高中数学动态性立体几何题
立体几何中的最值与动态问题 (解析版)
立体几何中的动态问题立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。
下面举例说明解决这类问题的常用方法。
一、以静制动例1、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=AB=AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于（ D ） A 300 B 450 C 600 D 900分析：虽然点P 的具体位置不定，但PQ 在平面A 1C 上的射影是一条定直线A 1H ，在正方形ACC 1A 1中AM ⊥A 1H ，故由三垂线定理得BQ ⊥AM 。
例2 如图3，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝b ＜a ，若Q 是11A D 上的定点，P 在11C D 上滑动，则四面体PQEF 的体积（ ）． （A)是变量且有最大值 （B ）是变量且有最小值 （C ）是变量无最大最小值 （D ）是常量分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点．这个图形有很多不确定因素，线段EF 的位置不定，点P 在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察PEF ∆，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边EF 是定值，且P 到EF 的距离也是定值，故它的面积是定值．再发现点Q 到面PEF 的距离也是定值．因此，四面体PQEF 的体积是定值．我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题．1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为2，点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（ ） A.55B.552 C. 2 D. 1解析：如图，由于点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。
高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案
高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC的中点为M，点P在正方体的表面DCC1D1上移动，且满足∠APD=∠MPC。
求三棱锥P-BCD的体积的最大值。
2.△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别为AB、AC的中点，沿EF把四面体OAEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。
当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时，求四棱锥P-BCFE的体积。
3.△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，且EF//BC，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。
求四棱锥P-BCFE的体积的最大值。
4.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，且AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD=3DC，球O为三棱锥P-ABC的外接球，过点D作球O的截面。
若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则求球O的表面积。
5.已知A、B、C、D四点均在半径为R(R为常数）的球O的球面上运动，且AB=AC，AB⊥AC，AD⊥BC。
若四面体ABCD的体积的最大值为V，求V的值。
6.已知A、B、C是球O的球面上的三点，AB=2，AC=23，∠ABC=60°，且三棱锥O-ABC的体积为V。
求V的值。
7.已知三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个半径为3的球，四边形A1ACC1与B1BCC1为两个全等的矩形，M是A1B1的中点，且C1M=√3.求三棱锥C1-ABC的体积。
8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，连接AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，AO=BD=4，点C'与点C关于平面BC1D对称。
求三棱锥C'-ABD的体积。
1.删除该题，因为这明显是一道数学计算题，没有文章可言。
2.球O的表面积为4π，则球O的体积为(4/3)π。
动态立体几何
动态立体几何题型 在运动变化过程中利用方程探求动点的位置例 如图1所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=√2，AF=1． 试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60°，并加以证明．例 如图2，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1 中，ABC=90°，AB=BC=a ，AA1 =2AB ，M 为CC 1 上的点．试问当M 在C 1C 上的什么位置时，B 1M 与平面AA 1C 1C 所成的角为30°题型2 在运动变化过程中建立函数关系，寻求相关角的变化范围．例 如图3，在三棱锥V-ABC 中，VC 底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC=BC=a ， ∠VDC= θ (0＜θ＜2π)( 1) 求证: 平面VAB ⊥VCD; ( 2) 当角 变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．在运动变化过程中建立方程关系探究二面角的大小．例 如图4所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA1 =1，AB=2，点E 在棱AB 上移动，当AE 等于何值时，二面角D1-EC-D 的大小为4π．题型 在运动变化过程中，利用曲线定义探究动点轨迹．例 如图5，P 为四棱锥S-ABCD 的面SBC 内一点，若动点P 到平面ABCD 的距离与到点S 的 距离相等，则动点P 的轨迹是面SBC 内的 ( )A ． 线段或圆的一部分B ． 双曲线或椭圆的一部分C ． 双曲线或抛物线的一部分D ． 抛物线或椭圆的一部分1． 如图6，三棱锥P-ABC 的高PO=8，AC=BC=3，ACB=30°，M ，N 分别在BC 和PO 上，且CM=x ，PN=2x( x ∈( 0，3］) ，下列4个图像大致描绘了三棱锥N-AMC 的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是2． 如图7，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 的侧面ABB 1A 1 内有一动点P 到直线AA 1 和BC的距离相等，则动点P 的轨迹是 ( ) A ． 线段 B ． 椭圆的一部分C ． 双曲线的一部分D ． 抛物线的一部分3． 如图8，在正四面体A-BCD 中，点E 在棱AB 上，点F 在棱CD 上，使得AE CFEB FDλ==(λ＞0) ，设f(λ) =λλαβ+ ,λα与λβ分别表示EF 与AC ，BD 所成的角，则 ( ) A ．f(λ)是( 0，+∞) 上的增函数 B ．f(λ)是( 0，+∞) 上的减函数C ．f(λ)是(0，1) 上的递增函数，(1，+∞) 上的递减函数D ．f(λ)是( 0，+∞) 上的常数函数4． 已知P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 表面上的动点，且则动点P 的轨迹的长度是 ．5． 如图9，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．6． 下列4个命题:○1在空间，存在无数个点到三角形各边的距离相等;○2在空间，存在无数个点到长方形各边的距离相等;○3在空间，既存在到长方体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点;○4在空间，既存在到四面体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点，其中真命题的序号是 ( 写出所有真命题的序号) ．例 设正方体1A C -的棱长为1，P 为面对角线A1B1上的动点，Q 为棱AB 上的动点，求1C P PQ +的最小值.例 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，11AB BC AA === ，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面 ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则B 1P+PQ 的最小值为（ ）变式 在边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）变式 在棱长为的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC 、CC 1的中点，P 是侧面BC 1B 1内一点，若A 1P//平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是（ ）例１ 如图１已知在四面体ＡＢＣＤ中ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ＝且ＤＡ,ＤＢ.ＤＣ两两互相垂直,点Ｏ是 ＡＢＣ的中心,将 ＤＡＯ绕直线ＤＯ旋转一周, 则在旋转过程中直线ＤＡ与直线ＢＣ所成角的余弦的最大值是例２ 如图４直线ｌ⊥平面 垂足为Ｏ在 ＡＢＣ中,∠ＡＢＣ＝2π,ＡＢ＝２,ＢＣ＝１.该直角三角形作符合下列条件的自由运动 Ａ∈ｌ,Ｂ∈α, 则Ｃ、Ｏ两点间的最大距离为 ．例３ 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为２,ＭＮ是它的内切球的一条弦,把球面上任意两点之间的线段称为球的弦, Ｐ为正方体表面上的动点, 当弦ＭＮ最长时, PM PN ⋅的最大值为 ．例５ 如图８已知正四棱锥Ｖ－ＡＢＣＤ绕着ＡＢ任意旋转, ＡＢ⊂平面α．若ＡＢ＝２,,点Ｖ在平面 上的射影为Ｏ, 则｜ＣＯ｜的最大值为 ．例６ 已知点ＥＦ分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱ＡＢＡＡ１的中点点ＭＮ分别是线段Ｄ１Ｅ与Ｃ１Ｆ上的点则与平面ＡＢＣＤ平行的直线ＭＮ有 Ａ０条 Ｂ１条 Ｃ２条 Ｄ无数条例７ 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中与直线ＡＡ１、ＢＤ、Ｃ１Ｄ１同时相交的直线有Ａ１条 Ｂ２条 Ｃ３条 Ｄ无数条变式 已知正方形ＡＢＣＤＥ是边ＡＢ的中点将△ＢＣＥ沿ＣＥ折起至△Ｂ′ＣＥ 如图３若△Ｂ′ＣＤ为正三角形则ＥＣ与平面△Ｂ′ＣＤ所成角的余弦值是 ．变式如图４在长方形中ＡＢ＝１，ＢＣＡＢＦ沿ＢＦ折起使平面ＡＢＣ⊥平面ＢＣＤ．在平面ＡＢＣ内过点Ａ作ＡＫ⊥ＢＣ，Ｋ为垂足．设ＢＫ＝ｔ则ｔ的取值范围是．变式２０１２浙江理－１０已知矩形ＡＢＣＤＡＢ＝１ＢＣ在的直线进行翻折在翻折过程中Ａ．存在某个位置使得直线ＡＣ与直线ＢＤ垂直Ｂ．存在某个位置使得直线ＡＢ与直线ＣＤ垂直Ｃ．存在某个位置使得直线ＡＤ与直线ＢＣ垂直Ｄ．对任意位置三条直线ＡＣ与ＢＤＡＢ与ＣＤＡＤ与ＢＣ均不垂直变式如图５已知矩形ＡＢＣＤＡＢ＝ｘＢＣ＝２．将△ＡＢＤ沿矩形的对角线ＢＤ所在的直线进行翻折若在翻折过程中存在某个位置使得ＡＢ⊥ＣＤ，则ｘ的取值范围是变式如图６已知矩形ＡＢＣＤ的两条对角线交点为ＥＡＢ＝ｘＢＣ槡＝２将△ＡＢＤ沿矩形的对角线ＢＤ所在的直线进行翻折若在翻折过程中存在某个位置使得ＡＢ⊥ＣＥ则ｘ的取值范围是．例1 若三棱锥A - B C D 的侧面△A B C 内一动点P 到底面B C D 的距离与到棱A B 的距离相等, 则动点P 的轨迹与△A B C 组成图形可能是( )例2 如图2 , 长方体 A B C D - A1 B1 C1 D1 中, 已知A B＝ A D ＝2 , A A1＝3 , 棱A D 在平面α内, 则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是．例3 如图3 所示, 球O 为边长为4 的正方体A B C D - A1 B1C1 D 的内切球,P 为球O 的球面上动点, M为B1 C1 中点, D P ⊥B M ,则点P 的轨迹周长为．例4 在矩形 A B C D 中, A B ＝ 2 A D, E 为边A B 的中点, 将△ A D E 沿 直 线 D E 翻 折 成 △ A1 D E ． 若 M 为线段A1 C 的中点, 则在△ A D E 翻折过程中, 下面4个命题中正确的是 ．A 、B M 是定值． B 、 点 M 在某个球面上运动．C 、 存在某个位置, 使DE ⊥ A1 C ． D 、 存在某个位置, 使 M B ∥平面 A1 D E ．例 如图４ ＡＢＣ中 Ｂ＝ ２ＡＢ＝ＢＣ＝２，Ｐ点 为ＡＢ上 一 动点, ＰＤ//ＢＣ交ＡＣ于Ｄ点并将ＰＤＡ延ＰＤ对折至ＰＤＡ′使 平 面ＰＤＡ平 面ＰＢＣＤ．当 锥 形Ａ′－ＰＢＣＤ体 积 最 大 时 求ＰＡ长．例1 如图1所示， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E 是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F ，则下列命题中为假命题的是（ ）.A.存在点E ，使得A1C1∥平面BED1FB.存在点E ，使得B1D ⊥平面BED1FC.对于任意的点E ，平面A1C1D ⊥平面BED1FD.对于任意的点E ，四棱锥B1-BED1F 的体积均不变例2 如图2，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E 是棱DD1的中点，F 是侧面CDD1C1上的动点， 且B1F ∥面A1BE ，则BF 与平面CDD1C1所成角的正切值构成的集合是（ ）.A.{2}B. ⎪⎪⎩⎭C. {|2t t ≤≤D. 2t t ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭例3 设四面体的六条棱的长分别为1、1、1、1a ，且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是（ ）.例4 如图5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为底面ABCD 上的动点，PE ⊥A1C 于点E ，且PA=PE ，则点P 的轨迹是（ ）.A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分例6 如图7，三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=4，PB=PC=3， 则面ABC 上任一点到三个面的距离的平方和最小是例 1 已知正方体 ABCD − A1B1C1D1 的棱长为 3, 长为 2 的线段 MN 点一个端点 M 在 DD1 上运动, 另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动, 则 MN 的中点 P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 .例 4: 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, M 为 AD 的中点, O 为侧面 AA1B1B 的中心, P 为棱 CC1 上任意一点,则异面直线 OP 与 BM 所成的角等于 ( )A. 90◦B. 60◦C. 45◦D. 30◦策略四: 动中找定面例 4: 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, M 为 AD 的中点, O 为侧面 AA1B1B 的中心, P 为棱 CC1 上任意一点,则异面直线 OP 与 BM 所成的角等于 ( )A. 90◦B. 60◦C. 45◦D. 30◦例设直线l 平面，过平面外一点A与l，都成30°角的直线有且只有 ( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条例如图7，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，ABE=20°，CDF=30°．将 ABE绕直线BE CDF绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为．例如图9，在正方体ABCDA1B1C1D1 中，M是棱DD1 的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上的任意一点，则直线OP与直线AM所成的角为 ( )A．4 B．3 C．2 D．不确定( 与点P的位置有关)例如图10，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC( 端点除外) 上一动点．现将 AFD沿AF折起，使平面ABD 平面ABC，在平面ABD内过点D作DK AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是．1．如图15，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1 的对角线BD1 上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f( x)的图像大致是2．在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E，F分别为棱AA1，CC1 的中点，则在空间中与3条直线A1D1，EF，CD都相交的直线 ( )A．不存在 B．有且只有2条 C．有且只有3条 D．有无数条3．已知在矩形ABCD中，AB=1，BC= 2．将 ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，3对直线AC与BDAB与CDAD与BC 均不垂直5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为a，定点M在棱AB上( 但不在端点A，B上) ，点P是平面ABCD 内的动点，且点P到直线A1D1 的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为．6．如图17，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB 平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是．7．已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在内，且∠POB=45°．若对于α内异于点O的任意一点Q，都有∠POQ 45°，则二面角α-AB-β的大小是．例1 在正方体中 A B C D - A1 B 1 C 1 D 1, M 为B C的中点, 点 N 在四边形C D D1 C 1 及其内部运动.若MN⊥ A 1 C 1, 则点 N 的轨迹为( ) .A 线段;B 圆的一部分;C 椭圆的一部分;D 双曲线的一部分例 3 在棱长为 1 的正方体 A B C D - A1 B 1 C 1 D 1中, 点 E、 F 分别是棱 B C、 C C 1 的中点, P 是侧面B C C1 B 1 内一点, 若 A 1 P∥平面 A E F, 则线段 A1 P 长度的取值范围是( ) .例 5 正方体 A B C D - A1 B 1 C 1 D 1 中, E 是棱B1 C 1 的中点, 动点 P 在底面 A B CD 内, 且 P A 1 =A 1 E, 则点 P 运动形成的图形是( ) .A 线段;B 圆弧;C 椭圆的一部分;D 抛物线的一部分例如图1，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是 ( )A．圆 B．椭圆C． 1条直线 D．2条平行直线例如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为1，点M在棱AB上，且BM∶ AM= 1 ∶3，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1 距离与动点P到M距离平方差为1，则动点P的轨迹是 ( )A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线例如图3，正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点P在侧面BCC1B1 及其边界上运动，并且总是保持AP BD1，则动点P的轨迹是 ( )A．线段B1C B． BB1 中点与CC1 中点连成的线段C．线段BC1 D． BC 中点与B1C1 中点连成的线段例如图4，定点A和B都在平面内，点C是内异于A和B的动点，且PC AC．那么，动点C在平面内的轨迹是 ( )A．1条线段，但要去掉2个点 B．1个圆，但要去掉2个点C． 1个椭圆，但要去掉2个点 D．半圆，但要去掉2个点例如图5，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，若点P是棱上一点，则满足|PA| + |PC1| = 2 的点P的个数为．例１如图１已知在四面体ＡＢＣＤ中，ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ＝Ｂ、ＤＣ两两互相垂直，点Ｏ是 ＡＢＣ的中心将 ＤＡＯ绕直线ＤＯ旋转一周则在旋转过程中直线ＤＡ与直线ＢＣ所成角的余弦的最大值是。
