八年级数学上册第13章轴对称13.3《等腰三角形》13.3.1等腰三角形1

如图，标杆AB高5m ，为了将它固定，需要由它的中点C向 地面上与点B距离(jùlí)相等的D，E两点拉两条绳子，使得点D， B，E在一条直线上，量得DE＝4m，绳子CD和CE要多长？
A
解：选取(xuǎnqǔ)比例尺为1：100
（即以1cm代表1m）
C
⑴作线段DE＝4cm， ⑵作线段DE的垂直平分线 MN，
10
第十页，共二十五页。
、巩固 新知 (gǒnggù)
1、已知：如图， ∠A= ∠DBC =360， ∠C=720 。计算∠1和∠2，并说 明图中有哪些等腰三角 形？
A
D 1 2
B
C
2021/12/13
11
第十一页，共二十五页。
解：
∠1=720 ∠2=360
等腰三角形有： △ ABC
△ ABD △ BCD
∴ ∠ 1= ∠ 3 ∴ BG=GC（等角对等边）
2021/12/13
13
第十三页，共二十五页。
• 例2、已知等腰三角形的底边等于a，底边上的高
等于b，你能用尺规作图的方法(fāngfǎ)作出这个 等腰三角形吗？
a
b
M A
作法：（1）作线段(xiànduàn)BC，使BC=a；
B
D
C
（2）作BC的垂直平分线MN，交BC于D；
有三种
1、作顶角(dǐnɡ jiǎo)平分线
2、底边上的高
3、底边上的中线
2021/12/13
3
第三页，共二十五页。
二、合作探究
引入：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角
相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有 什么关系？
1、大胆猜想
如果一个(yī ɡè)三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等.
13.3.1 等腰三角形
第二 课时 (dìèr)
2021/12/13
1
第一页，共二十五页。
学习目标：
1.掌握等腰三角形的判定定理. 2.会综合运用等腰三角形的性质(xìngzhì)和判定进行有关的计算和证明。
学习重点：
会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和证明。
学习难点：
等腰三角形判定定理的证明。
2021/12/13
2
第二页，共二十五页。
回顾：
一、如图 ,△ABC中AB=AC,请你说说等腰三角形的性质(xìngzhì)有
哪些？ 1、等腰三角形两底角相等（等边对等角）， 2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(三线 合一)。
3、等腰三角形是轴对称图形。
二、作这条辅助线有几种(jǐ zhǒnɡ)说法？
(liǎngbiān)
相等的 三角形 是等腰 三角形
性质
1.两腰相等
2.等边对等角
3. 三线(sān 合 xiàn) 一 4.是轴对称图形
(túxíng)
判定
1.两边相等 2.等角对等边
运用等腰三角形的判定定理时，应注意在同一个三角形中.
2021/12/13
19
第十九页，共二十五页。
拓展 提高 (tuò zhǎn)
D
C
∵AB∥DC
∴∠A=∠C ∠B=∠D
O
又∵OA=OB
∴∠A=∠B（等边对等角）
∴∠C=∠D
A
B
∴ OC=OD（等角对等边）
2021/12/13
15
第十五页，共二十五页。
综合 运用 (zōnghé)
如图△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E 分别(fēnbié)是BC边上两点，且 ∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角 形有（ ）个。
简写(jiǎnxiě)成”等角对等边”.
2、你能证明(zhèngmíng)“等角对等边”吗？
2021/12/13
4
第四页，共二十五页。
证明：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两
个角所对的边也相等
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。
求证(qiúzhèng)：AB=AC
证明(zhèn作gm∠íngB)A: C的平分线AD 则∠1=∠2 在△BAD和△CAD中
（1）图中有没有等腰三角形？ 有几个(jǐ ɡè)？
M
O
3 1
2
B
N
（2）线段BM、CN与MN的长度有什
么(shén me)关系？
C
角平分线＋平行
2021/12/13
第十七页，共二十五页。
等腰三角形
17
3、上午10 时，一条(yī tiáo)船从A处出发 以20海里每小时的速度向正北航行，中 午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测 得∠NAC=40°， ∠NBC=80°求从B处
到灯塔C的距离
解：∵∠NBC=∠A+∠C
∴∠C=80°- 40°= 40°
N北
C
80°
∴ BA=BC（等角对等边）
B 40°
∵AB=20（12-10）=40 ∴BC=40
2021/12/13
A
答：B处到达灯塔(dēngtǎ)C40海
里
18
第十八页，共二十五页。
小结
名图形 称
等 腰A
三
角
形
B
C
概念
有两边
则∠ ADB = ∠ ADC = 90°
在△ADB和△ADC中
∠B = ∠C
C
∠ ADB = ∠ ADC
AD = AD
∴ △ADB ≌ △ADC
∴AB = AC
2021/12/13
6
第六页，共二十五页。
