人教版九年级数学下册同步教学：第2课时 坡角、方向角与解直角三角形
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A.12.6米
B.13.1米
C.14.7米
D.16.3米
B
)
图28-2-26
[解析] 延长 AB 交地面于点 H,过点 C 作 CM⊥DE 交 ED 的延长线于点 M.易得
CM=1.6 米, DM=1.2 米,HM=BC=1 米,tan58°=,∴+.+≈1.60,∴AH≈
14.72(米),∴AB≈14.72-1.6≈13.1(米).
海轮航行的距离AB是(
A．2海里
)C
B．2sin55°海里
C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
图28－2－22
[解析] 由题意可知∠CPA=55°,AP=2 海里,∠ABP=90°.
∵AB∥CP,∴∠A=∠CPA=55°.
在 Rt△ABP 中,
∵∠ABP=90°,∠A=55°,
AP=2 海里,
群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,渔船航行12
海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变
航线继续向东航行,有没有触礁的危险?
图28-2-24
解:如图,过点 A 作 AC⊥BD 于点 C.
由题意知∠ABC=30°,∠ADC=60°.
设 AC=x 海里,
则 BC=
∵斜坡 BD 的坡度 i=1∶3,∴BH=3DH.
2
2
2
2
2
2
在 Rt△BDH 中,由勾股定理,得 DH +BH =BD ,即 DH +(3DH) =600 ,
解得 DH=60 (米),则 BH=180 米.
在 Rt△ADE 中,∵∠ADE=45°,∴AE=DE.
∵∠DHC=∠DEC=∠HCE=90°,∴四边形 DECH 是矩形,
山坡向上走了 300 米到达 B 地,则小刚上升了( A )
A.300sinα 米
B.300cosα 米
C.300tanα 米
[解析] 在 Rt△AOB 中,∵sinα=
即小刚上升了 300sinα 米.
D.
米
,∴OB=300sinα 米,
图28-2-25
5.[2018·重庆A卷] 如图28-2-26,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的
剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶
端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗
台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平
距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为(参考数据:sin58°
≈0.85, cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)(
顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB,底部A到E点的距离为4 m.
(1)求山坡EF的水平宽度FH;
(2)欲在楼房AB正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底
层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m,要使该楼的日照间距系数
不低于1.25,底部C距F处至少多远?
图28-2-31
解:(1)∵iEF=1∶0.75= =
由题意知,CG∶(BG-CP)≥1.25,
G, 则
AG=EH=12
m,GH=AE=4
∴
+
≥1.25,解得 y≥29,
.-.
∴底部 C 距 F 处至少 29 m 远.
谢 谢 观 看！
∴该文化墙 PM 不需要拆除.
B规律方法综合练
7.如图 28-2-28,港口 A 在观测站 O 的正东方向,OA=4 km,某船从
港口 A 出发,沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达 B 处,此时
从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°的方向,则该船航行的距
离(即 AB 的长)为 ( C )
A.4 km
A.30 n mile
B.60 n mile
C.120 n mile
D.(30+30 )n mile
图28-2-23
[解析] 如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
由题意,得∠ACD=30°,∠BCD=45°,
AC=60 n mile.
在 Rt△ACD 中,cos∠ACD= ,sin∠ACD=
BE= =GH,AE= ,∴DH=DG+GH=1.6+ =8,AH= +0.7= .
∵∠FDC=30°,∴∠C=30°.
在 Rt△CDH 中,
=tan30°,即= ,∴CH=8 ,
∴CA=CH-AH= 8 - m.
,从而
9.[2018·呼和浩特] 如图28-2-30,一座山的一段斜坡BD的长度
∴DE=CH,EC=DH=60 米.
设 AE=DE=CH=x 米,∴BC=BH+CH=(180 +x)米,AC=AE+EC=(x+60 )米.
在 Rt△ABC 中,AC=BC·tan33°,
∴x+60 =tan33°(180 +x),∴x=
∴AC=
°-
,
∴设 EH=4x m,FH=3x m,
则 EF= () + () =5x(m),∴5x=15,解得 x=3,
∴FH=9 m,即山坡 EF 的水平宽度 FH 为 9 m.
(2) 如 图 , 延 长
BA,FH
交 于 点
m,∴BG=AB+AG=22.5+12=34.5(m).
设 CF=y m,则 CG=CF+FH+GH=y+9+4=(y+13)m.