立体几何中的动态问题
ʏ江苏省泰州市姜堰区蒋垛中学 李 杰立体几何中的动态 问题,是指空间图形中的某些点㊁线㊁面的位置是不确定或可变的一类开放性问题,因其中某些点㊁线㊁面的位置不确定,往往成为同学们进行常规思考与转化的障碍㊂但又因其是可变的㊁开放的,更有助于同学们空间想象能力㊁综合思维能力与创新应用能力等的培养,成为高考数学试卷中创新命题的一个方向,备受各方关注㊂一㊁位置的确定问题图1例1 如图1,在梯形A B C D 中,A B ʊC D ,øB C D =2π3,四边形A C F E 为矩形,且C F ʅ平面A B C D ,A D =C D =B C =C F =1㊂(1)求证:平面E F D ʅ平面B C F ;(2)点M 在线段E F 上运动,求当点M 在什么位置时,平面M A B 与平面F C B 所成锐二面角的余弦值为34㊂解析:(1)因为A D =C D =B C ,A B ʊC D ,øB C D =2π3,所以øA D C =2π3,øD C A =øD A C =π6,则有øA C B =π2,所以A C ʅB C ㊂因为C F ʅ平面A B C D ,A C ⊂平面A B C D ,所以A C ʅC F ㊂又C F ɘB C =C ,C F ,B C ⊂平面B C F ,则A C ʅ平面B C F ㊂而E F ʊA C ,所以E F ʅ平面B C F ㊂而E F ⊂平面E FD ,所以平面EF D ʅ平面B C F ㊂(2)以C 为坐标原点,C A ,C B ,C F 所在图2直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图2所示的空间直角坐标系C -x yz ㊂由于A D =C D =B C =C F =1,则A B =2,结合余弦定理有A C 2=A B 2+B C 2-2A B ㊃B C ㊃c o sπ3=3,所以A C =3,则E F=A C =3㊂设F M =λ(0ɤλɤ3),则C (0,0,0),A (3,0,0),B (0,1,0),M (λ,0,1),所以A B ң=(-3,1,0),B M ң=(λ,-1,1)㊂设n =(x ,y ,z )为平面M A B 的一个法向量,则n ㊃A B ң=-3x +y =0,n ㊃B M ң=λx -y +z =0,令x =1,得n =(1,3,3-λ)㊂易知m =(1,0,0)为平面F C B 的一个法向量,所以|c o s <m ,n >|=|m ㊃n ||m ||n |=11ˑ1+3+(3-λ)2=34,解得λ=533或33,而0ɤλɤ3,所以λ=33,所以F M E F =13,即M 在线段E F 靠近点F 的三等分点处时,平面M A B 与平面F C B 所成锐二面角的余弦值为34㊂点评:要确定立体几何中的 动态 问题中对应动点的位置,合理引入参数,结合线段长度的变量,从代数的视角切入,利用向量的数量积加以转化,通过合理的逻辑推理与数学运算来求解对应的参数值,进而得以确定相应动点的位置情况㊂以 数 的运算形式来确定 形 的动态变化情况㊂二㊁轨迹的判定问题图3例2 如图3所示,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,A B =2,E 为棱D D 1的中点,F 是正方形C D D 1C 1内部(含边界)的一个动点,且B 1F ʊ平面A 1B E ㊂(1)求动点F 的轨迹长度;(2)求平面A 1B E 与平面A B C D 夹角的71解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月正切值㊂图4解析:(1)如图4,取C 1C的中点为P ,C 1D 1的中点为Q ,连接B 1P ,B 1Q ,P Q ㊂由于B 1P ʊA 1E ,B 1P ⊄平面A 1B E ,A 1E ⊂平面A 1B E ,所以B 1P ʊ平面A 1B E ㊂同理,证得P Q ʊ平面A 1B E ㊂而P Q ɘB 1P =P ,所以平面B 1P Q ʊ平面A 1B E ㊂而B 1F ʊ平面A 1B E ,所以B 1F ⊂平面B 1P Q ㊂而F ɪ平面C D D 1C 1,则知F ɪP Q ,即动点F 的轨迹为线段P Q ㊂而P Q =12C D 1=2,所以动点F 的轨迹长度为2㊂(2)由于平面A B C D ʊ平面A 1B 1C 1D 1,平面B 1P Q ʊ平面A 1B E ,所以平面A 1B E 与平面A B C D 的夹角即为平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1P Q 的夹角㊂而平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1P Q 的交线为B 1Q ,过点C 1作C 1H ʅB 1Q ,交B 1Q 于点H ,如图4,设H Q =a ,则1-a 2=4-(5-a )2,解得a =55㊂同理,过点P 作P G ʅB 1Q ,交B 1Q 于点G ,可得Q G =55,即点H 与点G 重合㊂所以øC 1H P 为所求二面角的平面角,则有t a n øC 1H P =C 1P C 1H =11-a2=52㊂点评:要判定立体几何中的 动态 问题中对应动点的轨迹及其相应问题,关键是结合立体几何中动点的变化规律,合理挖掘内涵,通过定义法㊁直接法㊁性质法及建系法等来分析与处理,进而得以解决㊂此类问题契合高考命题 在知识网络交汇处 的指导精神,外观上有着 看似立体几何,又似解析几何 的特点,成为高考命题中考查数学知识㊁数学能力与核心素养的好素材㊂图5三、最值的求解问题例3 如图5,在四面体A B C D 中,所有的面都是直角三角形,侧棱A B ʅ底面B C D ㊂(1)若A B =1,BC =2,C D图6=1,试求异面直线A C 与B D 所成角的余弦值㊂(2)如图6,若B D ʅC D ,A B =B D =C D =2,点P 在棱A C 上运动㊂试求әP B D 面积的最小值㊂解析:(1)如图7,以D B ,D C 为邻边作图7平行四边形B D C E ,连接A E ,则异面直线A C 与B D 所成的角为øA C E 或其补角㊂当B C ʅC D 时,A B =1,B C =2,C D =B E =1,由题可知,A E =A B 2+B E 2=12+12=2,A C =A B 2+B C 2=12+22=5,E C =B D =B C 2+C D 2=22+12=5,在әA C E 中,由余弦定理得c o søA C E =A C 2+E C 2-A E 22A C ˑE C =45,所以异面直线A C 与B D 所成角的余弦值为45㊂当B D ʅD C 时,A E =A B 2+B E 2=12+12=2,A C =A B 2+B C2=12+22=5,E C =B D =B C 2-C D 2=22-12=3,在әA C E 中,由余弦定理得c o s øA C E =A C 2+E C 2-A E 22A C ˑE C =155,所以异面直线A C 与B D 所成角的余弦值为155㊂综上可知,异面直线A C 与B D 所成角的余弦值为45或155㊂图8(2)如图8,作P Q ʅB C 于点Q ,Q M ʅB D 于点M ,连接P M ㊂在әA B C 中,因为A B ,P Q 都垂直于B C ,所以A B ʊP Q ,所以P Q ʅ平面B C D ㊂又B D ⊂平面BCD ,所以P Q ʅB D ㊂又因为Q M ʅB D ,P Q ɘQ M =Q ,P Q ,Q M ⊂平面P Q M ,所以B D ʅ平面P Q M ㊂又P M ⊂平面P Q M ,所以P M ʅB D ㊂81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月设C Q =x ,C B =B D 2+C D 2=22,由P Q A B =C Q C B ,即P Q 2=x 22,得P Q =22x(0ɤx ɤ22)㊂在әB C D 中,由B Q B C =Q M C D ,即22-x22=Q M 2,得Q M =22-x2㊂在R t әP Q M 中,P M =P Q 2+Q M 2=x 22+(22-x )22=x 2-22x +4=(x -2)2+2ȡ2,当且仅当x =2时等号成立㊂所以S әP B D =12B D ㊃P M ȡ12ˑ2ˑ2=2,即әP B D 面积的最小值为2㊂点评:要求解立体几何中的 动态 问题中对应最值的问题,往往是利用动态问题中的不确定性,借助其中某一元素的变量来合理建立对应的函数关系式,利用函数㊁导数㊁基本不等式等知识来确定相应的最值,从而为确定空间几何体的长度㊁角度㊁表面积㊁体积等的最值问题指明方向,借助代数运算来迁移对应的逻辑推理㊂在实际解决立体几何中的 动态 问题时,经常借助逻辑推理进行推理论证,而当用逻辑推理的定性分析难度比较大或烦琐时,往往可以引进相关的参数,通过构建对应的方程㊁函数或不等式等进行代数定量计算,以算促证,巧妙破解,实现动态问题的代数 静 态转化与应用㊂(责任编辑 王福华)基于平面图形翻折 融入立体几何应用ʏ江苏省高邮中学 杨 欢基于平面图形翻折成立体几何问题,是立体几何应用中的一类重要题型,借助平面图形的翻折,由 二维 上升到 三维 ,进而依托平面图形的一些信息与关系来确定空间图形中的位置关系㊁数量关系等问题㊂具体解题时,要仔细审视由平面图形的 二维空间 翻折成立体图形的 三维空间 这一升维过程中,相应的边㊁角等数量,以及对应的平行㊁垂直等几何特征的变化规律,特别注意相应的点㊁直线㊁平面间的位置关系,以及线段的长度㊁角度的变化等情况,结合具体问题进行逻辑推理与数学运算㊂一、翻折过程中线面关系的判定对于平面图形的翻折,关键是合理构建翻折后的空间几何图形,从中识别对应的空间几何体的结构特征,并确定对应图形的点㊁线㊁面等要素之间的关系,通过合理的平行㊁垂直等关系进行逻辑推理与判定㊂图1例1 如图1,在矩形A B C D 中,满足A B =2A D ,E 是A B 的中点,沿D E 将әA D E 折起到әA 1D E ㊂(1)如果二面角A 1-D E -C 是直二面角,求证:A 1B =A 1C ;(2)如果A 1B =A 1C ,求证:平面A 1D E ʅ平面B C D E ㊂分析:(1)根据题设条件,在平面图形的翻折过程中,通过辅助线的构建,过点A 1作A 1M ʅD E 于点M ,利用线面垂直的转化来确定线线垂直,进而利用线面垂直的判定及线线垂直的转化来证明两线段的长度相等;(2)取BC 的中点为N ,从平面几何图形的结构特征入手,将线线垂直转化为线面垂直,进一步过渡得以证明面面垂直㊂图2解:(1)如图2,过点A 1作A 1M ʅD E 于点M ,则A 1M ʅ平面B C D E ,所以A 1M ʅB C ㊂又A 1D =A 1E ,则M 是D E 的中点㊂取B C 的中点为N ,连接MN ,A 1N ,则MN ʅB C ㊂又A 1M ʅB C ,A 1M ɘMN =M ,所以B C ʅ平面A 1MN ,即A 1N ʅB C ㊂又N 是B C 的中点,所以A 1B =A 1C ㊂(2)取B C 的中点为N ,连接A 1N ,由于A 1B =A 1C ,可得A 1N ʅB C ,取D E 的中点91解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月。
高考数学专题四立体几何 微专题29 立体几何中的动态问题
√C.若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 √D.若D1N与AB所成的角为 π3，则点N的轨迹为双曲线
如图所示，对于A， 根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD， 所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角， 所以∠MND＝4π，所以 DN＝DM＝12DD1＝12×4＝2， 所以点N的轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，故A正确；
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
PART ONE
典型例题
考点一 动点的轨迹
典例1 (1)(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为4，M为DD1的中点，N为四边形ABCD 所在平面上一动点，则下列命题正确的是
√A.若MN与平面ABCD所成的角为 π4，则点N的
轨迹为圆
B.若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图
当 B 是 AC 的中点时，AB＝BC＝ 6，
此时△SAB为等腰三角形，△ABC为等腰直角三角形，
将△SAB，△ABC沿AB展开至同一个平面，得到如
图2所示的平面图形，
取AB的中点D，连接SC，SD，CD，
则 SD＝
22－
262＝
210，
所以 sin ∠ABS＝SSDB＝ 410， 所以 cos∠CBS＝cos(90°＋∠ABS)＝－sin∠ABS＝－ 410，
此时点B与点Q重合，点P与点O1重合，故C正确；
对于D，当点P与点B1，点Q与点A重合时，
AP＋PQ＋QB1 的值为 3AP＝3 12＋22＝3 5>2 3＋ 5，故 D 错误.
考点二 折叠、展开问题
典例2 (多选)如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线 AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列 说法正确的是 A.存在某个位置，使得CN⊥AB1
高中立体几何典型50题及解析
高中立体几何典型500题及解析(一)1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则（A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。
根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面．的一个图是PPQQRSSPPPQQRR RSSSPP PQQQ R RS SS PP Q QR RRSS（A ） （B ） （C ） （D ） D解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形B 项：如图C 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。
3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。
B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。
C 项：如图4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为1111C解析：11B C ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：点到定点B 的距离与到定直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。
5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是（A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）10条C解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。
2024年高考数学总复习：立体几何中的动态问题
第1页共5页2024年高考数学总复习：立体几何中的动态问题[解题策略]立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转．就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离．立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现．在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜．1．去掉枝蔓见本质——大道至简在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键．例1如图1，直线l ⊥平面α，垂足为O .正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.点A 是直线l 上的动点，点B 1在平面α内，则点O 到线段CD 1中点P 的距离的最大值为________．图1答案2＋2解析从图形分化出4个点O ，A ，B 1，P ，其中△AOB 1为直角三角形，固定AOB 1，点P 的轨迹是在与AB 1垂直的平面上且以AB 1的中点Q 为圆心的圆，从而OP ≤OQ ＋QP ＝12AB 1＋2＝2＋2，当且仅当OQ ⊥AB 1，且点O ，Q ，P 共线时取到等号，此时直线AB 1与平面α成45°角．2．极端位置巧分析——穷妙极巧在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案．例2在正四面体A －BCD 中，E 为棱BC 的中点，F 为直线BD 上的动点，则平面AEF 与平面ACD 所成二面角的正弦值的取值范围是________．答案1解析本例可用极端位置法来加以分析．。
2024届高考数学二轮复习立体几何中的动态问题课件
题型选讲
类型一 “动态”中研究“特定静态”——“一题多考”
典例1 (多选)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1 中 ， P ， Q 分 别 是 线 段 B1D1 ， AC 上 的 动 点 ， 则 下 列 说 法 正 确AB的D有
(
)
A．线段PQ长度的最小值为2
B．满足 PQ＝2 2的情况只有 4 种 C．无论P，Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直 D．三棱锥P－ABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置 无关
中，侧棱 PA，PB，PC 的长为 2，底面△ABC 的边长为 2，D 为 AC 的
中点，E 为 AB 的中点，M 是 PD 上的动点，N 是平面 PCE 上的动点，则
AM＋MN 的最小值为( B )
6＋ 2 A. 4
B．
3＋1 2
6 C. 4
D．
3 2
【思路点拨】 先固定点M，再考虑点N的变化，要求AM＋MN的 最小值，可将立体几何问题通过展开某几个平面的“动”考查了最值、垂直、体积等 问题，实现了一题多考，解决此类问题的关键是掌握几何体的结构特征 和垂直的判定定理及性质定理，需具备较强的直观想象能力．
类型二 “动态”中研究“以静制动”——“最值问题”
典例2 (2023·湖北八校联考)已知在如图所示的正三棱锥 P－ABC
＝ 2，BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′－BCD(如 图 2)，使平面 A′BD⊥平面 BCD，则下列结论正确的是( BD )
A．A′C⊥BD B．∠BA′C＝90° C．CA′与平面A′BD所成的角为30° D．四面体 A′－BCD 的体积为16
【解析】 由 A′B＝A′D＝1，BD＝ 2，得 BA′⊥DA′.因为平面 A′BD⊥平面 BCD，平面 A′BD∩平面 BCD＝BD，CD⊥BD，所以 CD ⊥平面 A′BD，进而有 CD⊥BA′.由 DA′∩CD＝D，得 BA′⊥平面 A′CD.所以 BA′⊥A′C，即∠BA′C＝90°.B 正确；若 A′C⊥BD，又 CD⊥BD，易证得 BD⊥平面 A′CD，与 BA′⊥平面 A′CD 矛盾，故 A 错误；由 CD⊥平面 A′BD，得∠CA′D 为 CA′与平面 A′BD 所成的 角，由 CD＝A′D＝1，得∠CA′D＝45°，故 C 错误；由题意知 AB＝AD ＝CD＝1，VA′－BCD＝VC－A′BD＝13×1×12×1×1＝16.D 正确．故选 BD.
