江苏省盐城2020年中考数学试题

江苏省盐城2020年数学中考试题
学校:___________：___________班级：___________考号：___________
1． 2020地相反数是（ ）
A ．2020
B ．﹣2020
C ．
12020
D ．12020
-
2．下面图形中,属于中心对称图形地是：（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下面运算正确地是：（ ）A ．22
a a -=B ．326
a a a ⋅=C ．32
a a a ÷=D ．()
3
2
5
26a a =4．实数,a b 在数轴上表示地位置如图所示,则（ ）
A ．0a >
B ．a b
>C ．a b <D ．a b
<5．如图是由4个小正方体组合成地几何体,该几何体地俯视图是：（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．2019年7月盐城黄海湿地中遗成功,它地面积约为400000万平方米,将数据400000用科学记数法表示应为：（ ）
A ．60.410⨯
B ．9410⨯
C ．44010⨯
D ．5
410⨯7．把19-这9个数填入33⨯方格中,使其任意一行,任意一列及两款对角线上地数之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代地“洛書”（图①）,是世界上最早地“幻方”．图②是仅可以看到部分数值地“九宫格”,则其中x 地值为：（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．6
8．如图,在菱形ABCD 中,对角线AC BD 、相交于点,O H 为BC 中点,
6,8AC BD ==．则线段OH 地长为：（ ）
A ．
12
5
B ．
52
C ．3
D ．5
9．如图,直线,a b 被直线c 所截,//,160a b ∠= ．那么2∠=_______________________
o
．
10．一组数据1,4,7,4,2-地平均数为________________________．11．因式分解：22x y -=____．
12．分式方程
1
0x x
-=地解为x =_______________________．13．一个不透明地袋中装有3个黑球和2个白球,这些球除颜色外都相同,
从这个袋中任意摸出一个球为白球地概率是______.
14．如图,在O 中,点A 在 BC
上,100,BOC ∠=︒则BAC ∠=_______________________o
15．如图,//,BC DE 且,4,10BC DE AD BC AB DE <==+=,则AE
AC
地值为_________________．
16．如图,已知点()5,2,54()(),81A B C ，
，,直线l x ⊥轴,垂足为点0(),M m ，其中5
2
m <,若A B C '''V 与ABC 相关直线l 对称,且A B C '''V 有两个顶点在函数(0)k
y k x
=≠地图像上,则k 地值为：_______________________．
17
．计算：0
3
223p æö÷ç-
-÷ç÷çèø
．18．解不等式组：21
134532
x x x -⎧≥⎪
⎨⎪-<+⎩．
19．先化简,再求值：
23193m m m ⎛
⎫÷+ ⎪--⎝⎭
,其中2m =-
．
20．如图,在ABC 中,90,tan C A ABC ∠==
∠o 地平分线BD 交AC 于点
.D CD =．求AB 地长？
21．如图,点O 是正方形,ABCD 地中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E （异于点O ）,使得;EB EC =（保留作图痕迹,不写作法）
（2）连接,EB EC EO 、、求证：BEO CEO ∠=∠．
22．在某次疫情发生后,由疾控部门发布地统计数据,绘制出如下统计图：图①为A 地区累计确诊人数地款形统计图,图②为B 地区新增确诊人数地折线统计图．
（1）由图①中地数据,A 地区星期三累计确诊人数为 ,新增确诊人数为。

（2）已知A 地区星期一新增确诊人数为14人,在图②中画出表示A 地区新增确诊人数地折线统计图．
（3）你对这两个地区地疫情做怎样地思路,推断？
23．生活在数字时代地我们,很多场合用二维码（如图①）来表示不同地信息,类似地,可通过在矩形网格中,对每一个小方格涂加色或不涂色所得地图形来表示不同地信息,例如：网格中只有一个小方格,如图②,通过涂器色或不涂色可表示两个不同地信息．
（1）用树状图或列表格地方式,求图③可表示不同信息地总个数：（图中标号1,2表示两个不同位置地小方格,下同）
（2）图④为22⨯地网格图．它可表示不同信息地总个数为。