B.2 km
C.2 km
D.( +1)km
图28-2-28
[解析] 由题意,知 OA=4 km,∠AOB=30°,∠BAC=75°,则∠B=45°.过点 A
作 AH ⊥ OB, 垂 足 为 H. 在 Rt △ OAH 中 ,∵ ∠ AHO=90°,OA=4 km, ∠
AOB=30°,∴AH=OA=2 km.在 Rt△BAH 中,∵∠AHB=90°,∠B=45°,AH=2
6.[2019·天水] 某地的一座人行天桥如图 28-2-27 所示,天桥高为 6
米,坡面 BC 的坡度为 1∶1,文化墙 PM 在天桥底部正前方 8 米处(即
PB 的长),为(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
(1)若新坡面的坡角为 α,求 α 的度数;
∵新坡面的坡度为 1∶ 3,∴tan∠CAD=
=
6
1
= ,解得 AD=6 3(米).
3
∵坡面 BC 的坡度为 1∶1,CD=6 米,
∴BD=6 米,∴AB=AD-BD=(6 3-6)米.
又∵PB=8 米,
∴PA=PB-AB=8-(6 3-6)=14-6 3≈14-6×1.732≈3.6(米)>3 米,
米.
=
C拓广探究创新练
10.[2018·泰州] 日照间距系数反映了房屋日照情况.如图28-231①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数=L∶(H-H1),其中L
为楼间水平距离,H为南侧楼房高度,H1为北侧楼房底层窗台至地面
的高度.如图②,山坡EF朝北,EF长为15 m,其坡度i=1∶0.75,山坡
为600米,且这段斜坡的坡度i=1∶3(沿斜坡从点B到点D时,其竖直
上升的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的
仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面
BC的高度AC是多少米.(结果用含非特殊
角的三角函数值和根式表示即可)
图28-2-30
解:如图,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,作 DE⊥AC 于点 E.
∴AB=AP·cosA=2cos55°海里.故选 C.
2.[2019·
长沙] 如图 28-2-23,一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°
方向,距离灯塔 60 n mile 的小岛 A 出发,沿正南方向航行一段时间
后,到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处,这时轮船与小岛 A
的距离是 ( D )
-°
°
-°
+60
=
°-
-°
°- + - °
-°
(米).
°
因此山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是
,
-°
(2)有关部门规定:文化墙距天桥底部小于 3 米时应拆除.天桥改造后,
该文化墙 PM 是否需要拆除?请说明理由.
图28-2-27
解:(1)∵新坡面的坡度为 1∶ ,∴tanα= = ,
∴α=30°.
(2)该文化墙 PM 不需要拆除.
理由:如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则 CD=6 米.
km,∴AB= AH=2 km.故选 C.
8.如图28-2-29,小华站在河岸上的点G,看见河里有一小船沿垂直
于岸边的方向划过来.此时,测得小船C的俯角∠FDC=30°,若小华
的眼睛与地面的距离是1.6 m,BG=0.7 m,BG平行于AC所在的直线,
迎水坡的坡度i=4∶3,坡长AB=8 m,点A,B,C,D,F,G在同一个平面上,
8
则此时小船C到岸边的距离CA的长为_______m.(结果保留根号)
图28-2-29
[解析] 如图所示,延长 DG 交 CA 的延长线于点 H,则 DH⊥CH,过点 B 作 BE
⊥AH,垂足为 E.
在 Rt△ABE 中,iAB=4∶3,即 = .
设 BE=4x,AE=3x, 由 勾 股 定 理 得 AB=5x. 由 AB=8, 得 x=
第二十八章 锐角三角
函数
28.2.2 应用举例
第二十八章 锐角三角形
第2课时 坡角、方向角与
解直角三角形
A知识要点分类练
B规律方法综合练
C拓广探究创新练
A知识要点分类练
知识点 1
方向角问题
1．如图28－2－22,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯
塔2海里的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,那么
=
x 海里,DC=
=
x
海里.
∠
∠
因为 BC-DC= x- x=12,所以 x=6 .
因为 6 = > =8,
所以如果渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险.
知识点 2 坡角问题
4.[2018·益阳] 如图 28-2-25,小刚从山脚 A 出发,沿坡角为 α 的
,∴CD=AC·cos∠ACD=60× =30 (n
mile),AD=AC·sin∠ACD=60× =30(n mile).
在 Rt△DCB 中,∵∠BCD=∠B=45°,
∴CD=BD=30 n mile,
∴AB=AD+BD=(30+30 )n mile.
