2019年中考数学专题复习 第六单元 圆 课时训练(二十七)圆的有关性质练习

课时训练(二十七)圆的有关性质
(限时:30分钟)
|夯实基础|
1.下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;③在同圆中,相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若☉O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与☉O的位置关系是()
A.点A在☉O上
B.点A在☉O内
C.点A在☉O外
D.点A与圆心O重合
3.[2017·永州]小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图K27-1所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,给出三角形ABC,则这块玻璃镜的圆心是()
图K27-1
A.AB,AC边上的中线的交点
B.AB,AC边上的垂直平分线的交点
2
2
C .AB ,AC 边上的高所在直线的交点
D .∠BAC 与∠ABC 的角平分线的交点
4.[2018·聊城] 如图K27-2,☉O 中,弦BC 与半径OA 相交于点D ,连接AB ,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C 的度数是
(
)
图K27-2
A .25°
B .27.5°
C .30°
D .35°
5.[2018·邵阳] 如图K27-3所示,四边形ABCD 为☉O 的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD 的大小是 (
)
图K27-3
A .80°
B .120°
C .100°
D .90°
6.[2018·枣庄] 如图K27-4,AB 是☉O 的直径,弦CD 交AB 于点P ,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD 的长为 (
)
图K27-4
A
. B .2
C .2
D .8
7.[2017·大连]如图K27-5,在☉O中,弦AB=8 cm,OC⊥AB,垂足为C,OC=3 cm,则☉O的半径为cm.
图K27-5
8.如图K27-6,已知AB是☉O的弦,半径OC垂直于AB,点D是☉O上一点,且点D与点C位于弦AB两侧,连接AD,CD,OB,若∠BOC=68°,则∠ADC= 度.
图K27-6
9.[2017·北京]如图K27-7,AB为☉O的直径,C,D为☉O上的点,=,若∠CAB=40°,则∠CAD= .
图K27-7
10.[2017·西宁]如图K27-8,四边形ABCD内接于☉O,点E在BC的延长线上,若∠BOD=120°,则∠DCE= .
图K27-8
11.[2018·黄冈]如图K27-9,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .
3
4
4
图K27-9
12.[2018·绥化] 如图K27-10,一下水管道横截面为圆形,直径为100 cm,下雨前水面宽为60 cm,一场大雨过后,水面宽为80 cm,则水位上升了 cm .
图K27-10
13.如图K27-11,已知△ABC ,以AB 为直径的☉O 分别交AC 于D ,BC 于E ,连接ED ,若ED=EC.
图K27-11
(1)求证:AB=AC ; (2)若AB=4,BC=2,求CD 的长.
14.[2017·苏州改编]如图K27-12,已知△ABC内接于☉O,AB是直径,点D在☉O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE于点F.
图K27-12
(1)求证:△DOE∽△ABC;
(2)求证:∠ODF=∠BDE.
|拓展提升|
15.[2018·湘潭]如图K27-13,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径CO⊥AO,点M 是上的动点,且不与点A,C,B重合,直线AM交直线OC于点D,连接OM与CM.
(1)若半圆的半径为10;
①当∠AOM=60°时,求DM的长;
5
6
6
②当AM=12时,求DM 的长.
(2)探究:在点M 运动的过程中,∠DMC 的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
图K27-13
参考答案
1.C
2.C[解析] ∵☉O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,即点A到圆心O的距离大于圆的半径,∴点A在☉O外.
3.B[解析] 本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心,三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点,故选B.
4.D[解析] ∵∠A=60°,∠ADC=85°,
∴∠B=∠ADC-∠A=85°-60°=25°,
∴∠O=2∠B=2×25°=50°,
∴∠C=∠ADC-∠O=85°-50°=35°.
5.B[解析] 根据“圆内接四边形的对角互补”可得∠BCD+∠A=180°,因为∠BCD=120°,所以∠A=60°.
又根据“在同圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍”,所以∠BOD=2∠A=120°.故选B.
6.C[解析] 过点O作OE⊥CD于E,连接OC.
∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=OB=4,∴OP=2,
∵∠APC=30°,∴OE=OP=1.
在Rt△OCE中,CE==.
∵OE⊥CD,O是圆心,
∴CD=2CE=2.
故选C.
7.5[解析] 由于在☉O中,弦AB=8 cm,OC⊥AB,所以BC=AB=4 cm.连接OB,则OB===5(cm),故答案为5.