第七章 §7.10 立体几何中的动态、轨迹问题-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§7.10立体几何中的动态、轨迹问题重点解读“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化．题型一平行、垂直中的动态轨迹问题例1如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，N 分别是CC 1，C 1D 1，DD 1，CD ，BC 的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥平面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是()A.3aB.2aC.3a 2D.2a 2答案D 解析连接HN ，GN (图略)，∵在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，N 分别是CC 1，C 1D 1，DD 1，CD ，BC 的中点，则GH ∥BA 1，HN ∥BD ，又GH ⊄平面A 1BD ，BA 1⊂平面A 1BD ，∴GH ∥平面A 1BD ，同理可证得NH ∥平面A 1BD ，又GH ∩HN ＝H ，GH ，HN ⊂平面GHN ，∴平面A 1BD ∥平面GHN ，又∵点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，MN ∥平面A 1BD ，则点M 在线段GH 上运动，即满足条件，又GH ＝22a ，则点M 轨迹的长度是2a 2.思维升华动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程．跟踪训练1正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在正四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为()A.6＋2B.6－2C ．4D.5＋1答案A 解析如图，设AC ，BD 交于O ，连接SO ，由正四棱锥的性质可得SO ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，故SO ⊥AC .又BD ⊥AC ，SO ∩BD ＝O ，SO ，BD ⊂平面SBD ，故AC ⊥平面SBD .由题意，PE ⊥AC 则动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S －ABCD 的交线，即平面EFG ，则AC ⊥平面EFG .由线面垂直的性质可得平面SBD ∥平面EFG ，又由面面平行的性质可得EG ∥SB ，GF ∥SD ，EF ∥BD ，又E 是边BC 的中点，故EG ，GF ，EF 分别为△SBC ，△SDC ，△BCD 的中位线．由题意BD ＝22，SB ＝SD ＝22＋2＝6，故EG ＋EF ＋GF ＝12×(6＋6＋22)＝6＋ 2.即动点P 的轨迹的周长为6＋ 2.题型二距离、角度有关的动态轨迹问题例2已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为5π，AA 1＝2，点P 在四边形A 1ACC 1内，且直线BP 与平面A 1ACC 1所成的角为π4，则长方体的体积最大时，动点P 的轨迹长为()A ．πB.2π2C.π2D.2π4答案C解析因为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为5π，设外接球的半径为R ，所以4πR 2＝5π，解得R ＝52R ＝－52(舍去)，即外接球的直径为5，设AB ＝a ，BC ＝b ，则a 2＋b 2＋22＝5，可得a 2＋b 2＝1，所以V ＝2ab ≤a 2＋b 2＝1，当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立．如图，设AC ，BD 相交于点O ，因为BO ⊥AC ，BO ⊥AA 1，AC ∩AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面A 1ACC 1，所以BO ⊥平面A 1ACC 1，因为直线BP 与平面A 1ACC 1所成的角为π4，所以∠BPO ＝π4，故OP ＝12，则点P 的轨迹是以O 为圆心，半径r ＝12的半圆弧，所以动点P 的轨迹长为πr ＝π2.思维升华距离、角度有关的轨迹问题(1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹．(2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面．跟踪训练2已知三棱锥P －ABC 的外接球O 的半径为13，△ABC 为等腰直角三角形，若顶点P 到底面ABC 的距离为4，且三棱锥P －ABC 的体积为163，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长度是________．答案43π解析设底面等腰直角三角形ABC 的直角边的边长为x (x >0)，∵顶点P 到底面ABC 的距离为4且三棱锥P －ABC 的体积为163，∴13×12x 2×4＝163，解得x ＝22，∴△ABC 的外接圆半径为r 1＝12×2×22＝2，∴球心O 到底面ABC 的距离d 1＝R 2－r 21＝13－22＝3，又∵顶点P 到底面ABC 的距离为4，∴顶点P 的轨迹是一个截面圆的圆周(球心在底面ABC 和截面圆之间)且球心O 到该截面圆的距离d 2＝1，∵截面圆的半径r 2＝R 2－d 22＝13－1＝23，∴顶点P 的轨迹长度是2πr 2＝2π×23＝43π.题型三翻折有关的动态轨迹问题例3在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，AD ＝1，AB ＝2，将△ADE 沿DE 折起得到△A ′DE ，设A ′C 的中点为M ，若将△ADE 沿DE 翻折90°，则在此过程中动点M 形成的轨迹长度为________．答案2π8解析如图，设AC 的中点为M 0，△ADE 沿DE 翻折90°，此时平面A ′DE ⊥平面ABCD ，取CD 中点P ，CE 中点Q ，PQ 中点N ，连接PQ ，MP ，MQ ，MN ，M 0P ，M 0Q ，M 0N .MP ＝M 0P ＝12AD ＝12，MQ ＝M 0Q ＝12AE ＝12，PQ ＝12DE ＝22，△MPQ 和△M 0PQ 是等腰直角三角形，且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点M 的轨迹是以N 为圆心，12PQ 为半径的一段圆弧，又MP ∥A ′D ，MP ⊄平面A ′DE ，A ′D ⊂平面A ′DE ，∴MP ∥平面A ′DE ，同理MQ ∥平面A ′DE ，又∵MP ∩MQ ＝M ，∴平面MPQ ∥平面A ′DE ，又平面A ′DE ⊥平面ABCD ，故平面MPQ ⊥平面ABCD ，又平面MPQ ∩平面ABCD ＝PQ ，MN ⊥PQ ，故MN ⊥平面ABCD ，又M 0N ⊂平面ABCD ，∴MN ⊥M 0N ，故动点M 形成的轨迹长度为14π·PQ ＝2π8.思维升华翻折有关的轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹．(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹．(3)可以利用空间坐标运算求轨迹．跟踪训练3(2024·连云港模拟)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点E 在CD 上，现将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，当E 从D 运动到C 时，求点D 在平面ABC 上的射影K 的轨迹长度为()A.22 B.223 C.π2 D.π3答案D解析由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，垂足K 为D 在平面ABC 上的射影，连接D ′K ，由翻折的特征知，则∠D ′KA ＝90°，故K 点的轨迹是以AD ′为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是12，如图当E 与C 重合时，∠D ′AC ＝60°，所以AK ＝12，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠KOA ＝π3，所以∠KOD ′＝2π3，射影K 的轨迹长度为12×2π3＝π3.课时精练一、单项选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，Q 是正方形B 1BCC 1内的动点，A 1Q ⊥BC 1，则Q 点的轨迹是()A ．点B 1B ．线段B 1C C ．线段B 1C 1D ．平面B 1BCC 1答案B 解析如图，连接A 1C ，因为BC 1⊥A 1Q ，BC 1⊥A 1B 1，A 1Q ∩A 1B 1＝A 1，A 1Q ，A 1B 1⊂平面A 1B 1Q ，所以BC 1⊥平面A 1B 1Q ，又B 1Q ⊂平面A 1B 1Q ，所以BC 1⊥B 1Q ，又BC 1⊥B 1C ，所以点Q 在线段B 1C 上．2.(2023·佛山模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1内的动点，满足直线BP 与下底面ABCD 所成角为60°的点P 的轨迹长度为()A.33B.3π6 C.3 D.3π2答案B 解析直线BP 与下底面ABCD 所成的角等于直线BP 与上底面A 1B 1C 1D 1所成的角，连接B 1P ，如图，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，PB 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PB 1，故∠BPB 1为直线BP 与上底面A 1B 1C 1D 1所成的角，则∠BPB 1＝60°，因为BB 1＝1，所以PB 1＝BB 1tan 60°＝33，故点P 的轨迹为以B 1为圆心，33为半径，位于平面A 1B 1C 1D 1内的14圆，故轨迹长度为14×2π×33＝3π6.3.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，N 为侧面BCC 1B 1上的一点，且MN ∥平面ABC 1，若点N 的轨迹长度为2，则()A ．AC 1＝4B ．BC 1＝4C ．AB 1＝6D ．B 1C ＝6答案B 解析如图，取B 1C 1的中点D ，BB 1的中点E ，连接MD ，DE ，ME ，由MD ∥A 1B 1∥AB ，DE ∥BC 1，又MD ⊄平面ABC 1，AB ⊂平面ABC 1，所以MD ∥平面ABC 1，同理可得DE ∥平面ABC 1，又MD ∩DE ＝D ，MD ，DE ⊂平面MDE ，所以平面MDE ∥平面ABC 1，又MN ∥平面ABC 1，故点N 的轨迹为线段DE ，又由DE ＝12BC 1＝2，可得BC 1＝4.4.已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面垂直，点P 是侧棱DD 1上的点，且DP ＝2PD 1，AA 1＝3，AB ＝1.若点Q 在侧面BCC 1B 1(包括其边界)上运动，且总保持AQ ⊥BP ，则动点Q 的轨迹长度为()A.3B.2C.233D.52答案D 解析如图，在侧棱AA 1上取一点R ，使得AR ＝2RA 1，连接PR ，BR ，过点A 作AN ⊥BR 交BR 于点M ，交BB 1于点N ，连接AC ，CN ，BD ，由PR ∥AD ，可知PR ⊥AN ，BR ，PR ⊂平面BPR ，BR ∩PR ＝R ，从而AN ⊥平面BPR ，BP ⊂平面BPR ，所以BP ⊥AN ，又由BP 在平面ABCD 内的射影BD ⊥AC ，所以BP ⊥AC ，AN ，AC ⊂平面ACN ，AN ∩AC ＝A ，知BP ⊥平面ACN ，CN ⊂平面ACN ，所以BP ⊥CN ，所以动点Q 的轨迹为线段CN ，在Rt △ABN ，Rt △RAB 中，∠BAN ＝∠ARB ，所以Rt △ABN ∽Rt △RAB ，则BN AB ＝AB RA ，得BN ＝12，易得CN ＝BN 2＋BC 2＝122＋12＝52.5.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1的中点．若点P 为侧面正方形ADD 1A 1内(含边界)动点，且B 1P ∥平面BEF ，则点P 的轨迹长度为()A.12B ．1C.52D.π2答案C 解析取A 1D 1的中点M ，连接AM ，B 1M ，AB 1，EM ，FM ，如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥B 1C 1且AD ＝B 1C 1，因为E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1的中点，则AE ∥B 1F 且AE ＝B 1F ，所以四边形AB 1FE 为平行四边形，则AB 1∥EF ，因为AB 1⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以AB 1∥平面BEF ，同理可证AM ∥平面BEF ，因为AB 1∩AM ＝A ，AB 1，AM ⊂平面AB 1M ，所以平面AB 1M ∥平面BEF ，因为AM ⊂平面AA 1D 1D ，若P ∈AM ，则B 1P ⊂平面AB 1M ，所以B 1P ∥平面BEF ，所以点P 在侧面AA 1D 1D 内的轨迹为线段AM ，由勾股定理可得AM ＝AA 21＋A 1M 2＝52.6．已知菱形ABCD 边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠成三棱锥B ′－ACD ，使得二面角B ′－AC －D 为60°，设E 为B ′C 的中点，F 为三棱锥B ′－ACD 表面上动点，且总满足AC ⊥EF ，则点F 轨迹的长度为()A ．23B ．33 C.3 D.332答案D 解析连接AC ，BD 交于点O ，连接OB ′，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，所以AC ⊥BD ，OB ′⊥AC ，△ABC ，△ACD ，△AB ′C 均为正三角形，所以∠B ′OD 为二面角B ′－AC －D 的平面角，于是∠B ′OD ＝60°，又因为OB ′＝OD ，所以△B ′OD 为正三角形，所以B ′D ＝OB ′＝OD ＝2×32＝3，取OC 的中点P ，取CD 的中点Q ，连接EP ，EQ ，PQ ，所以PQ ∥OD ，EP ∥OB ′，所以AC ⊥EP ，AC ⊥PQ ，EP ∩PQ ＝P ，所以AC ⊥平面EPQ ，所以在三棱锥B ′－ACD 表面上，满足AC ⊥EF 的点F 轨迹为△EPQ ，因为EP ＝12OB ′，PQ ＝12OD ，EQ ＝12B ′D ，所以△EPQ 的周长为3×32＝332，所以点F 轨迹的长度为332.二、多项选择题7．(2024·济南模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的各顶点均在表面积为12π的球面上，P 为该球面上一动点，则()A ．存在无数个点P ，使得PA ∥平面A 1B 1C 1D 1B ．当平面PAA 1⊥平面CB 1D 1时，点P 的轨迹长度为2πC ．当PA ∥平面A 1B 1CD 时，点P 的轨迹长度为2πD ．存在无数个点P ，使得平面PAD ⊥平面PBC答案ACD 解析因为该球的表面积为4πr 2＝12π，故半径r ＝3，且正方体的棱长满足(2r )2＝3a 2＝12，故棱长a ＝2，选项A ，由题意可知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且PA ∥平面A 1B 1C 1D 1，故PA ⊂平面ABCD ，则P 的轨迹为正方形ABCD 的外接圆，故有无数个点P 满足，故A 正确；选项B ，易知AC 1⊥平面CB 1D 1，且平面PAA 1⊥平面CB 1D 1，PA ⊂平面PAA 1，故P 的轨迹为矩形AA 1C 1C 的外接圆，其周长为2πr ＝23π，故B 错误；选项C ，因为PA ∥平面A 1B 1CD ，设过PA 且与平面A 1B 1CD 平行的平面为α，则P 的轨迹为α与外接球的交线，其半径为a 2＝1，周长为2π，故C 正确；选项D ，若平面PAD ⊥平面PBC ，则点P 在以四边形ABCD 为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球面交线为曲线，故有无数个点P 满足，故D 正确．8．(2023·长沙模拟)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为正方体表面上的动点，N 为线段AC 1上的动点，若直线AM 与AB 的夹角为π4，则下列说法正确的是()A ．点M 的轨迹确定的图形是平面图形B ．点M 的轨迹长度为π2＋22C ．C 1M 的最小值为2－1D ．当点M 在侧面BB 1C 1C 上时，33AN ＋MN 的最小值为1答案BCD 解析如图，建立空间直角坐标系，则D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，∵直线AM 与AB 的夹角为π4，当点M 在侧面AA 1D 1D 上时，AB ⊥AM ，不合题意；当点M 在底面A 1B 1C 1D 1和侧面CC 1D 1D (不包含边界)上时，点M 到直线AB 的距离大于AB 的长度，此时，AM 与AB 的夹角大于π4；当点M 在侧面AA 1B 1B 和底面ABCD 上时，可知线段AB 1，AC 满足题意；当点M 在侧面BCC 1B 1上时，由AB ⊥BM ，可知BM ＝AB ，此时弧B 1C 为所求．∴M 点的轨迹为线段AC ，AB 1，弧B 1C ，显然线段AC ，AB 1，弧B 1C 不共面，∴A 错误；对于B ，点M 的轨迹长度为π2＋22，∴B 正确；对于C ，若M 在线段AC 上，则C 1M 的最小值为1，同理，若M 在线段AB 1上，则C 1M 的最小值也为1，若M 在弧B 1C 上，则C 1M 的最小值为C 1B －1＝2－1，∴C 正确；对于D ，M (1，y ，z )(0≤y ≤1,0≤z ≤1)，且y 2＋z 2＝1，由题意设N (λ，λ，λ)，λ∈[0,1]，则33AN ＋MN ＝λ＋(1－λ)2＋(y －λ)2＋(z －λ)2≥λ＋(1－λ)2＝λ＋(1－λ)＝1，当且仅当y ＝z ＝λ，且y 2＋z 2＝1，即y ＝z ＝λ＝22时，等号成立，∴D 正确．三、填空题9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱B 1C 1的中点，N 为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN 与底面ABCD 所成的角为π3，则动点N 的轨迹长度为________．答案43π9解析如图所示，取BC 中点G ，连接MG ，NG ，由正方体的特征可知，MG ⊥底面ABCD ，故MN 与底面ABCD 的夹角即为∠MNG ，所以∠MNG ＝π3，则MG NG ＝tan π3⇒NG ＝233，故点N 在以G 为圆心，233为半径的圆上，又N 在底面正方形ABCD 上，即点N 的轨迹为图示中的圆弧 EF ，易知BG EG ＝1233＝32⇒∠EGB ＝π6⇒∠EGF ＝π－π6－π6＝2π3，所以动点N 的轨迹长度为233×2π3＝43π9.10.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，DE ⊥AB ，DC ＝8，DE ＝6.沿着DE 将△ADE 折起，使A 到达点A ′的位置，且平面A ′DE ⊥平面ADE .设P 为△A ′DE 内的动点，若∠EPB ＝∠DPC ，则点P 的轨迹长度为______．答案4π3解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,8,0)，E (6,0,0)，B (6,4,0)，设P (x ,0，z )，则PD →＝(－x ,0，－z )，PC →＝(－x ,8，－z )，PE →＝(6－x ,0，－z )，PB →＝(6－x ,4，－z )，∴cos ∠EPB ＝cos 〈PE →，PB →〉＝PE →·PB →|PE →||PB |→＝(6－x )2＋z 2(6－x )2＋z 2(6－x )2＋16＋z 2，cos ∠DPC ＝cos 〈PD →，PC →〉＝PD →·PC →|PD →||PC |→＝x 2＋z 2x 2＋z 2x 2＋64＋z 2，∵∠EPB ＝∠DPC ，∴cos ∠EPB ＝cos ∠DPC ，∴(6－x )2＋z 2(6－x )2＋z 2(6－x )2＋16＋z 2＝x 2＋z 2x 2＋z 2x 2＋64＋z 2，整理化简得x 2＋z 2－16x ＋48＝0，即(x －8)2＋z 2＝16，∴点P 的轨迹为圆弧，所在圆交A ′E 于P 1(6,0,23)，交DE 于P 2(4,0,0)，则|P 1P 2—→|＝(6－4)2＋(0－0)2＋(23－0)2＝4，∴ 12PP 所对应的圆心角α＝π3，∴弧长l ＝αr ＝π3×4＝4π3，即点P 的轨迹长度为4π3.。
2025年高考数学总复习47第六章微专题立体几何中的动态问题
微专题立体几何中的动态问题立体几何中的“动态问题”是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的、可变的一类开放型问题，因其某些点、线、面位置的不确定，往往成为学生进行一些常规思考、转化的障碍．但又因其是可变的、开放的，更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养，以下利用运动变化的观点对几种动态问题的类型加以分析，探求解决此类问题的若干途径．类型一空间位置关系的判定【例1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1上的动点，且EH∥FG，则必有()A．BD1⊥EH B．AD∥FGC．平面BB1D1D⊥平面EFGH D．平面A1BCD1∥平面EFGHB解析：当E与A1重合，H与D1重合时，BD1与EH的夹角即BD1与A1D1的夹角，显然BD1与A1D1的夹角不是π，故A错误．2当FG不与B1C1重合时，因为EH∥FG，EH⊂平面A1B1C1D1，FG⊄平面A1B1C1D1，所以FG∥平面A1B1C1D1.因为FG⊂平面BCC1B1，平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1＝B1C1，所以FG∥B1C1∥AD.当FG与B1C1重合时，显然FG∥AD，故B正确．当平面EFGH与平面BCC1B1重合时，显然平面BB1D1D与平面BCC1B1不垂直，故C错误．当FG与BC重合时，平面A1BCD1与平面EFGH相交，故D错误．【例2】如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是()A．三棱锥A-A1PD的体积大小与点P的位置有关B．A1P与平面ACD1相交C．平面PDB1⊥平面A1BC1D．AP⊥D1CC解析：对于选项A，VA-A1PD＝VP-AA1D.在正方体中，BC1∥平面AA1D，所以当点P运动时其到平面AA1D的距离不变，即三棱锥P-AA1D的高不变．又△AA1D的面积不变，因此三棱锥P-AA1D的体积不变，即三棱锥A-A1PD的体积与点P的位置无关，故A不成立．对于选项B ，由于BC 1∥AD 1，AD 1⊂平面ACD 1，BC 1⊄平面ACD 1，所以BC 1∥平面ACD 1，同理可证BA 1∥平面ACD 1.又BA 1∩BC 1＝B ，BA 1，BC 1⊂平面BA 1C 1，所以平面BA 1C 1∥平面ACD 1.因为A 1P ⊂平面BA 1C 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，故B 不成立．对于选项C ，因为A 1C 1⊥BD ，A 1C 1⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，所以A 1C 1⊥平面BB 1D ，则A 1C 1⊥B 1D ，同理A 1B ⊥B 1D .又A 1C 1∩A 1B ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1BC 1.又B 1D ⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面A 1BC 1，故C 成立．对于选项D ，当B 与P 重合时，AP 与D 1C 的夹角为π4，故D 不成立．解决空间位置关系的动点问题(1)应用“位置关系定理”转化． (2)建立“坐标系”计算． 类型二 轨迹问题【例3】(2024·韶关模拟)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面正方形ABCD 内的一动点．若△APC 1的面积S ＝12，则动点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分D 解析：设d 是△APC 1边AC 1上的高，则S △APC 1＝12|AC 1|·d ＝√32d ＝12，所以d ＝√33，即点P 到直线AC 1的距离为定值√33，所以点P 在以直线AC 1为轴，√33为底面半径的圆柱侧面上，直线AC 1与平面ABCD 既不平行也不垂直，所以点P 的轨迹是平面ABCD 上的一个椭圆，其中只有一部分在正方形ABCD 内．【例4】如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为AA 1，AB 的中点，点M 是正方形ABB 1A 1内的动点．若C 1M ∥平面CD 1EF ，则点M 的轨迹长度为________.√2 解析：如图，取A 1B 1的中点H ，B 1B 的中点G ，连接GH ，C 1H ，C 1G ，EG ，HF ，可得四边形EGC 1D 1是平行四边形，所以C 1G ∥D 1E .又C 1G ⊄平面CD 1EF ，D 1E ⊂平面CD 1EF ，所以C 1G ∥平面CD 1EF .同理可得C 1H ∥CF ，C 1H ∥平面CD 1EF .因为C1H∩C1G＝C1，C1H，C1G⊂平面C1GH，所以平面C1GH∥平面CD1EF.由点M是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，所以点M的轨迹长度为√12+12＝√2.解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定．(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算．(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．类型三最值问题【例5】已知在如图所示的正三棱锥P-ABC中，侧棱P A，PB，PC的长为√2，底面三角形ABC的边长为2，D为AC的中点，E为AB的中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM＋MN的最小值为()A．√6+√24B．√3+12C．√64D．√32B解析：将正三棱锥P-ABC放入棱长为√2的正方体AGIJ-PCHB中，如图1所示，先固定点M，那么MN的最小值即点M到平面PCE的距离．连接GH，设GH的中点为F，连接PF，DG.由题意，得平面PGF⊥平面PCE，且交线为PF，故MN⊥PF，所以点M在PD上运动时，点N在PF上运动．把平面AGP和平面PGF沿PG展开，示意图如图2所示，作AN′⊥PF交PG于点M′，则AN′即所求，(AM＋MN)min＝AN′＝AP·sin (45˚＋30˚)＝√3+12.【例6】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为b，且a≥b，点D是BC1的中点，则直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值是()A．√13013B．√63C．√33D．√3913D解析：如图，取A1B1的中点E，连接BE，C1E，则C1E⊥A1B1.由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，所以C1E⊥平面ABB1A1，取BE的中点F，连接AF，DF.因为D为BC1的中点，所以DF∥C1E，所以DF⊥平面ABB1A1，所以∠DAF即为直线AD与侧面ABB1A1所成的角．在Rt△AFD中，DF＝12C1E＝√34a，AF＝√(34a)2+(12b)2＝√9a2+4b24，所以tan ∠DAF＝DFAF√3a√√13+4b23a2≥√13+43＝√3913，当且仅当a＝b时，等号成立，所以直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值为√3913.在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是：(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．(2)函数思想：通过建立坐标系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．。
高考数学一轮复习立体几何中的动态问题
B．2π
C．2 3
D．4
()
[解析]因为 H，F，M 分别为 A′B′，AB，BC 的中点，所以 FM ∥AC，HF∥AA′，所以 FM∥平面 ACC′A′，HF∥平面 ACC′A′， 又因为 FM∩HF＝F，所以平面 HFM∥平面 ACC′A′，要使 MP∥平 面 ACC′A′，则 MP⊂平面 HFM，所以点 P 的轨迹为线段 HF，点 P 的轨迹长度为 4.
[答案] 2＋2
[方法技巧] 求两点间的距离或其最值．一种方法，可建立坐标系，设点的 坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另 一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的最大(小) 距离，求其值．
[针对训练] (2023·新乡一模)如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3，点 H 在棱 AA1 上，且 HA1＝1，P 是侧面 BCC1B1 内一动点，HP＝ 13，则 CP 的最小值为 ( ) A. 13－2 B. 13－3 C. 15－2 D. 15－3
则四边形 PQC1A1 就是过点 A1，C1，P 的截面，设 PB
＝BQ＝x(0≤x≤2)，则台体 PBQ-A1B1C1 的体积为31
×2×2＋21x2＋ 2×12x2＝372×8，解得 x＝12，所以 PQ＝ 22，A1P＝C1Q
＝
4＋49＝52，A1C1＝2
2，所以截面的周长为25×2＋2
2＋
22＝5＋5
D．当 N 与 C 重合时，α 将长方体分成体积比为 7∶17 的两部分
[解析]对于 A，截面 α 可能为四边形或五边 形，不能是六边形，A 错误；对于 B，若存在点 N，使得 BN⊥截面 α，则 BN⊥B1N，则 N 为 CC1 中点，此时 BN 与 B1M 不垂直，∴不存在 点 N，使得 BN⊥截面 α，B 错误；对于 C，当截面为平行四边形时，在 平面 C1B1BC 内过点 N 作 B1C1 的平行线，交 BB1 于 P，过点 P 作 B1M 的 垂线，垂足为 Q，连接 NQ，则 NP⊥平面 AA1B1B，∵斜线 NQ 在平面 AA1B1B 的射影为 PQ，则 NQ⊥B1M；设 B1P＝x(0≤x≤1)，∵△PQB1 ∽△B1A1M，∴PQ＝ 22x，QN＝ 1＋12x2，
高考数学 立体几何动态问题
立体几何的动态问题立体几何的动态问题，主要有五种：动点问题、翻折问题、旋转问题、投影与截面问题以及轨迹问题。
基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等。
解题时一般可以通过改变视角、平面化或者寻找变化过程中的不变因素而把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中，若能再配以沉着冷静的心态去计算，那么相信绝大多数问题可以迎刃而解。
动点轨迹问题空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面（圆锥，圆柱侧面，球面）交线得圆，圆锥曲线。
很少有题目会脱离这三个方向。
（注意：阿波罗尼斯圆，圆锥曲线第二定义）1．（2015·浙江卷8）如图11-10，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是()A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支式题如图，平面α的斜线AB交α于B点，且与α所成的角为θ，平面α若动点C的轨迹为椭圆，则θ的取值范围为________．3．（2015春•龙泉驿区校级期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在的曲线是直线；②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在的曲线是圆；③若P满足∠MAP＝∠MAC1，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆；④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为2：1，则动点P的轨迹所在的曲线是双曲线；⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．14．（2018•温州模拟）已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C 运动，点H运动的轨迹（）A．是圆B．是椭圆C．是抛物线D．不是平面图形5．（2013•铁岭模拟）如图所示，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6．若tan∠ADP﹣2tan∠BCP＝1，则动点P在平面α内的轨迹是（）A．椭圆的一部分B．线段C．双曲线的一部分D．以上都不是6．（2013•嘉兴二模）设m是平面α内的一条定直线，P是平面α外的一个定点，动直线n经过点P且与m成30°角，则直线n与平面α的交点Q的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．（2008•浙江）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线8．（2015春•台州校级月考）AB是平面α的斜线段，长度为2，点A是斜足，若点P在平面α内运动，当△ABP 的面积等于3 时，点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线9．（2016•浙江二模）在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2．若点M 在△ABC 所在平面上运动，且使得△AC 1M 的面积为1，则动点M 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．（2016•武汉校级模拟）如图，AB 是平面α外的固定斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且∠CAB 等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线11．（2008年浙江·理10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是 （ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线12.（2014年金华高二十校联考·文10）圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，M 为正方形ABCD 对角线的交点，动点P 在圆柱下底面内（包括圆周），若直线BM 与直线MP 所成角为45°，则点P 形成的轨迹为 ( ) A ．椭圆的一部分B ．抛物线的一部分C ．双曲线的一部分D . 圆的一部分13．（2014•杭州二模）在等腰梯形ABCD 中，E ，F 分别是底边AB ，BC 的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起后所在的平面记为α，p ∈α，设PB ，PC 与α所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为零）．若θ1＝θ2，则满足条件的P 所形成的轨迹是 ．ABP B ACDMP14．（2018秋•诸暨市校级期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，E，F分别是棱AD，BP上的动点，且满足AE＝2BF，则线段EF中点的轨迹是（）A．一条线段B．一段圆弧C．抛物线的一部分D．一个平行四边形15．（2015秋•太原期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱A1B1的中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，给出下列结论：①若BQ⊥A1C，则动点Q的轨迹是线段；②若|BQ|＝，则动点Q的轨迹是圆的一部分；③若∠QBD1＝∠PBD1，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分；④若点Q到AB与DD1的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线的一部分．其中结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．16．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝BC＝，AA，上底面A′B′C′D′的中心为O′，当点E在线段CC′上从C移动到C′时，点O′在平面BDE上的射影G的轨迹长度为（）A．B．C．D．17．（2016秋•温州期末）点P为棱长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A．B．C．D．18．（2018•宁波二模）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为侧面BB1C1C中心，F在棱AD上运动，正方体表面上有一点P满足＝x（x≥0，y≥0），则所有满足条件的P点构成图形的面积为．19．（2017•定海区校级模拟）已知异面直线a，b所成角为60°，直线AB与a，b均垂直，且垂足分别是点A，B 若动点P∈a，Q∈b，|PA|+|QB|＝m，则线段PQ中点M的轨迹围成的区域的面积是．20．（2017秋•赣州期末）如图，在等腰梯形ABCD中，CD＝2AB＝2EF＝2a，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得平面BEFC⊥平面ADFE．若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE 所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为0）．若θ1＝θ2，则动点P的轨迹围成的图形的面积为（）A．B．C．D．翻折问题面（动问题）翻折问题的一线五结论.DF AE⊥一线：垂直于折痕的线即五结论：1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；折线两侧的几何量和位置关系发生改变；2--D HF D H F''∠）是二面角的平面角；3D DF'）在底面上的投影一定射线上；1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD中，AD=AB=2，CD=CB= 5,且AD AB⊥，现将△ABD沿对角线BD翻折成'A BD∆，则在'A BD∆折起至转到平面BCD的过程中，直线'A C与平面BCD所成最大角的正切值为_______2.（2015年10月浙江省学业水平考试18）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F。
新高考数学二轮复习立体几何中的动态问题
考点二 折叠、展开问题
例2 (多选)已知菱形ABCD的边长为2，∠ADC＝60°，
将△ACD沿AC翻折，使点D与点B重合，如图所示.
记点P为翻折过程中点D的位置(不包含在点B处的位
置)，则下列结论正确的是
√A.无论点P在何位置，总有AC⊥PB √B.存在点P，使得AB⊥PC
C.当 PB＝2 时，M 为 PB 上一点，则 AC1， 所以四边形ABC1D1为平行四边形， 所以AD1∥BC1，则AD1⊥A1P，故选项A正确； 对于B，如图，连接A1C1，C1D，A1D，B1C， 因为B→P＝λB→C＋μ—BB→1(λ，μ∈R)且 λ＋μ＝1，
由向量基本定理可知点B1，C，P共线， 即点P在直线B1C上，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 因为A1B1∥DC，且A1B1＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所 以A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，BC1⊄平面A1C1D，
法进行计算.
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.