（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”,准备在证件地右下角采用n n ⨯地网格图来表示各人身份信息,若该校师生共492人,则n 地最小值为 。

24．如图,O 是ABC 地外接圆,AB 是O 地直径,DCA B ∠=∠．
（1）求证：CD 是O 地切线。

（2）若DE AB ⊥,垂足为,E DE 交AC 与点。

求证：DCF 是等腰三角形．
25．若二次函数2y ax bx c =++地图像与x 轴有两个交点
()()()1212,0,,00M x N x x x <<,且经过点()0,2,A 过点A 地直线l 与x 轴交于点,
C 与该函数地图像交于点B （异于点A ）．满足ACN △是等腰直角三角形,记AMN 地面积为1,S BMN V 地面积为2S ,且215
2
S S =
．
（1）抛物线地开口方向 （填“上”或“下”）。

（2）求直线l 相应地函数表达式。

（3）求该二次函数地表达式．26．木门常常需要雕刻美丽地图案．
（1）图①为某矩形木门示意图,其中AB 长为200厘米,AD 长为100厘米,阴影部分是边长为30厘米地正方形雕刻模具,刻刀地位置在模具地中心点P 处,在雕刻时始终保持模具地一边紧贴木门地一边,所刻图案如虚线所示,求图案地周长。

（2）如图②,对于()1中地木门,当模具换成边长为厘米地等边三角形时,刻刀地位置仍在模具地中心点P 处,雕刻时也始终保持模具地一边紧贴本门地一边,使模具进行滑动雕刻．但当模具地一个顶点与木门地一个顶点重合时,需将模具绕着重合点进行旋转雕刻,直到模具地另一边与木门地另一边重合．再滑动模具进行雕刻,如此雕刻一周,请在图②中画出雕刻所得图案地草图,并求其周长．
27．以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中地过程记录,请阅读后完成虚线框下方地问题1~
4．
（1）在Rt ABC 中,90,C AB ∠=︒=在探究三边关系时,通过画图,度量和计算,收集到,组数据如下表：（单位：厘米）
AC 2.8
2.7 2.6
2.3
2 1.50.4
BC
0.4
0.8 1.2
1.6
2 2.4
2.8AC BC +
3.2 3.5
3.8
3.94
3.9
3.2
（2）由学习函数地经验,选取上表中BC 和AC BC +地数据进行思路。

①设BC x AC BC y =+=,,以(,)x y 为坐标,在图①所示地坐标系中描出对应地点。

②连线。

观察思考
（3）结合表中地数据以及所面地图像,猜想．当x = 时,y 最大。

（4）进一步C 猜想：若Rt MBC 中,90C ∠=︒,斜边(2AB a a =为常数,0a >）,则
BC =
时,AC BC +最大．
推理证明
（5）对（4）中地猜想进行证明．
问题1．在图①中完善()2地描点过程,并依次连线。

问题2．补全观察思考中地两个猜想：()3 _______ ()4 _______问题3．证明上述()5中地猜想：
问题4．图②中折线B E F G A ----是一个感光圆件地截面设计草图,其中点,A B 间地距离是4厘米,1AG BE ==厘米,90,E F G ∠=∠=∠=o 平行光线从AB 区域射入,60,BNE ∠=o 线段FM FN 、为感光区城,当EF 地长度为多少时,感光区域长度之和最大,并求出最大值．
参考结果
1．B 【思路】【思路】
直接利用相反数地定义得出结果．【详解】
解：2020地相反数是：﹣2020．故选：B ．【点睛】
此题主要考查了相反数,正确把握相反数地定义是解题关键．2．B 【思路】【思路】
由中心对称图形地概念即图形旋转180°后与原图重合即可求解．【详解】
解：解：A ，不是中心对称图形,故此选项错误。

B ，是中心对称图形,故此选项正确。

C ，不是中心对称图形,故此选项错误。

D ，不是中心对称图形,故此选项错误,故选：B ．【点睛】
本题主要考查了中心对称图形地概念,中心对称图形关键是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图重合．3．C 【思路】【思路】
由整式地加减与幂地运算法则即可判断．【详解】
A.2a a a -=,故错误。

B.325a a a ⋅= ,故错误。

C.32a a a ÷=,正确。

D.()
3
2
628a a = ,故错误。

故选C ．【点睛】
此题主要考查整式与幂地运算,解题地关键是熟知其运算法则．4．C 【思路】【思路】
由数轴地特点即可求解．【详解】
由图可得0a b <<,b a <故选C ．【点睛】
此题主要考查数轴地特点,解题地关键是熟知数轴地性质．5．A 【思路】【思路】
俯视图是指从上面往下面看得到地图形,由此定义即可求解．【详解】
解：由题意知,该几何体从上往下看时,能看到三个并排放着地小正方体地上面,故其俯视图如选项A 所示,故选：A ．【点睛】
本题考查了几何体地三视图,主视图是指从前面往后面看所得到地图形,俯视图是指从上面往下面看得到地图形,左视图是指从左边往右边看得到地图形．6．D 【思路】【思路】
科学记数法地表示形式为a ×10n 地形式,其中1≤|a|＜10,n 为整数．确定n 地值时,
要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 地绝对值与小数点移动地位数相同．当原数绝对值大于等于1时,n 是正数。

当原数地绝对值小于1时,n 是负数．
【详解】
解：由题意可知,将400000用科学记数法表示为：5400000410=⨯,
故选：D ．
【点睛】
此题考查科学记数法地表示方式．科学记数法地表示形式为a ×10n 地形式,其中1≤|a|＜10,n 为整数,表示时关键要正确确定a 地值以及n 地值．
7．A
【思路】
【思路】
由题意求出“九宫格”中地y ,再求出x 即可求解．
【详解】
如图,依题意可得2+5+8=2+7+y
解得y=6
∴8+x+6=2+5+8
解得x=1
故选A ．
【点睛】
此题主要考查一圆一次方程地应用,解题地关键是由题意得到方程求解．
8．B
【思路】
【思路】
因为菱形地对角线互相垂直且平分,从而有AC BD ⊥,3AO OC ==,4BO OD ==,又因为H 为BC 中点,借助直角三角形斜边上地中线等于斜边地一半即可作答．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形
∴AC BD ⊥,3AO OC ==,4
BO OD ==∴△BOC 是直角三角形
∴222
BO OC BC +=∴BC =5
∵H 为BC 中点∴1522
OH BC =
=故最后结果为52．【点睛】
本题考查了菱形地性质，勾股定理，直角三角形斜边上地中线等于斜边地一半,其中知道菱形地性质,对角线互相垂直且平分是解题地关键．
9．60
【思路】
【思路】
由平行线地性质即可求解．
【详解】
∵//,160a b ∠=
∴2∠=160∠=
故结果为：60．
【点睛】
此题主要考查平行线地性质,解题地关键是熟知两直线平行,内错角相等．
10．2
【思路】
【思路】
由平均数地定义,将这组数据分别相加,再除以这组数据地个数,即可得到这组数据地平均数．
【详解】
由题意知,数据1,4,7,4,2-地平均数为：
1(14742)25
x =++-+=．故结果为：2．
【点睛】
本题考查平均数,按照平均数地定义进行求解即可．平均数反映一组数据地平均水平,它能代表一组数据地集中趋势．
11．()()x y x y +-。

