重庆市第一中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案

2017年重庆一中高2018级高三上期半期考试
数学试题卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，集合{2A x x =≤-或}3x ≥，{}1B x x =≥，则()U
A B =(
）
A ．{}13x x ≤<
B ．{}23x x ≤<
C ．{}3x x >
D ．∅
2．各项均为正数的等比数列{}n
a 中，24
4a a
=,则153a a a +的值为（ ）
A ．5
B ．3
C ．6
D ．8 3．函数()3x
f x e
x =+-在区间()0,1内的零点个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．已知1cos 63
πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
,则cos 23πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
的值为（ )
A ．2
29
- B ．79
C ．79
- D ．2
29
5．已知1
2
75a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13
57b ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，2
5log 7
c =，则a b c 、、的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 6．函数()1ln f x x x
=+的图象大致是( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知平面向量,a b 夹角为3
π，且1a =，1
2
b =,则2a b +与b 的夹角是（ ）
A ．6
π B ．56
π C ．4
π D ．34
π
8．《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题:“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等。

”（“钱”是古代的一种重量单位），则其中第二人分得的钱数是( ） A ．56
B ．1
C ．76
D ．43
9．定义在R 上的函数()y f x =，恒有()()2f x f x =-成立，且()()10f x x '⋅->,对任意的1
2x x <，则()()12f x f x <成立的充要条件是（
）
A ．211x
x >≥
B ．122x x +>
C ．12
2x x +≤ D ．
211
2x x >≥
10．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3cos 2cos a C c A =，
1
tan 3
A =,则角
B 的度数为( ）
A ．120°
B ．135°
C ．60°
D ．45° 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当[]1,3x ∈-时，
()()[]
(]1,1,11,3t x x f x x ⎧-∈-=∈,则当8,27t ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦时，方程()720f x x -=的不等实根的个数是（ )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．已知I 为ABC ∆的内心,7cos 8
A =，若AI xA
B yA
C =+，则x y +的最大值为
（ )
A ．34
B ．12
C ．56
D ．45
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上） 13
．已知函数())
ln 31f x x =+，则()()11f f +-=
．
14．设函数()cos f x A x ω=（0A >,0ω>）的部分图象如图所示,其中PQR ∆为等腰直角三角形,2
PQR π∠=，1PR =，则()f x 的解析式为 ．
15．若曲线()2
ln f x x ax =+的切线斜率恒为非负数，则实数a 的最小值
是 ． 16．函数()sin 3f x x x ωω=（1
3
ω>
，x R ∈），若()f x 的任意一个对称中心的横坐标都不属于区间(),2ππ，则ω的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．已知向量cos ,12
x m ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
,23sin ,cos 22x x n ⎛
⎫
=
⎪⎭，设函数()1f x m n =⋅+.
（1）求函数()f x 的单调递增区间;
（2)若x 的方程()f x a =在区间[]0,π上有实数解，求实数a 的取值范围. 18．已知公比为q 的等比数列{}n
a 的前6项和6
21S
=，且1223
4,,2
a a a 成等差数列. （1)求n
a ；
（2）设{}n
b 是首项为2，公差为1
a -的等差数列，记{}n
b 前n 项和为n
T ，
求n
T 的最大值。

19．已知ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，满足3tan bc
A =。

（1）若0,2A π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，求角A ；
（2）若cos 3sin a c b C b C +=,试判断ABC ∆的形状。

20．已知点D 是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>上一点,12F F 、分别为C 的左、右焦
点，12
F F
=1260F DF ∠=︒，12F DF ∆
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，点()4,3P ,记直线,PA PB 的斜率分别为1
2
,k k ，当1
2
,k k 最大时，求直线l 的方程.
21．已知函数()()2x
f x e
ax a R =-∈。

（1）若()()1
f x
g x x =+有三个极值点1
2
3
,,x x x ，求a 的取值范围；
（2）若()3
1f x ax
≥-+对任意[]0,1x ∈都恒成立的a 的最大值为μ，证明：
26
55
μ<<
. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,
已知曲线:sin x C y α
α⎧=⎪⎨
=⎪⎩（α为参数），直线:60l x y --=.
(1）在曲线C 上求一点P ,使点P 到直线l 的距离最小，并求出此最小值; (2)过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1
l 交C 于,A B 两点，求点M 到,A B 两
点的距离之积.
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-。