跟踪演练1 在四边形 ABCD 中，BC∥AD，AB＝BC＝CD＝12AD，P 为空间中 的动点，PA＝PB＝AB＝2，E 为 PD 的中点，则动点 E 的轨迹长度为
A. 2
B. 3
C. 2π
√D. 3π
如图，取AP的中点F，连接EF，BF. 因为EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC. 因为 EF＝12AD，BC＝12AD，所以 EF＝BC， 故四边形EFBC为平行四边形，则有CE∥BF，且CE＝BF， 则有点F的轨迹长度与点E的轨迹长度相同， 过点F作FH⊥AB于点H，则点F的轨迹是以H为圆心、FH长为半径的圆， 且 FH＝ 23，故点 F 的轨迹长度为 3π.
高考热点问题14 动态的立体几何问题
高考热点问题14 动态的立体几何问题动态的立体几何问题包括不变性、变量取值范围、轨迹、存在性等问题，此类问题需要灵活运用有关知识，需要建立一些数学模型，进行推理与论证，及代数运算，这类问题考查学习潜能与创新意识。
题81 特殊位置 答案显现在等腰直角ABC ∆中，,2,AB AC BC M ⊥=为BC 中点，N 为AC 中点，D 为BC 边上一个动点，ABD ∆沿AD 翻折使BD DC ⊥,点A 在面BCD 上的投影为点O ,当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是（ ）（A ）线段NO 为定长 （B ）CO ∈ (C)180AMO ADB ∠+∠>︒ (D)点O 的轨迹是圆弧 【问题特征】动态的立体几何问题中的综合问题 【问题的解答】思路 从几何角度分析并推理论证 解法1 解法2 解法3【注意点】1.一个命题是真命题需要严格的证明，而说明一个命题是假命题，只需举出反例，选出本题答案并不难，只需考虑点D 在BC 上的特殊位置，当点D 在CM 上时选项（C ）是错误的， 即可选出答案。
2.说明本题选项（D ）正确，运用了常见结论：两个相交的球面的交线是圆。
【相关问题】1.如图，在直二面角A BD C --中，,ABD CBD ∆∆均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ,将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能成立的是（ ）（A ）BC 与平面1A BE 内某直线平行 （B ）//CD 平面1A BE(C) BC 与平面1A BE 内某直线垂直 （D ）1BC A B ⊥2. 如图5，正方体1111ABCD A B C D -， P 在直线1BC 上运动，给出下列四个命题： ①三棱锥PC D A 1-的体积不变；②直线AP 与平面ACD 1所成的角的大小不变； ③二面角C AD P --1的大小不变；④M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点， 则M 点的轨迹是过1D 点的直线A 1D 1其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）A 1 A EB C （图3）（图5）题82 特殊化思想 最小角定理正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1AC 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ） （A ）[,]43ππ（B ） [,]42ππ （C ） [,]62ππ （D.）[,]63ππ【问题特征】立体几何中的变量取值范围问题 【问题的解答】 思路1 淘汰法 解法1思路2 运用最小角定理解法2【注意点】C 1 A（图1）【相关问题】1. 如图2，菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。
立体几何 高中数学难点突破
专业专心专注高中数学难点突破之动态立体几何1如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是()A.对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B.三棱锥P -ADD 1的体积为13C.线段DP 长度的最小值为62D.存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3【解析】：连接DB ，DC 1，由BB 1∥DD 1，且BB 1=DD 1，得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，得BD ∥平面AB 1D 1，同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1=D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1，∵DP ⊂平面DBC 1，∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确；V P -ADD 1=V C 1-ADD 1=13×12×1×1×1=16，故B 错误；当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为(2)2-222=62，故C 正确；当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为62，最大值为2，则PC 长度的范围为22，1，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1，则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[1，2]．最大值小于3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3，故D 错误．故选：AC ．2在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1B 1的中点，N 在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是()第1页共25页专注专心A.存在点N ，使得MN ∥BC 1B.三棱锥M -A 1BC 1的体积等于94C.有且仅有两个点N ，使得MN ∥平面A 1BC 1D.有且仅有三个点N ，使得N 到平面A 1BC 1的距离为3【解析】：对于A ，显然无法找到点N ，使得MN ∥BC 1，故A 错；对于B ，V M -A 1BC 1=V B -A 1MC 1=13S △A 1MC 1⋅B 1B =13×12×32×3×3=94，故B 正确；对于C ，如图所示N 1，N 2分别为B 1B ，B 1C 1中点，有MN 1∥平面A 1BC 1，MN 2∥平面A 1BC 1，故C 正确；对于D ，易证B 1D ⊥平面A 1BC 1，B 1D ⊥平面ACD 1，且B 1O 1=O 1O 2=O 2D =13B 1D =3，所以有点B 1，A ，C ，D 1，四点到平面A 1BC 1的距缡为3，故D 错．故选：BC ．3已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为棱AD 上的动点，平面α过点E 且与平面A 1DC 1平行，则()A.B 1E ⊥CD 1B.三棱锥E -B 1C 1D 1的体积为定值C.D 1E 与平面A 1DC 1所成的角可以是π3D.平面α与底面ABCD 和侧面CDD 1C 1的交线长之和为22【解析】：对于A ，∵四边形CDD 1C 1为正方形，∴CD 1⊥C 1D ，∵B 1C 1⊥平面CDD 1C 1，CD 1⊂平面CDD 1C 1，∴B 1C 1⊥CD 1，又B 1C 1∩C 1D =C 1，B 1C 1，C 1D ⊂平面AB 1C 1D ，∴CD 1⊥平面AB 1C 1D ，∵B 1E ⊂平面AB 1C 1D ，∴B 1E ⊥CD 1，A 正确；对于B ，∵AD ∥A 1D 1∥B 1C 1，AD ⊄平面B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D 1，∴AD ∥平面B 1C 1D 1，又E ∈AD ，∴点E 到平面B 1C 1D 1的距离即为AA 1=1，∴V E -B 1C 1D 1=13S △B 1C 1D 1⋅AA 1=13×12×1×1×1=16，B 正确；第2页共25页专业专心专注对于C ，以D 为坐标原点，DA，DC ，DD 1正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，D (0，0，0)，C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，则DA 1 =(1，0，1)，DC 1=(0，1，1)，设平面A 1DC 1的法向量n=(x ，y ，z )，则DA 1⋅n=x +z =0DC 1 ⋅n=y +z =0，令x =1，解得：y =1，z =-1，∴n =(1，1，-1)，设E (λ，0，0)(0≤λ≤1)，则D 1E=(λ，0，-1)，∴|cos <D 1E ，n >|=|D 1E ⋅n||D 1E |⋅|n |=λ+13λ2+3，若D 1E 与平面A 1DC 1所成的角为π3，则|cos ‹D 1E ，n ›|=λ+13λ2+3=12，方程无解，∴D 1E 与平面A 1DC 1所成的角不能为π3，C 错误；将底面ABCD 和侧面CDD 1C 1沿CD 展开到同一平面，则E ，F ，G 三点共线且EG ∥AC ，∴EG =AC =2，D 错误．故选：AB ．4在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，N 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1D 1上的动点(不包括两个端点)，M 为线段AP 的中点，则下列结论正确的是()第3页共25页专业专注专心A.CM 与PN 是异面直线B.|CM |>|PN |C.过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定不是等腰梯形D.平面PAN ⊥平面BDD 1B 1【解析】：连接PC ，∵点M ∈PA ，PA ⊂平面PAC ，∴M 点在平面PAC上，∴CM ⊂平面PAC ，∵点N ∈AC ，AC ⊂平面PAC ，∴点N 在平面PAC 上，即PN ⊂平面PAC ，∴PN ，CM 不是异面直线，故A 错误；以D 为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，记∠PAC =θ，则：PN 2=AP 2+AN 2-2AP •AN •cos θ=AP 2+14AC 2-AP ⋅AC cos θ，CM 2=AC 2+AM 2-2AC •AM cos θ=AC 2+14AP 2-AP ⋅AC cos θ，∵AP <AC ，CM 2-PN 2=34(AC 2-AP 2)>0，CM 2>PN 2，∴|CM |>|PN |，故B 正确；第4页共25页专业专心专注取C 1D 1的中点E ，连接CE ，PE ，则PE ∥AC ，PE =12AC ，如图，∴四边形PECA 是梯形，∵AP 2=A 1P 2+AA 21=C 1E 2+CC 21=CE 2，∴AP =CE ，∴此时四边形PECA 是等腰梯形，故C 错误；∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，如图，∵DD 1⊥底面ABCD ，∴DD 1⊥AC ，∵DD 1∩BD =D ，∴AC ⊥平面DD 1B 1B ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面BDD 1B 1，∴平面PAN ⊥平面BDD 1B 1，故D 正确．故选：BD ．5已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，下列结论正确的有()A.异面直线CA 1与B 1D 1所成角的大小为π3B.若E 是直线AC 上的动点，则D 1E ∥平面A 1BC 1C.与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是32D.若此正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截正方体所得截面面积的最大值是3【解析】：如图1，由正方体的结构特征可知，A 1C 1是CA 1在上底面的射影，且B 1D 1⊥A 1C 1，∴CA 1⊥B 1D 1，即异面直线CA 1与B 1D 1所成角的大小为π2，故A 错误；第5页共25页专注专心由正方体结构特征可知，A 1D 1∥BC ，A 1D 1=BC ，得四边形BA 1D 1C 为平行四边形，可得A 1B ∥D 1C ，∵A 1B ⊂平面A 1BC 1，D 1C ⊄平面A 1BC 1，∴D 1C ∥平面A 1BC 1，同理可得D 1A ∥平面A 1BC 1，又D 1A ∩D 1C =D 1，则平面D 1AC ∥平面A 1BC 1，而D 1E ⊂平面D 1AC ，∴D 1E ∥平面A 1BC 1，故B 正确；平面A 1BC 1为一个与正方体的每个面都有公共点，且截面面积最小的面，其面积为S =12×2×2×sin60°=32，故C 正确；如图2，若此正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，只需平面α与过同一顶点的三条棱所成角相等，设AP =AQ =AR ，则平面PQR 与正方体过顶点A 的三条棱所成角相等，若点E 、F 、G 、H 、M 、N 分别为相应棱的中点，可得平面EFGHMN ∥平面PQR ，且六边形EFGHMN 为正六边形，正方体棱长为1，则正六边形的边长为22，此时正六边形的面积为334，为截面最大面积，故D 错误．故选：BC ．6在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为侧面BCC 1B 1(不含边界)内的动点，Q 为线段A 1C 上的动点，若直线A 1P 与A 1B 1的夹角为45°，则下列说法正确的是()A.线段A 1P 的长度为2B.33A 1Q +PQ 的最小值为1C.对任意点P ，总存在点Q ，使得D 1Q ⊥CPD.存在点P ，使得直线A 1P 与平面ADD 1A 1所成的角为60°【解析】：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，第6页共25页专业专心专注则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)，C 1(0，1，1)，设P (x 1，1，z 1)，Q (x 2，y 2，z 2)，由直线A 1P 与A 1B 1的夹角为45°，得到：A 1P =(x 1-1，1，z 1-1)，A 1B 1 =(0，1，0)，∵直线A 1P 与A 1B 1的夹角为45°，∴cos45°=A 1P ⋅A 1B 1 |A 1P |⋅|A 1B 1 |=1(x 1-1)2+1+(z 1-1)2，解得(x 1-1)2+(z 1-1)2=1，Q 为线段A 1C 上的动点，则A 1Q =λA 1C(0≤λ≤1)，解得Q (1-λ，λ，1-λ)．对于A ，|A 1P|=(x 1-1)2+(z 1-1)2+1=2，故A 正确；对于B ，过点Q 作平面ABCD 的垂线，垂足为R ，∵sin ∠ACA 1=AA 1A 1C =33，∴33A 1Q +PQ 的最小值等价于求QP -QR +1，∵|QR |=1-λ，|QP |=(1-λ+x 1)2+(λ-1)2+(1-λ-z 1)2，∴|QP |2=(1-λ-x 1)2+(λ-1)2+(1-λ-z 1)2≥(λ-1)2=|QR|2，当且仅当x 1=z 1=1-λ时成立，结合(x 1-1)2+(z 1-1)2=1，可得此时λ=22，故B 正确；对于C ，若D 1Q ⊥CP ，则由D 1Q =(1-λ，λ，-λ)，CP =(x 1，0，z 1)，得D 1Q ⋅CP=x 1(1-λ)-z 1λ=0，又(x 1-1)2+(z 1-1)2=1，∴λ2(λ-1)2+1z 21+2λλ-1-2 z 1+1=0，Δ=2λλ-1-2 2-4×λ2(λ-1)2+1×1=-8λλ-1，∵0≤λ≤1，∴Δ=2λλ-1-2 2-4×λ2(λ-1)2+1×1=-8λλ-1≥0，∴对任意点P ，总存在点Q ，使得D 1Q ⊥CP ，故C 正确；对于D ，平面ADD 1A 1的法向量为n=(0，1，0)，若直线A 1P 与平面ADD 1A 1所成的角为60°，即直线A 1P 与平面ADD 1A 1的法向量成30°角，∴cos30°=A 1P ⋅n |A 1P |⋅|n |=1(x 1-1)2+1+(z 1-1)2，解得32=12，矛盾，故D 错误．故选：ABC ．7在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别为棱BC ，CD ，CC 1的中点，P 是线段A 1C 1上的动点(含端点)，则下列说法正确的有()第7页共25页专注专心A.PM ⊥BDB.异面直线BP 与AC 所成角的取值范围是π4，π2C.PE 与平面ABCD 所成角正切值的最大值为22D.过EF 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38π【解析】：对于A ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥BD ，又AC ⊥BD ，且AC ∩AA 1=A ，AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，又PM ⊂平面ACC 1A 1，又PM ⊂平面ACC 1A 1，则PM ⊥BD ，故A正确；对于B ，当点P 与线段A 1C 1的端点重合时，异面直线BP 与AC 所成角取得最小值为π3，∴异面直线BP 与AC 所成角的取值范围是π3，π2，故B 错误；对于C ，点P 在平面ABCD 上的射影N 在AC 上，连接NE ，则∠PEN 是PE 与平面ABCD 所成的角，由正方体的棱长为1，则PN =1，tan ∠PEN =PN NE =1NE ，∴EN 的最小值即为E 到直线AC 的距离为24，∴tan ∠PEN 的最大值为124=22，故C 正确；对于D ，设EF ∩AC =H ，∵正方体外接球的球心为正方体中心O ，半径为R =32，过EF 作该正方体外接球的截面，截面的面积最小者是直径过EF 的圆面，第8页共25页专业专心专注OH 垂直于此圆面，设其半径为r ，AC ∩BD =Q ，∵OH 2=OQ 2+HQ 2，∴r 2=R 2-OQ 2-HQ 2=32 2-122-242=38，截面面积为πr 2=3π8，故D 正确．故选：ACD ．8如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则()A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.点P 到平面A 1C 1D 的距离为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是π3，π2D.直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为33【解析】：如图，对于A ，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1=B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，第9页共25页∵A1C1∩DC1=C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正确；对于B，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，故B正确；对于C，当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A1D所成角取得最小值为π3，故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是π3，π2，故C正确，对于D，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图示：设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为1，P(a，1，a)，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，DA1=(1，0，1)，DC1=(0，1，1)，C1P=(a，0，a-1)，设平面A1C1D的法向量n=(x，y，z)，则n⋅DA1=x+z=0n⋅DC1=y+z=0，取x=1，得n =(1，1，-1)，∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：|n ⋅C1P||n |⋅|C1P|=13⋅a2+(a-1)2=13⋅2a-122+12，∴当a=12时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为63，故D错误．故选：ABC．9在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，点P在正方体的面CC1D1D内(含边界)移动，则下列结论正确的是()A.当直线B1P∥平面A1BD时，则直线B1P与直线CD1所成角可能为π4B.当直线B1P∥平面A1BD时，P点轨迹被以A为球心，54为半径的球截得的长度为12C.若直线B1P与平面CC1D1D所成角为π4，则点P的轨迹长度为π2D.当直线B1P⊥AB时，经过点B，P，D1的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为62，2【解析】：对于A，如图，连接CB1，CD1，B1D1，由正方体性质知CB1∥DA1，第10页共25页专业专注专心专业专心专注同理可证CD 1∥平面A 1BD ，又CB 1∩CD 1=C ，∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，由B ∈平面CB 1D 1，面CB 1D 1∩面CC 1D 1D =CD 1，且P 在正方体的面CC 1D 1D 内，∴要使直线B 1P ∥平面A 1BD ，则B 1P ⊂平面CB 1D 1，即P ∈CD 1，又△CB 1D 1是等边三角形，∴P 在CD 1上运动时，直线B 1P 与直线CD 1所成角为π3，π2，故A 错误；对于B ，由选项A 的分析得直线B 1P ∥平面A 1BD ，P 点轨迹为线段CD 1，取CD 1中点H ，连接AD1，AH ，∵△ACD 1是等边三角形，∴AH =AD 21-HD 21=2-12=62，以A 为球心，54为半径的球截CD 1的长度为254 2-62 )2=12，故B 正确；对于C ，由B 1C 1⊥平面CC 1D 1D ，由题意B 1D 1、B 1C 与面CC 1D 1D 夹角为π4，∴要直线B 1P 与平面CC 1D 1D 所成角为π4，则P 点轨迹是以C 1为圆心CD 1为半径的14圆，如图，∴点P 的轨迹长度为14×2π=π2，故C 正确；对于D ，若B 1P ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴B 1P ⊥CD ，∵CD ⊥平面BB 1C 1C ，B 1∈平面BB 1C 1C ，又面BB 1C 1C ∩面CC 11D =CC 1，∴P 点轨迹为线段CC 1，过D 1作D 1E ∥BP ，交AA 1于E ，连接BE ，则截面BPD 1E 为平行四边形，如图，第11页共25页专注专心当P 与C 或C 1重合时，截面为矩形，此时面积最大，为2；当P 为CC 1的中点时，截面为菱形，此时面积最小，为12×3×2=62，∴截面面积的取值范围为62，2，故D 正确．故选：BCD ．10如图，矩形ABCD 中，AB =2AD =2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是()A.翻折到某个位置，使得DA 1⊥ECB.翻折到某个位置，使得A 1C ⊥平面A 1DEC.四棱锥A 1-DCBE 体积的最大值为24D.