华东师大版七年级数学下册7.3 三元一次方程组的解法

2
2+
z+1=10,所以z=7.
x 1
•
所以三元一次方程组的解是

y

2
z 7
4、已知关于x、y、z的三元一次方程ax+by+5z=26有
x 1 x 4
两个解

y

2
和

y

1
，求a,b的值，再任意写
z 3 z 2
出它的三个解.
a 2b 15 26 • 解：由原方程可知 4a b 10 26
• 2、解三元一次方程组的基本思路： 通过“代入 ”或加减“ ”，进行消
元，把它转化为二元一次方程组或 一元一次方程.
• 3、下列方程组中是三元一次方程组的是（ A ）
2x 2 y z 5 • A、x y z 3
x y z 1
x y xy 1
解：(1)将①代入②，得 5x＋3(2x－7)＋2z＝2，整理得 11x＋2z＝23 ④，
联立③④组成方程组3x－4z＝4 ③ ， 11x＋2z＝23 ④
③＋④×2，得 25x＝50，x＝2， 把 x＝2 分别代入①③可知 y＝－3，z＝12.
x＝2
所以方程组的解为 y＝－3. z＝12
（2）3x 2 y z 14 ①

y

z

x

10
②
z 2x 3y 15 ③
• 解：①-②，得 2x+y=4 ③
•
①-③, 得 x-y=-1 ④
2x y 4
• 由③和④组成方程组，得 x y 1
x 1
• •
解把这x=个1,y方=程2代组入，②得，得y
•
2+3+2z=7
• 所以
z=1
• 因此，原方程组的解为
x 2

y

3
z 1
（2）
x

y
: :
y z

3 5
: :
4 6
① ②
x y z 22
③
解：由方程①得 4x-3y=0 ④
•
由方程②得 6y-5z=0 ⑤
•
③×4-④得 7y-4z=88 ⑥
•
由⑤和⑥组成方程组 6 y 5z 0
(2)①×2－②，得 x＋8z＝11. ④ ①×3＋③，得 10x＋7z＝37. ⑤ ④与⑤联立，得x＋8z＝11，④
10x＋7z＝37.⑤
解这个方程组得xz＝＝13. 把 x＝3，z＝1 代入①，得 y＝2.
x＝3 所以原方程组的解为y＝2.
z＝1
例 3：某市在国庆节前夕举办了庆祝建国六十五周年足球联 赛活动，这次足球联赛共赛 11 轮，胜一场记 3 分，平一场记 1 分， 负一场记 0 分．某校队所负场数是胜的场数的12，结果共得 20 分．问： 该校队胜、平、负各多少场？
三元一次方程组的解法
●教学目标 1．理解三元一次方程组的定义． 2．掌握三元一次方程组的解法． 3．会解简单的三元一次方程组应用题．
●教学重点和难点 重点：三元一次方程组的解法和列三元一次方程组解应 用题． 难点：列三元一次方程组解应用题．
一、课前预习 阅读教材第37～38页内容，了解本节课的主要内容．
•
解得
a 3 b 4
• 则原方程为3x+4y+5z=26,任意三组解为
x 3

y

0.5
z 3
x 1

y

1
z 5
x 1

y

2
z 3
• 附加题：
• 1、汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡 路每小时行驶28千米，下坡每小时行驶35 千米，现在行驶142千米的路程（有上坡、 平坡、下坡），去时用4小时30分钟，回来 时用4小时42分钟，问平路有多少千米？去 时上坡、下坡共有多少千米？
2x 3y z 12
(2)
x : y : z 1: 2:7 2x y 3z 21
• x : y : z 1: 2:7 ① • (2) 2x y 3z 21 ②
• • 解：设x=k,则y=2k,z=7k. • 把它们代入②，得 2k-2k+21k=21 • 解得 k=1. • 所以 x=1, y=2, z=7.
B、 3x y 4
x 3y z 5
•
C、 xx

2y 15 x(y z)

6
y z 3
D、
x

1 x

z
1
1

x

y

3
1 z

x

5
• 4、下列四组数中，适合三元一次方程组2xy+z=6的是（ C ）
• A、x=1,y=-1,z=-3 B、x=1,y=1,z=4
• C、x=0,y=0,z=6
D、x=-1,y=1,z=3
5、解下列方程组：
3x 2 y z 13
（1）

x

y


2z

7
3y 2x z 12
x : y 3: 4
（2）

y
:
z

5
:
6
x y z 22
• （1）3x 2 y z 13
x 1
•
因此，原方程组的解为

y

2
z 7
• 例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时， y=0,；当x=-1时，y=0；当x=0时，y=5.求 a,b,c的值.
• 解：依题意，得 •
a b c 0 a b c 0 c 5
a 5 • 解得 b 0
解析：该题中的已知量有比赛总场数、总得分数、胜的场 数与负的场数之间的关系，等量关系有：①胜场数＋负场数 ＋平场数＝11；②胜得分＋平得分＋负得分＝总得分；③胜 场数＝负场数×2.将以上相等关系转化成方程(组)可得解．
解：设该校队胜 x 场、平 y 场、负 z 场，根据题意得
x＋y＋z＝11
x＝6
• 解：设去时上坡、平路、下坡分别有x千米、y千米、 z千米，根据题意列方程组得
x y z 142



