现以距左支座x = 12m的截面6为例， 说明计算步骤。 (1) 截面的几何参数。
4f 拱轴线方程：y 2 (l x ) x = 4×4/162×(16-x)x = x(1-x/16) l
FBV
ΣFx = 0, FAH = FBH = FH
Fi ai l
l
l
(b)
(c)
(d)
其次，取左半拱为隔离体，由ΣMC = 0，
F l F1 (l1 a1 ) FH AV 1 f
考察(a)、(b)两式的右边，恰好等于相应简支梁(如图4-4(b)
所示)的支座反力F0AV和F0BV，而式(d)的右边分子等于相应简梁上