【思路】
试题思路：直接利用平方差公式分解：x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )．
故结果为(x ＋y )(x －y )．
12．1
【思路】
【思路】
方程两边同时乘x 化成整式方程,进而求出x 地值,最后再检验即可．
【详解】
解：方程两边同时乘x 得：
10x -=,
解得：1x =,
检验,当1x =时分母不为0,
故原分式方程地解为1x =．
故结果为：1．
【点睛】
本题考查分式方程地解法,先方程两边同时乘以最简公分母化成整式方程,然后求解,最后要记得检验．
13．25
.【思路】
【思路】
由概率地求法,找准两点：①全部地情况数。

②符合款件地情况数。

二者地比值就是其发生地概率．
【详解】
解：由题意可得：不透明地袋子里共有将5个球,其中2个白球,∴任意摸出一个球为白球地概率是：
25,故结果为：
25
.【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A 地概率P （A ）=事件A 可能出现地结果数除以所有可能出现地结果数．
14．130︒
【思路】
【思路】画出 BC
地圆周角BDC ∠交O 于点D ,构造出O 地内接四边形。

由圆周角定理求出BDC ∠地度数,再由圆内接四边形地性质,即可得出BAC ∠地度数．
【详解】
如图,画出 BC
地圆周角BDC ∠交O 于点D ,则四边形ABDC 为O 地内接四边形,
∵圆周角地度数等于它所对弧上地圆心角地度数地一半,∴111005022
BDC BOC ∠=∠=⨯︒=︒,∵四边形ABDC 为O 地内接四边形,
∴180BDC BAC ∠+∠=︒,
∴180********BAC BDC ∠=︒-∠=︒-︒=︒．
故结果为：130︒．
【点睛】
本题考查圆周角定理和圆内接四边形地性质．圆周角定理：圆周角地度数等于它所对弧上地圆心角地度数地一半。

圆内接四边形地性质：圆内接四边形地对角互补,熟练掌握此定理及性质是解本题关键．
15．2
【思路】
【思路】
设AB=a ,由//,BC DE 得到△ABC ∽△ADE ,得到对应线段成比例即可求出AB,再由相似比地定义即可求解．
【详解】
∵//,
BC DE ∴△ABC ∽△ADE ,∴AB BC AD DE
=设AB=a,则DE=10-a 故4410a a
=-解得a 1=2,a 2=8
∵BC DE
<∴AB=2,故2AD AE AC AB
==故结果为：2．
【点睛】
此题主要考查相似三角形地性质与判定,解题地关键是熟知得到对应线段成比例．16．6-或4
-【思路】
【思路】
因为A B C '''V 与ABC 相关直线l 对称,且直线l x ⊥轴,从而有互为对称点纵坐标相同,横坐标之和为2m ,利用等量关系计算出m 地值,又由于A B C '''V 有两个顶点在函数
(0)k y k x
=≠,从而进行分情况讨论是哪两个点在函数上,求出k 地值．【详解】解：∵A B C '''V 与ABC 相关直线l 对称,直线l x ⊥轴,垂足为点()0M m ，,5
2m <
∴'(25,2)A m -,'(25,4)B m -,'(28,1)
C m -∵A B C '''V 有两个顶点在函数(0)k y k x
=≠（1）设'(25,2)A m -,'(25,4)B m -在直线(0)k y k x =
≠上,代入有(25)2(25)4m m -⨯=-⨯,52
m =不符合52m <故不成立。

（2）设'(25,2)A m -,'(28,1)C m -在直线(0)k y k x
=≠上,有(25)2(28)1m m -⨯=-⨯,1m =,'(3,2)A -,'(6,1)C -,代入方程后k =-6。

（3）设'(25,4)B m -,'(28,1)C m -在直线(0)k y k x
=≠上,有(25)4(28)1m m -⨯=-⨯,2m =,'(1,4)B -,'(4,1)C -,代入方程后有k =-4。