点M 在某个球面上运动【解析】：对于A 选项，由题知A 1D ⊥A 1E ，若存在某个位置使得DA 1⊥EC ，由于A 1E ⋂EC =E ，故A 1D ⊥平面A 1EC ，即A 1D ⊥A 1C ，由于AB =2AD =2，故A 1C =3，由于在折叠过程中，A 1C ∈(1，5)，所以存在某个位置，使得A 1C =3，故存在某个位置，使得DA 1⊥EC ，故A 选项正确；对于B 选项，若存在某个位置，使得AC ⊥平面A 1DE ，则有AC ⊥DE ，另一方面，在矩形ABCD 中，∠AED =π4，∠CAE ≠π4，故AC ⊥DE 不成立，所以B 选项错误；对于C 选项，四棱锥A 1-DCBE 体积的最大时，平面A 1DE ⊥平面ABCD ，由于△A 1DE 是等腰直角三角形，所以此时点A 1到平面DCBE 的距离为22，所以四棱锥A 1-DCBE 体积的最大值为V =13S BCDE ⋅22=13×12×(2+1)×1×22=24，故C 选项正确；对于D 选项，取DC 中点O ，连接OM ，由于M 为线段A 1C 的中点，所以OM ∥A 1D ，OM =12A 1D =12，所以M 在以点O 为球心的球面上，故D 选项正确．故选：ACD ．第12页共25页专业专心专注11如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是CD ，A 1B 1，DD 1，BC 的中点，则下列说法正确的有()A.E ，F ，M ，N 四点共面B.BD 与EF 所成的角为π3C.在线段BD 上存在点P ，使PC 1⊥平面EFMD.在线段A 1B 上任取点Q ，三棱锥Q -EFM 的体积不变【解析】：以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，令AB =2，则E (0，1，0)，F (2，1，2)，M (0，0，1)，N (1，2，0)，∴EF =(2，0，2)，FM =(-2，-1，-1)，MN =(1，2，-1)，取向量m =(1，-1，-1)，注意到m ⋅EF =m ⋅FM=m ⋅MN =0即平面EFM 和平面FMN 的法向量相同，据此可得E ，F ，M ，N 四点共面，选项A 正确；由于B (2，2，0)，D (0，0，0)，E (0，1，0)，F (2，1，2)，故BD =(-2，-2，0)，EF =(2，0，2)．由于BD ⋅EF =-4，|BD |=|EF |=8，第13页共25页专业专注专心故设BD 与EF 所成的角为θ，则|cos θ|=|BD ⋅EF ||BD |×|EF |=48=12，∴θ=π3，选项B 正确；对应选项C ，设P (m ，m ，0)(0≤m ≤2)，G (0，2，2)，∴PC 1=(-m ，2-m ，2)，由于平面EFM 的法向量m=(1，-1，-1)，故PC 1 ⋅m=-m +m -2-2≠0，据此可得选项C 错误；由于A 1(2，0，2)，B (2，2，0)，E (0，1，0)，M (0，0，1)，故A 1B =(0，2，-2)，EM =(0，-1，1)，∴A 1B ∥EM ，从而有直线A 1B ∥平面EFM ，点Q 到平面EFM 的距离为定值，选项D 正确．故选：ABD ．12如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段CD 1上的动点，则下列判断正确的是()A.无论点E 在线段CD 1的什么位置，三棱锥A 1-ABE 的体积为定值B.无论点E 在线段CD 1的什么位置，都有AC 1⊥B 1EC.当点E 与线段CD 1的中点重合时，B 1E 与AC 1异面D.若异面直线B 1E 与AD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为33【解析】：A ．如图所示：因为CD 1∥平面A 1ABB 1，所以点E 到平面A 1ABB 1的距离为BC ，而S △A 1AB =12×A 1A ×AB ，所以三棱锥A 1-ABE 的体积为V E -A 1AB =16×A 1A ×AB ×BC 是定值，故正确；B ．如图所示：第14页共25页专业专心专注因为B 1C 1⊥平面C 1CDD 1，则B 1C 1⊥CD 1，又C 1D ⊥CD 1，且B 1C 1⋂C 1D =C 1，所以CD 1⊥平面B 1C 1DA ，则CD 1⊥AC 1，同理B 1D 1⊥AC 1，又CD 1⋂B 1D 1=D 1，所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，又B 1E ⊂平面B 1D 1C ，所以AC 1⊥B 1E ，故正确；C．如图所示：当点E 与线段CD 1的中点重合时，B 1E ⊂平面AB 1C 1D ，AC 1⊂平面AB 1C 1D ，则B 1E 与AC 1相交，故错误；D．建立如图所示空间直角坐标系：设E (x ，2，2-x )，则B 1(2，0，2)，A (0，0，0)，D (0，2，0)，所以AD =(0，2，0)，B 1E =(x -2，2，-x )，则cos θ=|AD ⋅B 1E ||AD |⋅|B 1E |=2(2-x )2+4+x 2=22[(x -1)2+3]，所以sin θ=1-cos 2θ=1-2(x -1)2+3，当x =1时，sin θ的最小值为33，故错误．故选：AB ．13在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =2．若点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，则()A.AG ⊥平面PBDB.直线FG 和直线AB 所成的角为π4C.当点T 在平面PBD 内，且TA +TG =2时，点T 的轨迹为一个椭圆D.过点E ，F ，G 的平面与四棱锥P -ABCD 表面交线的周长为22+6【解析】：将该正四棱锥补成正方体，可知AG 位于其体对角线上，则AG ⊥平面PBD ，故A 正确；设PB 中点为H ，则FG ∥AH ，且∠HAB =π4，故B 正确；∵TA +TG =2，∴T 在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，又平面PBD 与其长轴垂直，∴截面为圆，故C 错误；第15页共25页专注专心设平面EFG 与PB ，PD 交于点M ，N ，连接PE ，EC ，PF ，FC ，EM ，MG ，GN ，NF，∵PA =BC ，AE =BE ，∠PAE =∠CBE ，∴△PAE ≌△CBE ，∴PE =CE ，而PG =GC ，故EG ⊥PC ，同理FG ⊥PC ，而FG ∩EG =G ，∴PC ⊥平面EFG ，而EM ⊂平面EFG ，则PC ⊥EM ，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，∵BC ⊥AB ，PA ∩AB =A ，∴BC ⊥平面PAB ，∵EM ⊥平面PBC ，而PB ⊂平面PBC ，则EM ⊥PB ，∴BM =EM =22BE =22，同理，FN =DN =22，又PG =3，PM =22-22=322，则GM =GN =62，而EF =12BD =2，∴交线长为EF +EM +MG +GN +FN =22+6，故D 正确．故选：ABD ．14如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 在底面正方形ABCD 内运动，则下列结论正确的是()第16页共25页专业专心专注A.存在点M 使得A 1M ⊥平面D 1B 1CB.若A 1M =2，则动点M 的轨迹长度为2π2C.若A 1M ∥平面D 1B 1C ，则动点M 的轨迹长度为2D.若A 1M ⊂平面A 1DB ，则三棱锥B 1-MD 1C 的体积为定值【解析】：以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，2，0)、B 1(2，2，2)、D 1(0，0，2)、A 1(2，0，2)，设点M (x ，y ，0)，其中0≤x ≤2，0≤y ≤2，设平面D 1B 1C 的法向量为m=(x 1，y 1，z 1)，CD 1 =(0，-2，2)，CB 1 =(2，0，2)，则m ⋅CD 1=-2y 1+2z 1=0m ⋅CB 1 =2x 1+2z 1=0，取z 1=-1，则m =(1，-1，-1)，A 1M =(x -2，y ，-2)，若A 1M ⊥平面D 1B 1C ，则A 1M ∥m ，则x -2=-y =2，解得x =22，y =-2，不合乎题意，A 错；对于B 选项，若|A 1M |=(x -2)2+y 2+2=2，可得(x -2)2+y 2=2，则点M 在平面ABCD 内的轨迹是以点A 为圆心，半径为2的圆的14，所以，动点M 的轨迹长度为2π2，B 对；对于C 选项，若A 1M ∥平面D 1B 1C ，则A 1M ⊥m，则A 1M ⋅m=x -2-y +2=x -y =0，所以，点M 在底面ABCD 的轨迹为线段BD ，故点M 的轨迹长度为BD =2，C 错；对于D 选项，因为平面A 1BD ∩平面ABCD =BD ，若A 1M ⊂平面A 1BD ，则点M 的轨迹为线段BD ，因为BB 1∥DD 1且BB 1=DD 1，所以，四边形BB 1D 1D 为平行四边形，所以，BD ∥B 1D 1，∵M ∈BD ，则点M 到平面D 1B 1C 的距离为定值，又因为△D 1B 1C 的面积为定值，则V B 1-MD 1C =V M -D 1B 1C 为定值，D 对；故选：BD ．15如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为D 1D 的中点，连接BM ，设BM 的中点为第17页共25页专业专注专心E ，动点N 在底面正方形ABCD 内(含边界)运动，则下列结论中正确的是()A.存在无数个点N 满足AN ⋅BM =0B.若AN =2NC ，则A 1，E ，N 三点共线C.若|NB |+|ND |=23，则|A 1N |的最大值为7D.若MN 与平面ABCD 所成的角为π3，则点N 的轨迹为抛物线的一部分【解析】：根据题意，依次分析选项，对于A ，连接BD 、AC ，易得AC ⊥BD 且AC ⊥DM ，则AC ⊥面BDM ，则有AC ⊥BM ，当N 在线段AC 上时，则有AN ⊥BM ，必有AN ⋅BM =0，故存在无数个点N 满足AN ⋅BM=0，A 正确；对于B ，若AN =2NC ，即AN =23AC ，A 1N =A 1A +23AB +23AD ，A 1E =A 1A +AB +12BM=A 1A +AB +12(BD +DM )=34A 1A +12AB +12AD ，则有A 1N =43A 1E ，即A 1，E ，N 三点共线，B 正确；对于C ，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则BD =22，若|NB |+|ND |=23，则N 的轨迹是以BD 为焦点的椭圆在正方形ABCD 内的部分，其中a =3，c =2，则b =a 2-c 2=1，故AN 的最大值为2+1，又由|A 1N |=|A 1A |2+|AN |2，则|A 1N |的最大值为7+22，C 错误；对于D ，MD ⊥底面ABCD 且MD =12，若MN 与平面ABCD 所成的角为π3，则ND =32，点N 的轨迹为圆的一部分，D 错误；故选：AB ．16如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为正方形底面ABCD 内一动点，则下列结论正确的有()A.三棱锥B 1-A 1D 1P 的体积为定值第18页共25页专业专心专注B.存在点P ，使得D 1P ⊥AD 1C.若D 1P ⊥B 1D ，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段ACD.若点P 是AD 的中点，点Q 是BB 1的中点，过P ，Q 作平面α垂直于平面ACC 1A 1，则平面α截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的截面周长为32【解析】：对于A ，P 在正方形底面ABCD 时，三棱锥P -A 1B 1D 1的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，所以A 正确；对于B ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P (x ，y ，0)，则D 1(0，0，1)，A (1，0，0)，D 1P =(x ，y ，-1)，AD 1=(-1，0，1)，若D 1P ⊥AD 1，则D 1P ⋅AD 1=0，即x =-1，与题意矛盾，所以B 不正确；对于C ，DB1=(1，1，1)，由D 1P ⊥B 1D 得x +y =1，所以P 的轨迹就是线段AC ，所以C 正确；对于D ，因为BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，因为平面α⊥平面ACC 1A 1，所以BD ∥平面α，以BD 为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，如图，易知每个侧面的交线均相等，长度为22，所以截面周长为32，所以D 正确．故选：ACD ．17如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BE ⊥AC ，E 为垂足点，F 为BD 中点，则下列结论正确的是()A.若AD 的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值第19页共25页专业专注专心B.若AC 的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值C.若BD 的长为定值，则EF 的长也为定值D.若CD 的长为定值，则EF ⋅CD的值也为定值【解析】：对于A ：取AD 的中点O ，∵AB ⊥平面BCD ，DB ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BD ，∴OB =12AD ，∵AB ⊥平面BCD ，DC ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵BC ⊥CD ，BC ∩AB =B ，∴CD ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AC ，∴OC =12AD ，∴O 为外接球的球心，AD 是直径，故A 正确；对于B ：显然当AB 无限接近0时，内切球的半径趋于0，当AB =BC 时，可知内切球半径最大，故B 不正确；对于C ：由A 可知CD ⊥BE ，又BE ⊥AC ，AC ∩CD =C ，∴BE ⊥平面ACD ，DE ⊂平面ACD ，∴BE ⊥ED ，∴EF =12BD ，若BD 的长为定值，则EF 的长也为定值，故C 正确；对于D ：以C 点为原点，建立空间直角坐标系，如图，假设AB =2c ，BC =2b ，CD =2a ，则|BD |=(2b )2+(2a )2=2a 2+b 2，C (0，0，0)，A (0，2b ，2c )，B (0，2b ，0)，D (2a ，0，0)，F (a ，b ，0)，则CA=(0，2b ，2c )，∵E 在AC 上，∴设E (0，k •2b ，k •2c )，则BE=(0，(k -1)•2b ，k •2c )，∵BE ⊥AC ，∴BE ⊥CA，∴BE ⋅CA =(k -1)(2b )2+k (2c )2=0，解得k =b 2b 2+c2，∴E 0，2b 3b 2+c 2，2b 2cb 2+c 2，∴EF =a ，b (c 2-b 2)b 2+c 2，-2b 2c b 2+c2，CD =(2a ，0，0)，∴|EF |=a 2+b (c 2-b 2)b 2+c 2 2+-2b 2c b 2+c22=a 2+b 2=12|BD |，EF ⋅CD =2a 2，∴若CD 的长为定值，则EF ⋅CD的值也为定值，故D 正确，故选：ACD ．第20页共25页18如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BB 1C 1C (包含边界)内运动，则下列结论正确的有()A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.二面角B 1-CD -B 的大小为π2C.过三点P ，A 1，D 的正方体的截面面积的最大值为2a 2D.三棱锥B 1-A 1C 1D 的外接球半径为3a【解析】：对于A ，连接B 1D 1，∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1⊥A 1C 1，BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥A 1C 1，又B 1D 1∩BB 1=B 1，∴A 1C 1⊥平面B 1D 1B ，∵BD 1⊂平面B 1D 1B ，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，A 1D ⊥BD 1，∵A 1C 1∩A 1D =A 1，∴BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；对于B ，由正方体性质得DC ⊥平面BB 1C 1C ，得DC ⊥B 1C ，DC ⊥CB ，∴二面角B 1-CD -B 为∠B 1CB =π4，故B 错误；对于C ，由对称性，P 在△B 1CC 1内与△B 1CB 内截面面积取最大值的情况相同，且当P 在B 1C 上时，截面即矩形A 1B 1CD ，面积2a 2，∴不妨设P 在△B 1CB 内(不包含B 1C 1)，设截面交BB 1，BC 分别于M ，N ，则由正方体性质与面面平行的性质可得A 1D ∥B 1C ，MN ∥B 1C ，∴A 1D ∥MN ，∴截面为梯形A 1MND ，设MN∩BC1=I，B1C∩BC1=R，A1D∩AD1=Q，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∴MN⊥平面ABC1D1，又QI⊂平面ABC1D1，∴MN⊥QI，即QI为梯形A1MND的高，设IR=t，则MN=2BI=2(BR-t)=2a-2t，∴SA1MND =12(MN+A1D)⋅QI=12(22a-2t)⋅a2+t2=2a-22t•a2+t2，下证a2+t2<a+22t，即a2+t2<a2+2at+12t2，∴t<22a成立，∴a2+t2<a+22t成立，∴SA1MND =2a-22t•a2+t2<2a-22t•a+22t=2a2-12t2<2a2，∴SA1MND <SA1B1CD=2a2，∴过三点P，A1，D的正方体的截面面积的最大值为S A1B1CD=2a2，故D正确；对于D，由题意得三棱锥B1-A1C1D的外接球即正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，其半径为体对角线BD1的一半，即32a，故D错误．故选：AC．19如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，AD=1，∠CBE=π6，现将Rt△ACD沿斜边AC翻折成△ACD1(D1不在平面ABC内)，若P为BC的中点，则在Rt△ACD翻折过程中，下列结论正确的是()A.AD1与BC不可能垂直B.三棱锥C-BD1E体积的最大值为612C.若A，C，E，D1都在同一球面上，则该球的表面积是2πD.直线AD1与EP所成角的取值范围为π6，π3【解析】：对于A选项：由AD⊥CD，则AD1⊥CD1，当AD1⊥D1B时，且D1B<AB，此时满足AD1⊥平面BCD1，因此AD1⊥BC，故A错误；对于B，取AC的中点O，连接OE，OD1，则OE=OD1=OA=OC=22，且OD1⊥AC，因为V C -BD 1E =V D 1-BCE ，当平面ACD 1⊥平面ABC 时，三棱锥C -BD 1E 体积的最大值，在Rt △BCE 中，∠CBE =π6，CE =1，则BE =3，此时V C -BD 1E =V D 1-BCE =13×12×1×3×22=612，所以三棱锥C -BD 1E 体积的最大值为612，故B 正确；对于C ，因为OE =OD 1=OA =OC =22，所以A ，C ，E ，D 1都在同一球面上，且球的半径为22，所以该球的表面积是4π×22 2=2π，故C 正确；对于D ，作AM ∥EP ，因为P 为BC 的中点，所有EP =1，EP AM =BE AB =BP BM ，所以AM =3+33=BM ，所以∠BAM =∠ABC =30°，所以∠MAC =15°，AD 1可以看成以AC 为轴线，以45°为平面角的圆锥的母线，所以AC 与AD 1夹角为45°，AC 与AM 夹角为15°，又D 1不在平面ABC 内，60°=45°+15°，30°=45°-15°，所以AD 1与AM 所成角的取值范围π6，π3，所以D 正确，故选：BCD ．20在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =π3，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，则()A.平面AEF ⊥平面PBCB.三棱锥C -PED 的体积为33C.EF 与平面ABCD 所成角的最小值为π6 D.AE 与PC 所成角的余弦值为14【解析】：对于D ，取BC 中点N ，连接AN ，EN ，则PC ∥EN ，故∠AEN 或其补角为AE 与PC 所成角，由于△ABC 为边长为2的等边三角形，则AN =3，AC =2，因此PB =PC =22+22=22，故EN =12PC =2，AN =12PB =2，在△AEN 中，由余弦定理可得cos ∠AEN =AE 2+EN 2-AN 22AE ⋅EN =(2)2+(2)2-(3)222×2=14，故AE 与PC 所成角的余弦值为14，D 正确；对于A ，由于F 为线段BC 上的动点，若F 移动到点B 时，此时考虑平面PAB 与平面PBC 是否垂直，若两平面垂直，则其交线为PB ，由于AE ⊥PB ，AE ⊂平面PAB ，则AE ⊥平面PBC ，EN ⊂平面PBC ，故AE ⊥EN ，这显然与D 选项矛盾，故平面PAB 与平面PBC 不垂直，A 错误；对于B ；取PA 中点为H ，则EH ∥AB ，AB ∥CD ，所以EH ∥CD ，CD ⊂平面PCD ，EH ⊄平面PCD ，故EH ∥平面PCD ，因此点E 到平面PCD 的距离与点H 到平面PCD 的距离相等，故V C -PED =V E -PCD =V H -PCD =V C -PHD =12V C -PAD =12V P -CAD =12×13×S △CAD ⋅PA ，因此V C -PED =16S △CAD ⋅PA =16×12×2×2×sin60°×2=33，故B 正确；对于C ，取AB 中点为M ，连接EM ，MF ，则EM ∥PA ，所以EM ⊥平面ABCD ，故∠EFM 为EF 与平面ABCD 所成角，在直角三角形EFM 中，EM =12PA =1，故当MF 长度最大时，∠EFM 最小，故当F 运动到与C 重合时，MF 最大值为3，此时∠EFM 最小为30°，故C 正确；故选：BCD ．21如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AE =2EB ，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的点，满足CM =2MA 1 ，则在△ADE 翻折过程中(点A 1不在平面DEBC 内)，下面四个选项中正确的是()A.BM ∥平面A 1DEB.点M 在某个圆上运动C.存在某个位置，使DE ⊥A 1CD.线段BA 1的长的取值范围是(5，3)【解析】：如图所示，在DC 上取一点N ，令CN =2ND ，连接NB ，在矩形ABCD 中，AB =CD 且AB ∥CD ，又因为AE =2EB ，CN =2ND ，所以EB =ND 且EB ∥ND ，所以四边形EBND 为平行四边形，所以NB ∥ED ，又因为NB ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以NB ∥平面ADE ，又因为CN =2ND ，CM =2MA 1，所以NM ∥A 1D ，又因为NM ⊄平面ADE ，DA 1⊂平面ADE ，所以NM ∥平面ADE ，又因为NM ∩NB =N 且NM 、NB ⊂平面BMN ，所以平面BMN ∥平面ADE ，又因为MB ⊂平面BMN ，所以BM ∥平面A 1DE ，选项A 正确；由NB ∥ED ，NM ∥A 1D ，AD =AE =2，可得∠A 1DE =∠MNB =π4，由CN =2ND ，CM =2MA 1 可知，NM =23A 1D =43，而EB =ND =22，由余弦定理可知，BM 为定值，而B 为定点，故M 在以B 为圆心，BM 为半径的圆上运动，故选项B 正确；取ED 的中点H ，连接HA 1，HC ，在△A 1DE 中，AD =AE =2，所以DE ⊥A 1H ，假设DE ⊥A 1C 成立，A 1H 、A 1C ⊂平面A 1HC ，所以DE ⊥平面A 1HC ，又因为CH ⊂平面A 1HC ，所以DE ⊥CH ，而在△DHC 中，DH =2，DC =3CH =5，所以∠DHC ≠π2，故DE ⊥CH 不成立，所以假设不成立，该选项C 错误；在DC 上取一点A 2，令DA 2 =2A 2C ，在△ADE 翻折过程中，线段BA 1的最大值是A 1与A 点重合，此时BA 1=3，线段BA 1的最小值是A 1与A 2点重合，此时BA 1=5，又因为点A 1不在平面DEBC 内，所以线段BA 1的长的取值范围是(5，3)，选项D 正确；故选：ABD ．。