（1）若不等式()12102
f x m m ⎛⎫
+≥+> ⎪⎝
⎭
的解集为(][),22,-∞-+∞,求实数m 的值； (2）若不等式()2
232
y
y a
f x x ≤+
++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的
最小值.
2017年重庆一中高2018级高三上期半期考试理科数学答案 一、选择题
1-5：ACBCC 6-10:BACBB 11、12:CD 二、填空题
13．2 14．()1cos 2
f x x π= 15．0
16．12,33⎛⎤
⎥⎝⎦
三、解答题
17．解:（1）()
2cos cos 1222x x x f x =
-+=111cos sin 22262x x x π⎛
⎫-+=-+ ⎪⎝
⎭
令222
6
2
k x k πππππ-≤-≤+，2223
3
k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈)，
所以所求递增区间为22,23
3k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
（k Z ∈).
(2）()1sin 62
f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭在[]0,x π∈的值域为30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
所以实数a 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

18．解:（1）1
22
34,,2
a a a 成等差数列,
∴1
2
243a a
a +=，即122a a =，∴2q =，
∴()616
122112
a S
-=
=-,解得113a =,所以1
23
n n a -=。

（2）由（1)可知{}n
b 是首项为2，公差为13
-的等差数列,∴17
33
n
b
n =-+，
于是2113
66
n
T
n n =-+，则n T 的最大值为7,此时6n =或7.
19．解：（1)由余弦定理知：2
222cos b c a bc A +-=，
∴tan sin A A =
⇒=
∵0,2A π⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭
,∴3
A π=. （2）
cos sin a c b C C +=,
由正弦定理有：
sin sin sin cos sin A C B C B C +=，
而
A B C =+，∴sin cos cos sin B C B C +=sin cos sin B C B C ，
即
cos sin sin sin B C C B C +，而sin 0C ≠，
∴
cos 1B B -=,∴1sin 62B π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭,∵()0,B π∈，∴3B π=，
又由（1)知sin A =，∵()0,A π∈及3
B π=，∴3
A π=,从而3
A B C π===，
因此ABC ∆为正三角形。

20．解：（1）易知
c =
12F DF S ∆=
，
12121sin 602F DF S DF DF ∆=
︒=12DF =
128
3
DF DF ⇒=,由余弦定理及椭圆定义有:
2
2
121282cos 60DF DF DF DF =+-︒=()
()2
2
12
12328DF DF DF DF a +-=-
2
42a a ⇒=⇒=
，又c =
∴b =22
:142
x y C +
=. (2）①当直线l 的斜率为0时，则1
2
333
42424
k k
⋅=
⨯=-+; ②当直线l 的斜率不为0时，设()1
1
,A x y ，()2
2
,B x y ,直线l 的方程为1x my =+，
将1x my =+代入22
142
x y +=，整理得()222230m y my ++-=,
则12222m y
y m +=-
+,12
232
y y m ⋅=-+，又111x my =+,221x my =+， 所以，()()()()1212
1
2
121233334433y y y y k k
x x my my ----⋅=
⋅=
----()()121221212
9393y y y y m y y m y y -++=-++ 222
22
239322239322m m m m m m m m ⎛
⎫--- ⎪++⎝⎭=⎛⎫--- ⎪++⎝⎭222
325341464812m m m m m +++==+++， 令41t m =+，则12
2324225
t
k k
t t ⋅=
+-+, 当0t =即14m =-时,1234
k k ⋅=；
当0t ≠时，1
2
2324225t k k
t t ⋅=
+=-+32
2542
t t +
⎛⎫
+- ⎪⎝
⎭，
∴127
3
12
4k k ≤⋅<
或12314
k k <⋅≤。