x

y

z
41
28 30 35 2
x 35

y 30

z 28

47 10
x 42
•
解得

y

30
z 70
• 答：平路有30千米，去时上坡有42千米，下坡有 70千米.
•
②+③×2,得 7x +3y=15 ⑤
• • 由④和⑤组成方程组得
•
解这个方程组得
x 3

y

2
3x 7 y 5 7x 3y 15
• 把x=3，y=-2代入②，得3-（-2）+2z=7
•
所以z=1
x 3
•
因此，三元一次方程组的解是

y

2
z 1
c 5
• 例3 一次足球比赛共赛11轮，胜一场得3分， 平一场得1分，负一场得0分.某队所负场数 是所胜场数的 ，结果共得20分，该队共平 几场？
• 解：设该队胜x场，平y场，负z场，
• 依题意得
x y z 1


3x y 20
1 2
x

z
x 6
•
四、点点对接 例1：下列方程组中是三元一次方程组的是( )
x2－y＝1 A.y＋z＝0
xz＝2
1x＋y＝1
B. 1y＋z＝2 1z＋x＝6
a＋b＋c＋d＝1 C.a－c＝2
b－d＝3
m＋n＝18 D.n＋t＝12
t＋m＝0
解析：A 选项中 x2－y＝1 与 xz＝2 中未知数项的次数为 2 次， 故 A 选项不是；B 选项中1x，1y，1z不是整式，故 B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故 C 选项不是；D 项符合三元一次方程 组的定义．
• 解：（1）设甲、乙、丙队每天完成工作量分别是
6(x y) 1
•
x,y,z，依题意有

x

y

1 6
•
即

y


z
1 10
10( y z) 1
5( z

x)

2 3
z

x

2 15
z

1 30
7 y 4z 88
• 解这个方程组，得
y 40 z 48
• 把y=40,z=48代入③，得
•
x+40-48=22 所以 x=30 x 30
• 因此，这个方程组的解为

y

40
z 48
课堂导学： 例1 解方程组：
3x 2 y z 13 (1) x y 2z 7
• 2、某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付 甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成， 厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做 5天完成全部工程的 ，厂家需付甲、丙两队共 5500元.
• （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多 少天？
• （2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问 可由哪队单独完成此项工程花费最少？请说明理 由.
3x 2 y z 4
3x 2 y z 14
（2）
y

z

x

10
z 2x 3y 15
（2）
2x 3y z 1 ① x y 2z 7 ② 3x 2 y z 4 ③
• 解：①×2-②，得 3x+7y=-5 ④
探究2：三元一次方程组的解法 总结归纳：解三元一次方程组的基本思想仍是消元．一 般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三 元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数， 最后再求出另一个未知数．
探究3：解三元一次方程组的一般步骤 总结归纳： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方 程分别组成两组，消去组中的同一个未知数，得到关于另外 两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比 较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
①
•
x y 2z 7
②
•
3y 2x z 12
③
• 解：①×2-②，得 5x+3y=19 ④
•
②+③×2, 得 5x+7y=31 ⑤
•
由④和⑤组成方程组
5x 5x
3y 7y
19 31
•
解这个方程组，得
x

y
2 3
• 把 x=2,y=3代入②，得
二、情景导入 问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币， 共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．你知 道1元、2元、5元纸币各多少张吗？
三、新知探究 探究1：三元一次方程及三元一次方程组的概念 总结归纳： ①三元一次方程：含有三个未知数，并且含有的未知数的 项的次数都是1次的整式方程． ②三元一次方程组：一般地，由三个一次方程组成，并且 含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组．
3x＋y＝20 .解这个三元一次方程组得y＝2.
x＝2z
z＝3
答：该校队胜 6 场、平 2 场、负 3 场．
五、课堂小结 本节课学习了三元一次方程组的定义及其解法 和简单的应用．
• 课前导学：
• 1、含有三个不同的未知数，每个方程中含 未知数的项的次数都是 1 ，并且一共有 3 个方程，这样的方程组叫做三元一次方程 组.
解：D
例 2：解方程组：
y＝2x－7 ① (1)5x＋3y＋2z＝2 ②
3x－4z＝4 ③
2x＋y＋3z＝11 ① (2)3x＋2y－2z＝11 ②
4x－3y－2z＝4 ③
解析：在方程组(1)中，方程①是用未知数x表示y的式子， 将①代入②可得到二元一次方程组．在方程组(2)中，方程 组中含y的项的系数依次是1、2、－3.而2＝1×2，－3＝－ 1×3，由此可先消去y.
x 1
D、
y

2
z 3
2、若 x y z ， 234
2x y 4z
17
则
的值是
9
.
3y
•
解：设
x 2

y 3

z 4=k，则x=2k,y=3k,z=4k,
•
2x
将它们代入代数式：

y

4z
=
4k
3k
16k
•
3y
9k
17
=
9
3、解下列方程组：
2x 3y z 1 （1） x y 2z 7
解得

y

2
z 3
• 答：该队共平2场.
学以致用： 1、解方程组
x z 4 z 2 y 1
x y z 1
x 1
A、

y

3
z 5
x 1
B、

y

1
z 5
的解是（ A ）
x 2
C、

y
3
z 6