3.如图28-2-24,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼
B.13.1米
C.14.7米
D.16.3米
B
)
图28-2-26
[解析] 延长 AB 交地面于点 H,过点 C 作 CM⊥DE 交 ED 的延长线于点 M.易得
CM=1.6 米, DM=1.2 米,HM=BC=1 米,tan58°=,∴+.+≈1.60,∴AH≈
14.72(米),∴AB≈14.72-1.6≈13.1(米).
海轮航行的距离AB是(
A．2海里
)C
B．2sin55°海里
C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
图28－2－22
[解析] 由题意可知∠CPA=55°,AP=2 海里,∠ABP=90°.
∵AB∥CP,∴∠A=∠CPA=55°.
在 Rt△ABP 中,
∵∠ABP=90°,∠A=55°,
AP=2 海里,
群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,渔船航行12
海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变
航线继续向东航行,有没有触礁的危险?
图28-2-24
解:如图,过点 A 作 AC⊥BD 于点 C.
由题意知∠ABC=30°,∠ADC=60°.
设 AC=x 海里,
则 BC=
∵斜坡 BD 的坡度 i=1∶3,∴BH=3DH.
2
2
2
2
2
2
在 Rt△BDH 中,由勾股定理,得 DH +BH =BD ,即 DH +(3DH) =600 ,
解得 DH=60 (米),则 BH=180 米.
在 Rt△ADE 中,∵∠ADE=45°,∴AE=DE.
∵∠DHC=∠DEC=∠HCE=90°,∴四边形 DECH 是矩形,
山坡向上走了 300 米到达 B 地,则小刚上升了( A )
A.300sinα 米
B.300cosα 米
C.300tanα 米
[解析] 在 Rt△AOB 中,∵sinα=
即小刚上升了 300sinα 米.
D.
米
,∴OB=300sinα 米,
图28-2-25
5.[2018·重庆A卷] 如图28-2-26,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的
剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶
端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗
台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平
距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为(参考数据:sin58°
≈0.85, cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)(
顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB,底部A到E点的距离为4 m.
(1)求山坡EF的水平宽度FH;
(2)欲在楼房AB正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底
层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m,要使该楼的日照间距系数
不低于1.25,底部C距F处至少多远?
图28-2-31
解:(1)∵iEF=1∶0.75= =
由题意知,CG∶(BG-CP)≥1.25,
G, 则
AG=EH=12
m,GH=AE=4
∴
+
≥1.25,解得 y≥29,
.-.
∴底部 C 距 F 处至少 29 m 远.
谢 谢 观 看！
∴该文化墙 PM 不需要拆除.
B规律方法综合练
7.如图 28-2-28,港口 A 在观测站 O 的正东方向,OA=4 km,某船从
港口 A 出发,沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达 B 处,此时
从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°的方向,则该船航行的距
离(即 AB 的长)为 ( C )
A.4 km
A.30 n mile
B.60 n mile
C.120 n mile
D.(30+30 )n mile
图28-2-23
[解析] 如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
由题意,得∠ACD=30°,∠BCD=45°,
AC=60 n mile.
在 Rt△ACD 中,cos∠ACD= ,sin∠ACD=
BE= =GH,AE= ,∴DH=DG+GH=1.6+ =8,AH= +0.7= .
∵∠FDC=30°,∴∠C=30°.
在 Rt△CDH 中,
=tan30°,即= ,∴CH=8 ,
∴CA=CH-AH= 8 - m.
,从而
9.[2018·呼和浩特] 如图28-2-30,一座山的一段斜坡BD的长度
∴DE=CH,EC=DH=60 米.
设 AE=DE=CH=x 米,∴BC=BH+CH=(180 +x)米,AC=AE+EC=(x+60 )米.
在 Rt△ABC 中,AC=BC·tan33°,
∴x+60 =tan33°(180 +x),∴x=
∴AC=
°-
,
∴设 EH=4x m,FH=3x m,
则 EF= () + () =5x(m),∴5x=15,解得 x=3,
∴FH=9 m,即山坡 EF 的水平宽度 FH 为 9 m.
(2) 如 图 , 延 长
BA,FH
交 于 点
m,∴BG=AB+AG=22.5+12=34.5(m).
设 CF=y m,则 CG=CF+FH+GH=y+9+4=(y+13)m.
