高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词学案 新人教A版选修21

1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点)
[自主预习·探新知]
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．
思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示](1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax20＋2x0＋1＝0”
(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．
3．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x0∈M，﹁p(x0)；
特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．( )
(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )
(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∈/R，x2－3x＋3≤0.()
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2
＋mx ＋1＝0有实数根”，则“﹁
p ”形式的命题是( )
A ．存在实数m ，使方程x 2
＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C
3．下列四个命题中的真命题为( )
【导学号：46342031】
A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3
B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0
C ．∀x ∈R ，x 2
－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0
D [当x ∈R 时，x 2
＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋7
4
>0，故选D.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数； (2)存在一个x 0∈R ，使
1
x 0－1
＝0； (3)能被5整除的整数末位数是0； (4)有一个角α，使sin α>1
[解] (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使
1
x 0－1
＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题． (4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．
1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2
≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x
>2
B [A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2
＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数
x ，都有1
x
<0，所以D 是假命题．]
(2)下列命题中，真命题是( )
【导学号：46342032】
A ．∃x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2
B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2
>2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2
＋x ＝－1
D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，tan x >sin x B [(1)对于选项A ，
sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题不成立；
对于选项B ，x 2
－2x －1＝(x －1)2
－2，当x >3时，(x －1)2
－2>0，∴此命题成立；
对于选项C ，x 2
＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋34
>0，∴x 2
＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命
题不成立；
对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．故选B.]
A ．∀x ∈ /R ，x 2
≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x C ．∃x ∈ /R ，x 2≠x D ．∃x ∈R ，x 2＝x
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假： ①p ：∀x ∈R ，x 2
－x ＋14≥0；
②p ：所有的正方形都是菱形； ③p ：至少有一个实数x 0，使x 3
0＋1＝0.
[思路探究] 先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定． (1)[解析] 原命题的否定为∃x ∈R ，x 2
＝x ，故选D. [答案] D
(2)[解] ①﹁p ：∃x 0∈R ，x 2
0－x 0＋14<0，假命题．
因为∀x ∈R ，x 2
－x ＋14＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －122
≥0恒成立．
②﹁
p ：至少存在一个正方形不是菱形，假命题． ③﹁
p ：∀x ∈R ，x 3
＋1≠0，假命题． 因为x ＝－1时，x 3
＋1＝0.
2．(1)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∈ /(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∈ /(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1
A [特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.]
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假．
①p ：不论m 取何实数，方程x 2
＋x －m ＝0必有实数根； ②q: 存在一个实数x 0，使得x 20＋x 0＋1≤0； ③r ：等圆的面积相等，周长相等；
④s ：对任意角α，都有sin 2
α＋cos 2
α＝1.
[解] ①这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2
＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是﹁
p ：“存在实数m ，使得x 2
＋x －m ＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以﹁
p 是真命题．
②这一命题的否定形式是﹁
q ：“对所有的实数x ，都有x 2
＋x ＋1＞0”，利用配方法可以证得﹁
q 是真命题．
③这一命题的否定形式是﹁
r ：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知﹁
r 是假命题．
④这一命题的否定形式是﹁
s ：“存在α∈R ，sin 2
α＋cos 2
α≠1”，由于命题s 是真命题，所以﹁
s 是假命题.
[探究问题]
1．若含参数的命题p 是假命题，如何求参数的取值范围？ 提示：先求﹁
p ，再求参数的取值范围．
2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？ 提示：全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．
(1)若命题p “∃x ∈R,2x 2
－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是
________．
(2)已知命题p ：∃x ∈R,9x －3x
－a ＝0，若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围.
【导学号：46342033】
[思路探究] (1)先求﹁
p ，再求参数的取值范围． (2)令3x
＝t ，看作一元二次方程有解问题．
[解析] (1)﹁
p ：∀x ∈R,2x 2
－3ax ＋9≥0为真命题． 则Δ＝9a 2
－72≤0，解得－22≤a ≤2 2 [答案] [－22，22]
(2)设3x
＝t ，由于x ∈R ，则t ∈(0，＋∞)，
则9x
－3x
－a ＝0⇔a ＝(3x )2
－3x
⇔a ＝t 2
－t ，t ∈(0，＋∞)，
设f (t )＝t 2
－t ，t ∈(0，＋∞)，
则f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122
－1
4
，
当t ＝12时，f (t )min ＝－14
，
则函数f (t )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，
所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－14，＋∞.
母题探究：1.(变条件)若将本例题(2)条件“∃x ∈R ”，改为“∃x ∈[0,1]”，其他不变，试求实数a 的取值范围．
[解] 设3x
＝t ，x ∈[0,1]，∴t ∈[1,3]．
a ＝t 2－t ，
∵t 2
－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122
－14
，∴a ＝t 2
－t 在t ∈[1,3]上单调递增．
∴t 2
－t ∈[]0，6.
即a 的取值范围是[]0，6.
2．(变条件)将本例题(2)换为“∀x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m 是真命题”，试求m 的最小
值．
[解] 由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实
数m 的最小值为1.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是( )
A ．存在x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2
B ．偶函数图象关于y 轴对称
C ．∃m ∈R ，x 2
＋mx ＋1＝0无解 D ．∀x ∈N ，x 3
＞x 2
D [A ，C 中命题是特称命题，故排除．B 为省略量词的全称命题，且为真命题．D 为全称命题．当x ＝0或1时，x 3
＝x 2
，故D 中命题是假命题．]
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( ) A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数
D [全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]
3．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为﹁
p ：________.
【导学号：46342034】
特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2
＋2x ＋5≥0 [命题p ：∃x 0∈R ，x 2
0＋2x 0＋5＜0是特称命题．因为x 2
＋2x ＋5＝(x ＋1)2
＋4＞0恒成立，所以命题p 为假命题．
命题p 的否定为：∀x ∈R ，x 2
＋2x ＋5≥0.] 4．命题“∀x ∈R ，12x ＋4
>0”的否定是________．
∃x 0∈R ，12x 0＋4≤0 [“∀x ∈R ，12x ＋4>0”的否定是“∃x 0∈R ，12x 0＋4<0或1
2x 0＋4＝
0”即∃x 0∈R ，1
2x 0＋4
≤0]
5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假； (1)对某些实数x ，有2x ＋1>0； (2)∀x ∈{3,5,7},3x ＋1是偶函数； (3)∃x 0∈Q ，x 2
0＝3
[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，真命题． (2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．
把3,5,7分别代入3x ＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题． (3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是特称命题．
由于使x 2
＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．。