2020年湖北省宜昌市英杰高中部高三数学文期末试卷含解析

2020年湖北省宜昌市英杰高中部高三数学文期末试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象必经过点（）
A、(0,1)
B、(1,1)
C、(2,0)
D、(2,2)
参考答案：
D
略
2. 三棱锥A﹣BCD内接于半径为的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A﹣BCD的体积的最大值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，
设点P到CD的距离为h，
则有V=××4×h×4，
当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为，
则四面体ABCD的体积的最大值为V=××4×2×4=．
故选：B．
3. 某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：
“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n＝
A．12 B．16 C．24 D．32
参考答案：
C
4. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）
A.且则
B.且，则
C.则
D.则
参考答案：
B
5. 已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，则
A, B. C. D.
参考答案：
【知识点】平面向量的数量积的运算 F3
【答案解析】D 解析：由题意知：，则，
由“向量积”的定义知：
故选：D
【思路点拨】利用数量积运算和向量的夹角公式可得，再利
用同角三角函数基本关系式得到，利用新定义即可求出的值。

6. 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．
【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，
B={x|﹣2＜x≤2}，
则A∩B={﹣1，0，1，2}．
故选：A．
【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．
7. 下列函数中既是奇函数，又在区间（）上单调递减的函数是
A. B.
C. D.
参考答案：
C
略
8. 某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的体积是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
9. “”是“对任意的正数，”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
【解析】，显然也能推出，所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件。

10. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则B＝
A．
B．
C．
D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于下列命题：
①函数在区间内有零点的充分不必要条件是；
②已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和
不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；
③“”是“对任意的实数，恒成立”的充要条件；
④“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件．
其中所有真命题的序号是.
参考答案：
①②④
12. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。

过的直线L交C于两点，且△ABF2的周长为16，那么的方程为。

参考答案：
13. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为．
参考答案：
3
14. 已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在
点D，使∠BDC=，则CD=．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC 中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．
【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC?BC?sin∠ACB=sin∠ACB，
∴sin∠ACB=，
∴∠ACB=，或，
∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，
∴∠ACB=，
∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，
∴∠B=，
∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．
故答案为：．
15. 已知函数对于下列命题：
①若②若
③若④若
⑤若
其中正确的命题序号
是。

参考答案：
①③
略
16. 已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．
参考答案：
略
17. （几何证明选讲）在圆内接△ABC中，AB=AC=，Q为圆上一点，AQ和BQ的延长线交于点P，且AQ：QP=1：2，则AP= 。

参考答案：
15
连接BQ，∵∠ACB与∠AQB同对弧AB，∴∠ACB=∠AQB，又∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，
∴∠AQB=∠ABP，∵∠BAQ=∠PAB，∴△AQB∽△ABP，可得又
因为，即。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
参考答案：
解：（1）由可知，，所以，
所以.
（2）由可得，
，
即，①
又，且②，由①②可解得，，
所以.
19. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求、的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和。

参考答案：
20. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n＝2a n(n∈N*)．
（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n＝na n+n，数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式的n的
最小值．
参考答案：
⑴证明：当时，，．（1分）
，，
，
两式相减得：，即，
，（4分）
∴数列为以2为首项，2为公比的等比数列，
，，（6分）
⑵，
，
，
两式相减得：，
（9分）
∴可化为：，
设，，为递增数列，
，（11分）
∴满足不等式的的最小值为11．（12分）
21. 如图是一直三棱柱（侧棱）被削去上底后的直观图与三视图的侧（左）视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，N是
BC的重点，侧（左视图是直角梯形，俯视图是等
腰直角三角形，有关数据如图所示.
(Ⅰ)求该几何体的体积；
（Ⅱ）求证：AN//平面CEM；
（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCD。

（21）（本小题满分13分）
参考答案：
)解：（Ⅰ）由题意可知：四棱锥B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，
AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，…………2分则四棱锥B－ACDE的体积为：，
即该几何体的体积为4. …………4分
（Ⅱ）证明：由题图知，连接MN，则MN∥CD，
且.又AE∥CD，且，………6分
∴∥，=,∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.
∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面
CME. ……………8分
（Ⅲ）证明：∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.…………10分
由（Ⅱ）知：AN∥EM, ∴EM⊥平面BCD，
又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.………12分
略
22. （本题满分16分，第（1）题3分、第（2）题5分、第（3）题8分）
如图，已知双曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．
(1)在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点”；
(3)求证：圆内的点都不是“型点”．
参考答案：
（1）的左焦点为，过的直线与交于，与交于，故的左焦点为“型点”，且直线可以为；
（2）直线与有交点，则
，若方程组有解，则必须；
直线与有交点，则
，若方程组有解，则必须
故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点”。

（3）显然过圆内一点的直线若与曲线有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线交于点，则
直线与圆内部有交点，故
化简得，。

①
若直线与曲线有交点，则
若，则
化简得，。

②
由①②得，
但此时，因为即①式不成立；
当时，①式也不成立
综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线和有交点，即圆内的点都不是“型点”．。