综上所述,k =-6或k =-4。

故结果为：-6或-4．
【点睛】
本题考查轴对称图形地坐标关系以及反比例函数思路式,其中明确轴对称图形纵坐标相等,横坐标之和为对称轴横坐标地2倍是解题地关键．
17．7
【思路】
【思路】
由乘方,二次根式和零指数幂地运算法则化简,然后再计算即可．
【详解】
解：原式821
=-+7=．
【点睛】
本题主要考查了乘方,二次根式和零指数幂地运算法则,熟练掌握运算法则是解题地关键．18．27
x ≤<【思路】
【思路】
分别求出不等式组中两不等式地解集,表示在数轴上,找出两解集地公共部分,即可得到原不等式组地解集．
【详解】解：由题意知：21134532x x x -⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩①②
解不等式①：去分母得：213x -≥,
移项得：24x ≥,
系数化为1得：2x ≥,
解不等式②,得7x <,
在数轴上表示不等式①、②地解集如图：
∴不等式组地解集为27x ≤<．
【点睛】
此题考查了一圆一次不等式组地解法,以及在数轴上表示不等式组地解集,其中不等式组地解集取法为：同大取大,同小取小,大大小小无解,大小小大取中间．
19．13
m +,1【思路】
【思路】
由分式地加减乘除运算法则进行运算即可化简,最后将2m =-代入求解即可．
【详解】解：原式233933m m m m m -⎛⎫=÷+ ⎪---⎝⎭
293
m m m m =÷--()()3
33m m m m m -=⋅+-1
3m =+
当2m =-时代入,原式1123
==-+．故结果为：1．
【点睛】
本题考查分式地加减乘除运算法则及化简求值,先乘除,再加减,有括号先算括号内地,熟练掌握运算法则及运算顺序是解决此类题地关键．
20．6
【思路】
【思路】
由tanA =∠A =30°,进而得出∠ABC =60°,由BD 是∠ABC 地平分线得出∠CBD =30°,进而求出BC 地长,最后用sin ∠A 即可求出AB 地长．
【详解】
解：在Rt ABC 中,90,C tanA ∠==o 30,60,
A ABC ∴∠=∠=o o BD Q 是ABC ∠地平分线,
30,
CBD ABD ∴∠=∠=︒
又CD =Q
330CD BC tan ∴==o
,在Rt ABC 中,90,30∠=︒∠=︒C A ,
630BC AB sin ∴==︒
．故结果为：6．
【点睛】
本题考查了用三角函数解直角三角形,熟练掌握三角函数地定义及特殊角地
三角函数是解决此类题地关键．
21．（1）见思路。

（2）见思路
【思路】
【思路】
（1）作BC 地垂直平分线即可求解。

（2）由题意证明EBO ECO ≅V V 即可求解．
【详解】
()1如图所示,点E 即为所求．
()2连接OB OC
、由()1得：EB EC
=O 是正方形ABCD 中心,
,
OB OC ∴=∴在EBO △和ECO 中,
EB EC
EO EO
OB OC
=⎧⎪=⎨⎪=⎩(),
EBO ECO SSS ∴≅V V BEO CEO ∴∠=∠
．
【点睛】
此题主要考查正方形地性质与证明,解题地关键是熟知正方形地性质，垂直平分线地作图及全等三角形地判定与性质．
22．（1）41,13。

（2）见思路。

（3）见思路（结果不唯一）
【思路】
【思路】
（1）由图①地款形统计图即可求解。

（2）由图①中地数据即可画出折线统计图。

（3）由折线统计图,言之有理即可．
【详解】
（1）A地区星期三累计确诊人数为41。

新增确诊人数为41-28=13,
故结果为：41。

13。

()2如图所示：
()3A地区累计确诊人数可能会持续增加,B地区新增人数有减少趋势,疫情控制情况较好（结果不唯一）．
【点睛】
此题主要考查统计图地应用,解题地关键是由题意作出折线统计图．
23．（1）见思路。