B.2 km
C.2 km
D.( +1)km
图28-2-28
[解析] 由题意,知 OA=4 km,∠AOB=30°,∠BAC=75°,则∠B=45°.过点 A
作 AH ⊥ OB, 垂 足 为 H. 在 Rt △ OAH 中 ,∵ ∠ AHO=90°,OA=4 km, ∠
AOB=30°,∴AH=OA=2 km.在 Rt△BAH 中,∵∠AHB=90°,∠B=45°,AH=2
6.[2019·天水] 某地的一座人行天桥如图 28-2-27 所示,天桥高为 6
米,坡面 BC 的坡度为 1∶1,文化墙 PM 在天桥底部正前方 8 米处(即
PB 的长),为(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
(1)若新坡面的坡角为 α,求 α 的度数;
∵新坡面的坡度为 1∶ 3,∴tan∠CAD=
=
6
1
= ,解得 AD=6 3(米).
3
∵坡面 BC 的坡度为 1∶1,CD=6 米,
∴BD=6 米,∴AB=AD-BD=(6 3-6)米.
又∵PB=8 米,
∴PA=PB-AB=8-(6 3-6)=14-6 3≈14-6×1.732≈3.6(米)>3 米,
米.
=
C拓广探究创新练
10.[2018·泰州] 日照间距系数反映了房屋日照情况.如图28-231①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数=L∶(H-H1),其中L
为楼间水平距离,H为南侧楼房高度,H1为北侧楼房底层窗台至地面
的高度.如图②,山坡EF朝北,EF长为15 m,其坡度i=1∶0.75,山坡
为600米,且这段斜坡的坡度i=1∶3(沿斜坡从点B到点D时,其竖直
上升的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的
仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面
BC的高度AC是多少米.(结果用含非特殊
角的三角函数值和根式表示即可)
图28-2-30
解:如图,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,作 DE⊥AC 于点 E.
∴AB=AP·cosA=2cos55°海里.故选 C.
2.[2019·
长沙] 如图 28-2-23,一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°
方向,距离灯塔 60 n mile 的小岛 A 出发,沿正南方向航行一段时间
后,到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处,这时轮船与小岛 A
的距离是 ( D )
-°
°
-°
+60
=
°-
-°
°- + - °
-°
(米).
°
因此山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是
,
-°
(2)有关部门规定:文化墙距天桥底部小于 3 米时应拆除.天桥改造后,
该文化墙 PM 是否需要拆除?请说明理由.
图28-2-27
解:(1)∵新坡面的坡度为 1∶ ,∴tanα= = ,
∴α=30°.
(2)该文化墙 PM 不需要拆除.
理由:如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则 CD=6 米.
km,∴AB= AH=2 km.故选 C.
8.如图28-2-29,小华站在河岸上的点G,看见河里有一小船沿垂直
于岸边的方向划过来.此时,测得小船C的俯角∠FDC=30°,若小华
的眼睛与地面的距离是1.6 m,BG=0.7 m,BG平行于AC所在的直线,
迎水坡的坡度i=4∶3,坡长AB=8 m,点A,B,C,D,F,G在同一个平面上,
8
则此时小船C到岸边的距离CA的长为_______m.(结果保留根号)
图28-2-29
[解析] 如图所示,延长 DG 交 CA 的延长线于点 H,则 DH⊥CH,过点 B 作 BE
⊥AH,垂足为 E.
在 Rt△ABE 中,iAB=4∶3,即 = .
设 BE=4x,AE=3x, 由 勾 股 定 理 得 AB=5x. 由 AB=8, 得 x=
第二十八章 锐角三角
函数
28.2.2 应用举例
第二十八章 锐角三角形
第2课时 坡角、方向角与
解直角三角形
A知识要点分类练
B规律方法综合练
C拓广探究创新练
A知识要点分类练
知识点 1
方向角问题
1．如图28－2－22,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯
塔2海里的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,那么
=
x 海里,DC=
=
x
海里.
∠
∠
因为 BC-DC= x- x=12,所以 x=6 .
因为 6 = > =8,
所以如果渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险.
知识点 2 坡角问题
4.[2018·益阳] 如图 28-2-25,小刚从山脚 A 出发,沿坡角为 α 的
,∴CD=AC·cos∠ACD=60× =30 (n
mile),AD=AC·sin∠ACD=60× =30(n mile).
在 Rt△DCB 中,∵∠BCD=∠B=45°,
∴CD=BD=30 n mile,
∴AB=AD+BD=(30+30 )n mile.
3.如图28-2-24,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