当且仅当5t =,即1m =时,1
2
k k ⋅取得最大值。

由①②得直线l 的方程为10x y --=。

21．解：（1)()2
1
x e ax g x x -=
+，定义域为()(),11,-∞--+∞，
()
()()()
()
22
211x
x e ax x e ax g x x -+--'=
+()
()
2
21x x e ax a x --=
+，∵()00g '=，
只需()20x
h x e
ax a =--=应有两个既不等于0也不等于1-的根，()x
h x e
a '=-，
①当0a ≤时，()0h x '>，∴()h x 单增，()0h x =最多只有一个实根，不满足; ②当0a >时，()0x
h x e
a '=-=⇒0ln x e a x a =⇒=，
当()0
,x x ∈-∞时，()0h x '<,()h x 单减;当()0
,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单增; ∴()0
h x 是()h x 的极小值，
而x →+∞时，()2x
h x e
ax a =--→+∞，x →-∞时，()2x h x e ax a =--→+∞，
要()0h x =有两根，只需()0
0h x <,由()0
020x h x e
ax a =--<ln ln 20a e a a a ⇒--<
ln 0ln 10a a a a ⇒--<⇒--<1
ln 1a a e ⇒>-⇒>
,又由()1001202
h a a ≠⇒-≠⇒≠， 反之，若1a e
>且12
a ≠时，则()110h a e
-=-<，()0h x =的两根中,一个大于1-，
另一个小于1-.
在定义域中，连同0x =，()0g x '=共有三个相异实根，且在三根的左右，
()g x '正负异号,它们是()g x 的三个极值点。

综上，a 的取值范围为111,,22e ⎛⎫
⎛⎫
+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
.
（2）()3
21x f x ax
e ax ≥-+⇔-()32311x ax e a x x ≥-+⇔-≥-对[]0,1x ∀∈恒成立，
①当0x =或1时，a R ∈均满足；
②()2
3
1x
e a x x -≥-对()0,1x ∀∈恒成立231
x e a x x
-⇔≤-对()0,1x ∀∈恒成立，
记()23
1
x e u x x x
-=-，()0,1x ∈，max
23min
1x e a
x x μ⎛⎫
-== ⎪-⎝⎭，()0,1x ∈，
欲证23min 26
1265555
x e x x μ⎛⎫-<<⇐<< ⎪-⎝⎭,
而()
23min
min 1x e u x x
x ⎛⎫-
=< ⎪-⎝⎭)181
248
u ⎛⎫
==
⎪⎝⎭-，
只需证明
)
2613811520<
⇐<331089 2.722520400
e ⇐<⇐<=，显然成立. 下证：2323min
11
55x x e e x x x x ⎛⎫-->⇐> ⎪--⎝⎭,()0,1x ∈,23551x e x x >-+，()0,1x ∈，
先证：2311126
x e x x x >+++，()0,1x ∈,
3211
162
x e x x x ⇐--->，()0,1x ∈。

令()321162x v x e x x x =---,()0,1x ∈，
()21
12
x v x e x x '=---，()1x v x e x ''=--，()1x v x e '''=-,∴()v x ''在()0,1上单增，
∴()()00v x v ''''>=，∴()v x '在()0,1上单增，∴()()00v x v ''>=,∴()v x 在()0,1上单增，
∴()()01v x v >=，即证. 要证：23551x
e
x x >-+，()0,1x ∈.
只需证2323
11155126x x x x x +++≥-+，()323190,1062
x x x x ∈⇐
-+≥ 32312760x x x ⇐-+≥()2312760x x x ⇐-+≥2312760x x ⇐-+≥，()0,1x ∈
而2
27
4316150∆=-⨯⨯=-<，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题
成立。

22．解：（1)
设点),sin P αα
,则点P 到直线l 的距离为
d
=
=
，
∴当sin 13
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
时，31,2
2P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，此时min
d
=。

（2)曲线C 化为普通方程为:2
213
x y +=，即2233x y +=，
直线1l
的参数方程为21,2
.2
x t y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩(t 为参数），代入2233x y +=化简得:
2220t -=，得121t t =-,∴121MA MB t t ⋅==.
23．解：（1）由条件得221x m ≤+得112
2
m x m --≤≤+,所以32
m =.
(2)原不等式等价于21232
2y
y
a
x x --+≤+
，而
()()212321234x x x x --+≤--+=，所以242y y
a
+
≥, 则()max
2424y
y
a ⎡⎤≥-=⎣⎦
，
当且仅当1y =时取得。