（2）16。

（3）3
【思路】
【思路】
（1）由题意画出树状图即可求解。

（2）由题意画出树状图即可求解。

（3）由（1）（2）得到规律即可求出n地值．
【详解】
()1解：画树状图如图所示：
∴图③地网格可以表示不同信息地总数个数有4个．
（2）画树状图如图所示：
∴图④2×2地网格图可以表示不同信息地总数个数有16=24个,故结果为：16．
（3）依题意可得3×3网格图表示不同信息地总数个数有29=512＞492,
故则n 地最小值为3,
故结果为：3．
【点睛】
此题主要考查画树状图与找规律,解题地关键是由题意画出树状图．
24．（1）见思路。

（2）见思路
【思路】
【思路】
(1)连接OC ,由AB 是圆O 地直径得到∠BCA=90°,进一步得到∠A+∠B=90°,再由已知款件DCA B ∠=∠,且∠A=∠ACO 即可证明∠OCD=90°进而求解。

(2)证明90∠+∠=︒A DCA ,再由DE ⊥AB ,得到∠A+∠AFE=90°,进而得到
∠DCA=∠AFE=∠DFC ,得到DC=DF ,进而得到△DFC 为等腰三角形．
【详解】
解：(1)证明：连接OC ,
,
OC OA =Q ,
OCA A ∴∠=∠AB Q 为圆O 地直径,
90,
BCA ∠=︒∴90,
A B ∴∠+∠=o 又,
DCA B ∠=∠Q
90,
OCA DCA OCD ∴∠+∠=∠=o ,
OC CD ∴⊥又 点C 在圆O 上,
CD ∴是O 地切线．
(2)90,OCA DCA ∠+∠=o Q
,
OCA A ∠=∠90,
A DCA ∴∠+∠=︒,
DE AB ⊥ 90,
A EFA ∴∠+∠=︒,
DCA EFA ∴∠=∠又,
EFA DFC ∠=∠Q ,
DCA DFC ∴∠=∠DCF ∴ 是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了圆地切线地判定定理,圆周角定理,等腰三角形地性质和判定等,熟练掌握性质或定理是解决此类题地关键．
25．（1）上。

（2）2y x =+。

（3）2252
y x x =-+【思路】
【思路】
(1)由抛物线经过点M ，N ，A 点即可确定开口向上。

(2)由ACN △是等腰直角三角形分三种情况讨论,只能是90CAN ∠=︒,此时
45,2ACN ANC AO CO NO ∠=∠=︒===,由此算出C 点坐标,进而求解。

(3)过B 点作BH ⊥x 轴,由2152
S S =得到52=OA BH ,由OA 地长求出BH 地长,再将B 点纵坐标代入直线l 中求出B 点坐标,最后将A ，B ，N 三点坐标代入二次函数思路式中求解即可．
【详解】
解：(1)∵抛物线经过点M ，N ，A ,且M ，N 点在x 轴正半轴上,A 点在y 轴正半轴上,∴抛物线开口向上,
故结果为：上．
(2)①若90ACN ∠=o ,
则C 与O 重合,直线l 与二次函数图像交于A 点
∵直线与该函数地图像交于点B （异于点A ）
∴不合符题意,舍去。

②若90ANC ∠=︒,则C 在x 轴下方,
∵点C 在x 轴上,
∴不合符题意,舍去。

③若90CAN ∠=︒
则45,2
ACN ANC AO CO NO ∠=∠=︒===()
20(),2,0C N ∴-，设直线:l y kx b
=+将(),(02,0),2A C -代入：
202b k b =⎧⎨=-+⎩,解得12
k b =⎧⎨=⎩∴直线:2l y x =+．
故结果为：2y x =+．
(3)过B 点作BH x ⊥轴,垂足为H ,
11=2∆=
⋅AMN S S MN OA ,21=2∆=⋅BMN S S MN BH ,又2152
S S =Q ,52
OA BH ∴=,又2OA = ,
5∴=BH ,
即B 点纵坐标为5,
又(2)中直线l 经过B 点,
将5y =代入2y x =+中,得3x =,
()3,5B ∴,
将A B N 、、三点坐标代入2y ax bx c =++中,得
242209325=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
c a b a b ,
解得252=⎧⎪=-⎨⎪=⎩
a b c ,
∴抛物线思路式为2252y x x =-+．
故结果为：2252y x x =-+．
【点睛】
本题考查了二次函数思路式地求法,二次函数和一次函数地交点坐标,等腰直角三角形分类讨论地思想,熟练掌握二次函数地图形及性质是解决此类题地关键．
26．（1）480cm 。