7
8
8
8.34 [解析] 如图,连接OA.
∵OC ⊥AB ,∴=,
∴∠AOC=∠COB=68°,∴∠ADC=∠AOC=34°.
9.25° [解析] 连接BC ,BD ,∵AB 是☉O 的直径,C ,D 为☉O 上的点,∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=40°,∴∠CBA=50°.∵=,
∴∠CBD=∠DBA=∠CBA=25°, ∴∠CAD=∠CBD=25°.
10.60° [解析] ∵∠BOD=120°,∴∠BAD=60°,
又∠BAD+∠BCD=180°,∠DCE+∠BCD=180°,∴∠DCE=∠BAD=60°. 11.2
[解析] 连接BD ,因为∠CAB=60°,弦AD 平分∠CAB ,所以∠DAB=30°,因为AB 是☉O 的直径,所以∠C=∠D=90°,
所以AB==4
,因为∠C=90°,∠CAB=60°,所以∠ABC=30°,所以AC=AB ·sin30°=2
.
12.10或70 [解析] 作OD ⊥AB 于C ,OD 交☉O 于点D ,连接OB
,
9
由垂径定理得:BC=AB=30 cm, 在Rt △OBC 中,OC=
=40(cm),
当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm 时,
圆心到水面距离==30(cm),
水面上升的高度为:40-30=10(cm);
当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm 时,水面上升的高度为:40+30=70(cm), 综上可得,水面上升的高度为10 cm 或70 cm . 故答案为10或70.
13.解:(1)证明:∵ED=EC ,∴∠EDC=∠C.
∵∠EDC=∠B ,∴∠B=∠C ,∴AB=AC.
(2)连接AE
,
∵AB 为直径,∴AE ⊥BC ,
由(1)知AB=AC ,
∴BE=CE=BC=.
∵四边形ABED 为☉O 的内接四边形, ∴∠CED=∠BAC.
又∵∠C=∠C ,
∴△CED ∽△CAB ,∴=,
∴CE ·CB=CD ·CA ,∵AC=AB=4,
10
10
∴×2=4CD ,∴CD=.
14.证明:(1)∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°.
∵DE ⊥AB ,∴∠DEO=90°,∴∠DEO=∠ACB. ∵OD ∥BC ,∴∠DOE=∠ABC , ∴△DOE ∽△ABC.
(2)∵△DOE ∽△ABC ,
∴∠ODE=∠A.
∵∠A 和∠BDC 都是所对的圆周角, ∴∠A=∠BDC ,∴∠ODE=∠BDC. ∴∠ODF=∠BDE.
15.[解析] (1)①当∠AOM=60°时,∠D=30°,△AMO 为等边三角形,然后根据含有30°角的直角三角形的性质得到
AD=2AO ,再结合△AMO 为等边三角形求出DM 的长;②连接BM ,则可得∠AMB=90°,根据两个角分别对应相等的三角形是相
似三角形得到△AOD ∽△AMB ,从而得到
=,求出AD 的长,进而求出DM 的长;(2)在图①中,由于AB 是直径,所以∠
AMB=90°,所以∠DMC+∠CMB=90°,然后根据所对的圆心角与圆周角的关系得到∠CMB=∠COB ,从而得到∠DMC 的度数
为45°,是一个定值;在图②中,∠DMC=∠AOC=45°,从而得到∠DMC 的度数仍然是一个定值. 解:(1)①当∠AOM=60°时,
∵OM=OA ,
∴△AMO 是等边三角形, ∴∠A=∠MOA=60°,AM=AO=10. ∵CO ⊥AO , ∴∠D=30°, ∴AD=2AO=20,
11
∴DM=AD-AM=10.
②连接MB ,∵AB 是直径,
∴∠AMB=90°,
∵CO ⊥AO ,∴∠AOD=90°,∵∠A=∠A ,
∴△ADO ∽△ABM ,∴
=,∵AO=10,AM=12,
∴AD=,∴DM=AD-AM=.
(2)∠DMC 的大小是定值.当点M 位于之间时,连接BM ,如图
:
∵AB 是直径,∴∠AMB=90°,
∴∠DMC+∠CMB=90°.
∵∠CMB=∠COB=45°,
∴∠DMC=45°.
当点M 位于之间时,∠DMC=∠AOC=45°.
综上所述,∠DMC=45°,是定值.
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