(word完整版)立体几何动态问题[二轮]含答案及解析,推荐文档
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立体几何中的动态问题一、轨迹问题1．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 的中点P 轨迹的面积（ ）D A ．4π B ．2πC ．πD ．2π2．[2015·浙江卷] 如图, 斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )CA ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支3.如图，AB 平面α的斜线段，A 为斜足．若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是 （ ）B A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两平行直线4．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是平面ABCD 内的一个动点，且∠AD 1M =45°，则动点M 的轨迹是 （ ）D A ．圆 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．抛物线 5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是底面ABCD 内的动点PE ⊥A 1C 于点E ，且PA =PE ，则点P 的轨迹是 （ ）A A ．线段 B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分图-2 AP Bα 图-3二、判断平行，垂直，夹角问题1.已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中， （ ）BA.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”， “AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直2.如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AD 上一动点（端点除外），现将△ABE 沿BE 所在直线翻折成△BE A '，并连结C A '，D A '．记二面角C BE A --'的大小为)0(παα<<．(D) A ．存在α，使得⊥'BA 面DE A 'B ．存在α，使得⊥'BA 面CD A 'C ．存在α，使得⊥'EA 面CD A '．D ．存在α，使得⊥'EA 面BC A '3.（浙江2015）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿CD 将ACD ∆折成CD A '∆， 所成二面角B CD A --'的平面角为α，则 (B) A ．α≤'∠DB A B ．α≥'∠DB AC ．α≤'∠CB AD ．α≥'∠CB A三、最值问题1．在棱长为1的正方体中,点21,P P 分别是线段AB ，BD 1, (不包括端点)上的动点,且线段21P P 平行于棱1AD ,则四面体121,AB P P 的体积的最大值为（ ）D （A ）481 （B ）121 （C ）81 （D ）2412．已知立方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，线段EF ，GH 分别在棱AB ，CC 1上移动，若EF +GH =21，则三棱锥EFG H -的体积最大值为 481 A D A 'B CC E B AC E DB'AA B C D E变式：作业手册13-9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖.如图Z13-4所示，在鳖P ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1, 过A点分别作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，连接EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是()A. 2B.22C. 3D.333．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，ο90=∠ACB，AC=6,21==CCBC．P是1BC上一动点，则1PACP+的最小值为．264.（2015浙江学考）在菱形ABCD中，ο60=∠BAD,线段BDAD,的中点分别为FE,，现将ABD∆沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（）CA.)3,6(ππB. ]2,6(ππC. ]2,3(ππD. )32,3(ππ5.如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．【答案】66图96.（2016浙江）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 . 【解析】ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o， 所以30BAD BCA ∠==o .由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=o ，所以AC =设AD x =，则0t <<DC x =-.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅o 24x =-+.故BD =在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(4)cos 2222PD PB BD x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD ∠=o .EDCBA P过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅o ，解得d =而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=o . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD的体积211111sin(23)33332234 BcD BcD BcDV S h S d S d xx xθ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-⋅-+ 21(23)6234x xx x-=-+.设22234(3)1t x x x=-+=-+，因为023x≤≤，所以12t≤≤.则2|3|1x t-=-.（233x<≤2|331x x t=-故231x t-此时，221(31)[23(31)]t tV+--+-=21414()66ttt t-=⋅=-.由（1）可知，函数()V t在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V<=-=.综上，四面体PBCD的体积的最大值为12.7.如图，在长方形ABCD中，2AB=，1BC=，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将AFD∆沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21。
高中数学立体几何中动态问题及探索问题组卷有详细答案
高中数学立体几何中动态问题及探索问题组卷有详细答案(总37页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--立体几何动态问题及探索问题一．选择题（共11小题）1．（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．A C⊥SBB．A B∥平面SCDC．S A与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．A B与SC所成的角等于DC与SA所成的角2．（2009•中山模拟）如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2007•东城区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．4．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，且AD=3AB，点E是底面的边BC上的动点，设，则满足PE⊥DE的λ值有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．△ABC所在平面外一点P，分别连接PA、PB、PC，则这四个三角形中直角三角形最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图：已知矩形ABCD中，AB=2，BC=a，若PA⊥面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是（）A．a＞4B．a≥4C．0＜a＜4D．0＜a≤47．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（）①AA1⊥MN ②异面直线AB1，BC1所成的角为60°③四面体B1﹣D1CA 的体积为④A1C⊥AB1，A1C⊥BC1．A．1B．2C．3D．48．设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是（）A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两都垂直C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直9．（2014•濮阳二模）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．10．如图，正方体AC1的棱长为1，连接AC1，交平面A1BD于H，则以下命题中，错误的命题是（）A．A C1⊥平面A1BD B．H是△A1BD的垂心C．AH=D．直线AH和BB1所成角为45°11．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A．M C⊥AN B．G B∥平面AMN C．面CMN⊥面AMN D．面DCM∥面ABN二．填空题（共7小题）12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当= _________ 时，D1E⊥平面AB1F．13．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的_________ 心；（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的_________ 心；（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的_________ 心；（4）若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的_________ 心．14．如图，平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面4个条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③平面ABC⊥β；④AC与BD在β内的射影在同一条直线上．其中能成为增加条件的是_________ ．（把你认为正确的条件的序号都填上）15．（2007•江西），正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有下列四个命题：_____A．点H是△A1BD的垂心；B．AH垂直平面CB1D1；C．二面角C﹣B1D1﹣C1的正切值为；D．点H到平面A1B1C1D1的距离为其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．（I）求证：AD⊥PC；（II）求三棱锥P﹣ADE的体积；（III）在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线．其中正确结论的序号为_________ （写出所有正确结论的序号）．18．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为_________ ．三．解答题（共12小题）19．（2014•德阳模拟）如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C、D在直径AB的两侧，使∠CAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥C﹣BOD的体积；（2）求证：CB⊥DE；（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．20．（2014•江西一模）如图，∠ACB=45°，BC=6过A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，沿AD将△ABD 折起，组成三棱锥A﹣BCD，过点D作DE⊥平面ABC，且点E为三角形ABC的垂心．（1）求证：△BDC为直角三角形．（2）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大？并求出其最大值．21．（2014•江门一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2，AB=4，∠ABC=60°．（1）求证：AD⊥PC；（2）E是侧棱PB上一点，记，是否存在实数λ，使PC⊥平面ADE？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．22．（2013•辽宁一模）如图，直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．23．（2013•石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．（1）求证：BD⊥PC；（2）求直线AB与平面PDC所成角；（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．24．（2013•成都模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．25．（2013•眉山二模）如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD．（Ⅰ）求证：BC⊥BE；（Ⅱ）在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．26．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．27．（2014•江西模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．28．（2014•淮南一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA∥平面BMQ．29．（2014•荆门模拟）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．（1）求证：EF⊥平面PAD；（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（3）若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于30．（2014•衡阳三模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．A C⊥SBB．A B∥平面SCDC．S A与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．A B与SC所成的角等于DC与SA所成的角考点：直线与平面垂直的性质．专题：综合题；探究型．分析：根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．2．（2009•中山模拟）如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：直线与平面垂直的性质．专题：综合题．分析：①因为AC⊥β，且EF⊂β所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF⊂α所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．②此时AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．③因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上，所以EF⊥AC．因为AC∩CD=C，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．解答：解：①因为AC⊥β，且EF⊂β所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF⊂α所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．③AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．所以③可以成为增加的条件．④若AC∥EF则AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．所以④不可以成为增加的条件．答案为：①③．故选B．点评：本题是个开放性的命题，解决此类问题关键是熟记相关的平行与垂直的定理，准确把握定理中的条件，这种题型比较注重基础知识的灵活变形，是个易错题．3．（2007•东城区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系．专题：压轴题；阅读型．分析：先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到结论．解答：解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点N而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线故选A点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于基础题4．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，且AD=3AB，点E是底面的边BC上的动点，设，则满足PE⊥DE的λ值有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：连接AE，根据三垂线定理可得AE⊥DE，所以E在以AD为直径的圆上，根据AD=3AB，可得E在以AD为直径的圆与BC有两个交点，故可得结论．解答：解：连接AE，则∵PA⊥底面ABCD，PE⊥DE，∴根据三垂线定理可得AE⊥DE，∴E在以AD为直径的圆上，∵AD=3AB，∴E在以AD为直径的圆与BC有两个交点，∴满足PE⊥DE的λ值有2个．故选C．点评：本题考查三垂线定理，考查直线与圆的位置关系，判定E在以AD为直径的圆上是关键．5．△ABC所在平面外一点P，分别连接PA、PB、PC，则这四个三角形中直角三角形最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：一个三棱锥V﹣ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角，则可知三棱锥四个面都是直角三角形，从而可得结论．解答：解：如果一个三棱锥V﹣ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角．因为BC⊥VA的射影AB，所以VA⊥平面ABC的斜线VB，所以∠VBC是直角．由VA⊥底面ABC，所以∠VAB，∠VAC都是直角．因此三棱锥的四个面中∠ABC；∠VAB；∠VAC；∠VBC都是直角．所以三棱锥最多四个面都是直角三角形．故选A．点评：本题重点考查线面垂直的判定与性质，考查学生的探究能力，属于基础题．6．如图：已知矩形ABCD中，AB=2，BC=a，若PA⊥面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是（）A．a＞4B．a≥4C．0＜a＜4D．0＜a≤4考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：由线面垂直的判定得到PA⊥DE，又PE⊥DE，由线面垂直的判定得到DE⊥平面PAE，得到DE⊥AE，说明E 为以AD为直径的圆上的点．从而得到a的取值范围．解答：解：∵PA⊥平面AC，∴PA⊥DE，又∵PE⊥DE，PA∩PE=P，∴DE⊥平面PAE，∴DE⊥AE．即E点为以AD为直径的圆与BC的交点．∵AB=2，BC=a，满足条件的E点有2个∴a＞2AB=4．故选：A．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．7．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（）①AA1⊥MN②异面直线AB1，BC1所成的角为60°③四面体B1﹣D1CA的体积为④A1C⊥AB1，A1C⊥BC1．A．1B．2C．3D．4考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：根据正方体的性质和线面平行、性质的性质，可证出AA⊥MN，得到①正确；根据异面直线所成角的定义1与正方体的性质可得异面直线AB1，BC1所成的角为60°，得到②正确；根据正方体、锥体的体积公式加以计算，可得四面体B1﹣D1CA的体积为，得到③正确；利用线面垂直的判定与性质，结合正方体的性质可证出A1C⊥AB1且A1C⊥BC1，得到④正确．即可得到本题答案．解答：解：对于①，分别作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E、F，连结EF由AM=BN利用正方体的性质，可得四边形MNEF为平行四边形∴MN∥EF，可得MN∥平面ABCD∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥MN，因此可得①正确；对于②，连结B1D1、AD1，可得∠B1AD1就是异面直线AB1，BC1所成的角∵△B1AD1是等边三角形，∴∠B1AD1=60°因此异面直线AB1，BC1所成的角为60°，得到②正确；对于③，四面体B1﹣D1CA的体积为V=﹣4=1﹣4×=，得到③正确；对于④，根据A1B1⊥平面BB1C1C，得到A1B1⊥BC1，由正方形BB1C1C中证出B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1C，结合A1C⊂平面A1B1C，得A1C⊥BC1，同理可证出A1C⊥AB1，从而得到④正确综上所述，四个命题都是真命题故选：D点评：本题给出正方体中的几个结论，判断其正确与否，着重考查了正方体的性质、线面垂直与平行的判定与性质、异面直线所成角的定义与求法和锥体体积公式等知识，属于中档题．8．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是（）A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两都垂直C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直考点：直线与平面垂直的性质．专题：计算题．分析：由P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，知AB⊥BC，PA⊥BC，故BC⊥面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC；由P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，知AD⊥AB，PA⊥AD，故AD⊥面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．解答：解：∵P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，∴AB⊥BC，PA⊥BC，∴BC⊥面PAB，∵BC⊂面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC；∵P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，∴AD⊥AB，PA⊥AD，∴AD⊥面PAB，∵AD⊂面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD．故选A．点评：本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9．（2014•濮阳二模）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．考点：直线与平面垂直的判定；平面的基本性质及推论．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：因为总保持PE⊥AC，那么AC垂直PE所在的一个平面，AC⊥平面SBD，不难推出结果．解答：解：取CD中点F，AC⊥EF，又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD，∴AC⊥SB，取SC中点Q，∴EQ∥SB，∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，∴AC⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP．故选A．点评：本题考查学生应用线面垂直的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．10．（2010•湖北模拟）如图，正方体AC1的棱长为1，连接AC1，交平面A1BD于H，则以下命题中，错误的命题是（）A．A C1⊥平面A1BD B．H是△A1BD的垂心C．AH=D．直线AH和BB1所成角为45°考点：直线与平面垂直的判定；三角形五心；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题．分析：如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）解答：解：正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．故选项A，B，C正确，故选D．点评：本题主要考查正方体体对角线的性质，对正方体要视为一种基本图形来看待，考查空间想象能力，属基础题．11．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A．M C⊥AN B．G B∥平面AMN C．面CMN⊥面AMN D．面DCM∥面ABN考点：直线与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．解答：解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故A正确；对于B，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故B正确；对于C，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故C不正确；对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故D正确故选：C点评：本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．二．填空题（共7小题）12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当= 1 时，D1E⊥平面AB1F．考点：直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：要DE⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明1D1E⊥AF即可．解答：解：连接AB，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影1∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中点．∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．∴=1时，D1E⊥平面AB1F．点评：本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力．13．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的垂心；（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的内心；（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的垂心；（4）若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的外心．考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，由三角形全等可以得到三线段OE=OF=OD，三线段分别垂直于对应的边，可得其为内心；同理可得P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的外心；PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的垂心．解答：解：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．（1）若PA、PB、PC两两互相垂直，由可证得BC⊥OA，A B⊥OC，AC⊥OB，即此时点O是三角形三边高的交点，故此时点O是三角形的垂心，故应填：垂．（2）若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得OE，OF，OD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点O是三角形的内心，故应填：内；（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PO⊥底面ABC，所以AO⊥BC，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心；故应填：垂．（4）若PA、PB、PC与地面ABC成等角，由条件可证得OA=OB=OC，由三角形外心的定义知此时点O是三角形的外心，故应填：外；综上，三空答案依次应为垂、内、垂、外点评：本题考查棱锥的结构特征，三角形五心的定义，考查逻辑思维能力，是基础题．14．如图，平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面4个条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③平面ABC⊥β；④AC与BD在β内的射影在同一条直线上．其中能成为增加条件的是①③④．（把你认为正确的条件的序号都填上）考点：直线与平面垂直的性质．专题：探究型；空间位置关系与距离．分析：要增加一个条件，推出BD⊥EF，由AB⊥α，CD⊥α，则平面ABDC与EF垂直，需要加一个条件能够使得线与面垂直，把几个选项逐个分析，得到结论．解答：解：要增加一个条件，推出BD⊥EF，∵AB⊥α，CD⊥α，∴平面ABDC与EF垂直，∴需要加一个条件能够使得线与面垂直，①通过线面垂直得到线线垂直，使得EF垂直于平面ABDC，所以①可以成为增加的条件；②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直，所以②不可以成为增加的条件；③因为平面ABC⊥β，平面ABDC⊥α，α∩β=EF，所以EFEF⊥平面ACBD，所以③可以成为增加的条件；④因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD，所以EF与CD在β内的射影垂直，因为AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以EF⊥AC因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，所以④可以成为增加的条件．故答案为：①③④点评：本题是个开放性的命题，解决此类问题关键是熟记相关的平行与垂直的定理，准确把握定理中的条件．15．（2007•江西）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有下列四个命题：ABCA．点H是△A1BD的垂心；B．AH垂直平面CB1D1；C．二面角C﹣B1D1﹣C1的正切值为；D．点H到平面A1B1C1D1的距离为其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）考点：直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．专题：综合题；压轴题．分析：结合正方体图形，逐一判断选项，求得结果即可．解答：解：因为三棱锥A﹣ABD是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；1面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，B正确；连接A1C1∩B1D1=O⇒∠COC1即为二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，，C正确；对于D，连接AC1，⇒AC1⊥面A1BD，故点H是AC1的三等分点，故点H到平面A1B1C1D1的距离为．从而D错．则应填ABC．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角及其度量等知识，考查空间想象能力，是基础题．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．（I）求证：AD⊥PC；（II）求三棱锥P﹣ADE的体积；（III）在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）根据线面垂直证明线线垂直即可；（II）利用三棱锥的换底性，求得棱锥的高与底面面积，再利用体积公式计算即可；（III）假设存在，根据线面平行的条件，判断M点的位置，再求AM的长即可．解答：解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD．∴PD⊥AD．又因为ABCD是矩形，∴AD⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC．（II）∵AD⊥平面PCD，V P﹣ADE=V A﹣PDE，∴AD是三棱锥A﹣PDE的高．∵E为PC的中点，且PD=DC=4，∴S△PDE=S△PDC==4，∴V P﹣ADE=V A﹣PDE==．（III）取AC中点M，连结EM、DM，∵E为PC的中点，M是AC的中点，∴EM∥PA，又因为EM⊂平面EDM，PA⊄平面EDM，∴PA∥平面EDM．AM=AC=即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为．点评：本题考查直线与平面垂直的判定、棱锥的体积计算及线面平行的判定．17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线．其中正确结论的序号为②③（写出所有正确结论的序号）．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：①找出AC所垂直的平面的位置，进而可知EF为其它位置时不垂直；1②先作出其正投影，即可判断出结论；③利用线面、面面平行的判定和性质定理即可得出．解答：解：①知道当点E与D重合、点F与A重合时，A1C⊥平面AB1D1（即平面B1EF），而EF为其它位置时不垂1直，故不正确；②如图所示，EF在侧面BCC1B1上的正投影为BE1，则△BB1E1的面积=，为定值，因此正确；③如图2所示，在边B1B上取B1M=D1E，连接EM；在平面ABB1A1内作MN∥AB交B1F于N点，连接EN，则EN∥平面A1B1C1D1．综上可知：只有②③正确．故答案为②③．点评：熟练掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理及正投影是解题的关键．18．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为45°．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题．分析：折叠问题要注意变与不变，观察图形将AC的长度用已知的量AB，AD，θ的三角函数表示出来．再根据其形式来进行运算求值．解答：解：过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP．∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．在△BHC中，CH2=（3cosθ）2+42﹣2×4×3cosθ×cos（90°﹣θ），∴在Rt△ACH中，AC2=25﹣12sin2θ，∴θ=45°时，AC长最小．答案：45°点评：考查折叠问题与面面垂直的性质，此类题一般要求先通过图象进行细致分析，将求AC最值的问题转化为求相应函数的最值问题．本题与三角函数的结合，用三角的有界性求最佳，是其一亮点．三．解答题（共12小题）。
Day4立体几何中的轨迹问题和动态问题
微专题 立体几何中的轨迹和动态问题1.已知平面βα||，直线α⊂l ，点P l ∈，平面βα,之间的距离为8，则在β内到P 点的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 ( )A ．一个圆 B.两条直线 C.两个点 D.四个点2.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α个数为( )Ａ.３ Ｂ.４ Ｃ.６ Ｄ.７3.如图，三角形PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β垂直，且αα⊥⊥BC AD ,，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，则点P 在平面α内的轨迹是( ) A ．圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分4..如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM=13，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( ).A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线5.如图AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是 ( )A ．圆 B.椭圆 C.一条直线D.两条平行直线βαCDBPAαPABβαlMOQP6.如图，到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 抛物线C. 双曲线D. 直线7..如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。
现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是（ ）A.(,)63ππ B. (,]62ππ C. (,]32ππ D. 2(,)33ππ8.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则 （ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≥D. A CB α'∠≤9.如图在Rt△ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，则x 的取值范围是( ) A ．(0，3] B.⎝⎛⎦⎤22，2 C ．(3，2 3] D ．(2，4]yx PAD BCBA1C1D110.在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，点E 在线段AD 上且3AE =，现分别沿,BE CE 将,ABE DCE ∆∆翻折，使得点D 落在线段AE 上，则此时二面角D EC B --的余弦值为A．45 B ．56 C ．67 D ．7811.将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为（ ） A ．6622- B ．6632- C ．32232- D ．33223-12.在四面体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD =6，BC =2，且==2AB ACBD CD，则V 四面体ABCD的最大值为（ ）A . 6B .211C .215D .813.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为AB 的中点，将△ADM 沿DM 翻折．在翻折过程中，当二面角A —BC —D 的平面角最大时，其正切值为（ ）A ．33B ．12C ．23D ．1414. 已知圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)，若MP AM ⊥，则点P 的轨迹是________。
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立体几何动态问题
所谓动态性立体几何题，是指在点、线、面运动变化的几何图形中，探寻点、线、面的位置关系或进行有关角与距离的计算。
由于这类题情景新颖、解法灵活、极富思考性和挑战性，能更好地考察空间想象能力和思维能力，因此成了学考和高考的热点内容。
解决这类问题一般来说有以下几种策略。
一、将空间问题转化为平面问题
【例1】 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，已知直角三角形ACC 1中，CC 1=1， AC =2，A C 1
．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：
（1）A l ∈， （2）C α∈，
求O ，C 1两点间的最大距离．
例2、在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,D C D A 的中点，N
为线段C B 1的中点，若点M P ,分别为线段EF B D ,1上的动点，则PN PM +的最小值为（ ） A. 1 B.
4
2
3 C. 4262+ D. 2
13+
二、引人参数，把动态问题转化为计算问题，动中求静 例3、在直三棱柱中，，，已知和分
别为和的中点，与分别为线段和上的动点(不包括端点)，若
，则线段的长度的取值范围为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ． 例4、已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点
E ，
F 分别是棱BB 1，DD 1上的动点，且BE=D 1F=λ．设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则α+β的最
小值（ ）
A.不存在
B.等于60
C.等于90
D.等于120
ABC C B A -1112
π
=
∠BAC 11=
==AA AC AB G E 11B A 1CC D F AC AB EF GD ⊥DF ⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,55⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,55⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,552⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡
1,552M
D 1C 1
B 1
A 1
三、考察运动中的不变因素，动中求静
例5、如图所示,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, 长
为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则
MN 的中点的轨迹的面积为( )
A ．4π
B ．2π
C ． π
D ．
2
π
例6、如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线 四、考虑特殊位置
例7、如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
例8、如图，正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内，且直线BC 与平面α所成角为45°，顶点B 在平面α上的射影为点O ，当顶点A 与点O 的距离最大时，直线CD 与平面α所成角的正弦值等于（ ）
A. B.
C. D.
立体几何动态问题练习
1、点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 所在平面上，E 是A 1A 的中点，且 ∠ EPA=∠ D 1PD ，则点P 的轨迹是 （ ） A ． 直线
B ． 圆
C ． 抛物线
D ． 双曲线
2、球O 为边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为B 1C 1中点，DP BM ⊥，则点P 的轨迹周长为 ( )
A ．
π33 B ．π332 C ．255π D ．455
π 3、如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是 （ ） A ．11DC D P ⊥ B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．1APD ∠的最大值为90o
D ．1AP PD +的最小值为22+
4、．如图，在长方形ABCD 中，41AB BC ==， E 为DC 的四等分点（靠近C 处），F 为线段EC 上一动点（包括端点），现将AFD ∆沿AF 折起，使D 点在平面内的射影恰好落在边AB 上，则当F 运动时，二面角D AF B --的平面角余弦值的变化范围为 ．
5、点E 、F 、G 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、B 1C 1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．。