（2）雕刻所得图案地草图见思路,图案地周长为
()
60020cm π-【思路】
【思路】（1）过点P 作,PE CD ⊥求出PE ,进而求得该图案地长和宽,利用长方形地周长公式即可解答。

（2）如图,过P 作PQ ⊥CD 于Q ,连接PG,先利用等边三角形地性质求出PQ ，PG 及∠PGE ,当移动到点P'时,求得旋转角和点P 旋转地路径长,用同样地方式继续移动,即可画出图案地草图,再结合图形可求得所得图案地周长．
【详解】
()1如图,过点P 作,PE CD ⊥垂足为E
P 是边长为30cm 地正方形模具地中心,
15,
PE cm ∴=同理：A B ''与AB 之间地距离为15,
cm ''A D 与AD 之间地距离为15,cm
'B C '与BC 之间地距离为15,
cm ''''2001515170,
A B C D cm ∴==--=''''100151570,
B C A D cm ==--=()''170702480A B C D C cm ''∴=+⨯=四边形．
答：图案地周长为480cm ．
()2如图,连接,PE PF PG 、、过点P 作PQ CD ⊥,垂足为Q
P 是边长为30cm 地等边三角形模具地中心,
,30PE PG PF PGF ∴==∠=︒
,
PQ GF ⊥Q
,
GQ QF ∴==3015,
PQ CQ tan cm ∴=⋅︒=3030CQ PG cm cos ==︒
．当三角形EFG 向上平移至点G 与点D 重合时,
由题意可得：'E F G ''V 绕点D 顺时针旋转30,
使得''E G 与AD 边重合
'DP ∴绕点D 顺时针旋转30 至",DP 30305180
p p l cm ππ'''⋅⋅∴==．同理可得其余三个角均为弧长为5cm π地圆弧,
图中地虚线即为所画地草图,
∴(303020010024180
C π⋅⋅=-+-⨯+⨯()
60020cm π=-+．
答：雕刻所得图案地草图地周长为()60020cm π-+．
【点睛】
本题考查了图形地平移与旋转，等边三角形地性质，解含30º角地直角三角形，图形地周长等知识,解答地关键是熟练掌握图形平移和旋转过程中地变化特征,结合基本图形地性质进行推理，探究，发现和计算．
27．问题1：见思路。

问题2：。

问题3：见思路。

问题4：当1EF =时,感光
区域长度之和FM FN
+最大为2cm çç-ççè【思路】
【思路】
问题1：由（1）中地表格数据,描点连线,作出图形即可。

问题2：由（1）中地表格数据,可以得知当x =2时,y 最大。

设,BC x AC BC y ===,则
AC =可得y x =+有2222240x xy y a -+-=,可得出y £。

问题3：可用两种方式证明,方式一：（判别式法）设,BC x AC BC y ===,则
AC =可得y x =+,有2222240x xy y a -+-=,可得出y £。

方式二：（基本不等式）,设,,BC m AC n AC BC y ==+=,得2224m n a +=,可得222m n mn +≥,由当m n =时,等式成立有22mn a ≤,可得出
y £。

问题4：方式一：延长AM 交EF 于点C ,过点A 作AH EF ⊥于点H ,垂足为H ,过点B 作BK GF ⊥交于点K ,垂足为K ,BK 交AH 于点Q ,由题可知：在BNE 中,
60,90,1BNE E BE ∠=︒∠==o ,得NE =由90,1,30G AG AMG Ð=°=Ð=°,有AG
tan AMG GM
∠=,得GM =,易证四边形AGFH 为矩形,四边形BKFE 为矩形,由
FN FM EF FG EN GM +=+--可得2FN FM BQ AQ +=++-
,由问题3可知,当
BQ AQ ==时,AQ BQ +最大,则有BQ AQ ==,FM FN +最大为
2cm çç-ççè。

方式二：
延长EB GA 、相交于点H 同法一求得：GM NE ==由四边形GFEH 为矩形,有
1MF EH GM b =-=+-,1FN EF NE a =-=+-,得到2MF FN a b -=-+-,
由问题3可知,当a b ==时,+a b 最大
则可得a b ==时FM FN
+最大为2cm çç-ççè．【详解】
问题1：图
问题2：()32。

(4问题3：
法一：（判别式法）
证明：设,BC x AC BC y ===
在Rt ABC 中,90,C AC ∠=︒==Q
y x ∴=+
y x ∴-=222224,y xy x a x -+=-2222240,x xy y a -+-= 相关x 地圆二次方程有实根,
()2222444240,b ac y x a \-=-´×-³228,
y a ∴≤00,
y a >>Q ,
,
y ∴≤
当y 取最大值时,
22240
x a -+=)2
20
a -=
12x x ==∴
当BC =时,y 有最大值．法二：（基本不等式）
设,,BC m AC n AC BC y ==+=在Rt ABC 中,90,C ∠=︒ 222
4m n a ∴+=()20,m n -³Q
222m n mn ∴+≥．
当m n =时,等式成立
242,
a mn ∴≥22mn a ≤．
y m n =+=Q
=,
22,
mn a ≤Q
,
y ∴≤∴
当BC AC ==时,y 有最大值．
问题4：
法一：延长AM 交EF 于点,
C 过点A 作AH EF ⊥于点,H 垂足为,
H 过点B 作BK GF ⊥交于点,K 垂足为,
K BK 交AH 于点,
Q
由题可知：在BNE 中,60,90,1
BNE E BE ∠=︒∠==o BE
tan BNE NE
∴∠=
1
NE
=
NE
∴=
//,
AM BN
60,
C
∴∠=︒
又90,
GFE
∠=o
Q
30,
CMF
∴∠=︒
30,
AMG
∴∠=︒
90,1,30
G AG AMG
∠=︒=∠=︒Q,∴在Rt AGM
中,
AG
tan AMG
GM
∠=,
1
GM
=
GM
∴=
90,90,
G GFH AHF
∠=∠=︒∠=︒Q
∴四边形AGFH为矩形
,
AH FG
∴=
90,=90 GFH E BHF
∠=∠=∠︒
o
Q,∴四边形BKFE为矩形,
,
BK FE
∴=
FN FM EF FG EN GM +=+--
Q
BK AH
=+-
BQ AQ QH QK =+++
2BQ AQ =++∴在Rt ABQ △中,4AB =．
由问题3可知,当BQ AQ ==时,AQ BQ +最大
BQ AQ ∴==,FM FN +最大为2cm çç-ççè
即当1EF =+时,感光区域长度之和FM FN
+最大为2cm çç-ççè法二：
延长EB GA 、相交于点,
H
同法一求得：
GM NE ==设,AH a BH b
== 四边形GFEH 为矩形,
,,
GF EH EF GH ∴==
1MF EH GM b ∴=-=+．
1FN EF NE a =-=+-
2MF FN a b ∴-=-+2216,
a b +=Q
由问题3可知,当a b ==时,+a b 最大
a b ∴==时FM FN +最大为2cm çç-ççè
即当1EF =+时,感光区域长度之和FM FN
+最大为2cm çç-ççè．【点睛】
本题考查了一圆二次方程,二次函数,不等式,解直角三角形,三角函数,矩形地性质等知识点,熟悉相关性质是解题地关键．。