等腰三角形的判定(pàndìng)定理：
如果一个三角形有两个角相等(xiāngděng)，那么这 两个角所对的边也相等(简(xiā写ngdě成ng)“等角对等边”)。
A
2 B
D 1
C
2021/12/13
12
第十二页，共二十五页。
4.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合(chónghé) 的部分是一个等腰三角形吗？为什么？
解：重合(chónghé)部分是等腰三角形。
理由(lǐyóu)：由ABDC是矩形知 A
E G 3C
AC∥BD
∴∠ 3= ∠ 2
1
B2
D
由沿对角线折叠知 ∠1=∠2
Image
12/13/2021
第二十五页，共二十五页。
(wài jiǎo)，AE平分∠DAC，且AE∥ＢＣ
D
求证(qiúzhèng)：△ABC是等腰三角形
证明：∵ AE平分∠DAC ∴ ∠ DAE = ∠ EAC ∵ ＡＥ∥ＢＣ ∴ ∠DAE＝∠B ∠EAC= ∠C
∴ ∠B = ∠C
∴ AB = AC ∴ △ABC是等腰三角形
A
E
B
C
2021/12/13
13.3.1 等腰三角形。一、如图 ,△ABC中AB=AC,请你说说等腰三角形的性质有哪些。1、 等腰三角形两底角相等（等边对等角），。如果(rúguǒ)一个三角形有两个角相等，那么这两
No 个角所对的边也相等.。简写成”等角对等边”.。2、你能证明“等角对等边”吗。在△BAD
和△CAD中。AD=AD (公共边)。在△ADB和△ADC中。如果(rúguǒ)一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等。(简写成“等角对等边”)。2.等角对等边。24
D
1.如何将文字叙述的几何
命题转化成几何语言(yǔyán)?
A
E
２.命题中条件和结论分别
指出来？
３.写出已知、求证。
B
C
2021/12/13
9
第九页，共二十五页。
求证：如果三角形一个(yī ɡè)外角的平分线平行于三角形 的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
已知：如图， ∠DAC 是△ABC 的一个外角
N
考考 大家： （3）在MN上截取DA=h,得A点；
（4）连结AB、AC，则△(AkǎBo kCǎo即) 为所求等腰三角
形。
2021/12/13
14
第十四页，共二十五页。
2.如图，AC和BD相交(xiāngjiāo)于点O，且AB∥DC，OA=OB，求
证：OC=OD.
证明 ： (zhèngmíng)
几何(jǐ hé)ห้องสมุดไป่ตู้言：
A
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
B
注意： “等角对等边”的前提是一个 三角形
2021/12/13
第七页，共二十五页。
C
7
归纳：等腰三角形的性质与判定的区别
名 图 形 概念 称
等
腰
三
角 形B
有两边
A
(liǎngbiān)
相等的三
角形是等
腰三角形
。
C
2021/12/13
黄金 三角形 (huánɡ jīn jīn)
你能将这个(zhè ge)等腰三角
形添加适当的线段，把这个(zhè ge)
三角形分割成四个等腰三角形吗
？
你能将这个等腰三角形添加
适当的线段，把它分割成五个、
六个等腰三角形吗？
2
B
A
D
1
C
2021/12/13
20
第二十页，共二十五页。
动手(dòng shǒu)画一画
∠1=∠2
∠B=∠C AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (AAS)
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)
2021/12/13
第五页，共二十五页。
A
12
B
D
C
你还有其 他(qítā)证法
吗?
5
法二：
A
B
D
已知：△ABC中，∠B = ∠C
求证(qiúzhèng)：AB =
证AC明：作AD⊥BC于点D
如图,在△ABC中,AB=AC, ∠A=36°,你能把△ABC分成三个等腰 三角形吗?(提供(tígōng)两中以上不同的作图方案)
A
A
A
B
2021/12/13
E CB
D CB
第二十一页，共二十五页。
D
E
C
21
A
A
A
B
CB
C
B
C
2021/12/13
22
第二十二页，共二十五页。
拓展 提高： (tuò zhǎn)
与DE交于点B，
DBE
⑶在MN上截取BC2.5cm，
⑷连接CD，CE，△CDE就是所 求的等腰三角形.量出CD的长,就
可以计算出要求的绳长,自己试一
试!
2021/12/13
第二十三页，共二十五页。
M C
D BE N
23
再见
2021/12/13
24
第二十四页，共二十五页。
内容(nèiróng)总结
共有(ɡònɡ yǒu)6即个△。ABC、 △ ABD、
A
△ ADE、 △ ADC、 △ AEC、
△ ABE。
B
C
DE
2021/12/13
16
第十六页，共二十五页。
2.如图,在ΔABC中,O是∠ABC和∠ACB角平分线的交点 (jiāodiǎn),过O点作BC的平行线分别与AB和AC交于M和N.
A
性质与边角关 系
1.两腰相等.
2.等边对等角
3. 三线(sān xiàn)合
一
4.是轴对称图形 . (túxíng)
第八页，共二十五页。
判定
1.两边相等。 2.等角对等边
8
例题 1： (lìtí)
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的 一边，那么(nà me)这个三角形是等腰三角形。
问题: