全国大学生数学建模竞赛简况-西南交通大学课程与资源中心

建模示例之二 问题——商人们怎样安全过河？ 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只 能容纳二人，由他们自己划行 . 随从们密约，在河 的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人抢货， 但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，试问 商人们怎样才能安全渡河呢？
建模示例之三 问题——传染病传播规律
数学建模的这种反复迭代性质正反映了人们运用这种方 法逐步逼近、真正认识、掌握实际问题的过程，从而达到预 测、预报或指导实践以至指导生产的目的 . 今天，在某种意 义下讲，数学建模已经发展成一个相对独立的数学分支，而 且不断向应用数学和纯粹数学提供大量的挑战性问题，从而 推进了数学科学的发展.
随着计算机及数学软件的普及，数学建模活动的 广泛开展，已有越来越多的人认识到数学教学不仅 要注重演绎思维、归纳思维和创造思维等基本能力 的培养，而且要注意运用数学方法和计算机技术解 决实际问题能力的培养 . 将数学软件和数学建模融 入数学教学的全过程是值得深入研究和大力实践的 重要课题. 数学模型（Mathematical Modelling）并不是新 东西，尽管过去很长时间很少用这一术语，但确实 在很久以前就建立了不少数学模型 . 例如，欧几里 得几何，牛顿、莱布尼兹发明的微积分都是很好的 数学模型.
第八章 数学建模简介

§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5
数学建模教育的发展 数学建模过程及实例 大学生数学建模竞赛的由来 优秀参赛论文与评述 竞赛题选
§8.1 数学建模教育的发展
六十多年来，计算机的迅速发展，对各行各业 都产生了巨大的影响 . 今天，几乎没有哪个部门、 哪一个行业不再使用计算机，四个现代化从某种意 义上来说就是计算机化 . 而衡量一个国家经济发达 的重要标志之一，就是计算机的普及和应用程度. 同样地，伴随着计算机的发展，数学科学也取 得了飞速的发展，新的数学分支层出不穷，大量的 新兴数学方法在科学研究和生产管理各种领域中被 成功地应用，现代数学已不再仅仅是其他科学的基 础，而是直接发挥着第一生产力的作用.
竞赛促进了数学建模教育，许多学校都开设了数学建模的 必修课和选修课，数学建模的教材也很快地发展起来. 数学建模教育的意义有以下几点： （i）数学建模本身就是将数学应用于实际，是用数学的 语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实 际问题的一种强有力的数学工具. 顾名思义，Modelling一词 在英文中有塑造艺术的意思，可以理解从不同的侧面、角度 去考察问题就会有不尽相同的模型；而数学模型的创造又带 有一定的艺术特点，特别是现在的数学建模竞赛题往往要给 予学生有更多的想象和发挥的余地.
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来. 如果用某个变量表示 椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着 地了，椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个 距离是椅子位置变量的函数.
虽然椅子有四只脚，故有四个距离. 但由于长方形的中心对称 性，所以只要设两个距离函数就行了 . 记A、D两脚与地面距 离之和为f()，B、C两脚与地面距离之和为 g()，且f()， g()≥0，由假设（2）可知，f和g都是连续函数 . 由假设（3） 可知，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的 ，f()和g()中至少有一个为零. 当＝0时，不妨设g() ＝0，f() ＞0，这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地， 就归结为证明如下的数学命题：
§8.3 大学生数学建模竞赛的由来
1985 年以前，美国只有一种大学生数学竞赛 ［ The William Lowell Putnam mathematical Competition，简称Putnam（普特南）数学竞赛］， 这 是 由 美 国 数 学 协 会 （ MAA─Mathematical Association of America 的缩写）主持，于每年 12 月的第一个星期六分两试进行，每试 6 题，每试各 为 3 小 时 . 近 年 来 在 次 年 的 美 国 数 学 月 刊 （ The American Mathematical Monthly ）上刊出竞赛小结、 奖励名单、试题及部分题解 . 这是一个历史悠久、 影响很大的全美大学生数学竞赛，自1948年举行第 一届竞赛以来已经55届了. 主要考核基础知识、逻 辑推理及证明的能力、思维敏捷、计算能力等 . 试 题中很少有应用题，完全不能用计算机，是闭卷考 试的.
572
168 3
187 4
210 3
388 7 (780 )
444 8 (914 )
§8.4 优秀参赛论文与评述
1994年全国大学生数学建模竞赛题目 A题 逢山开路
要在一山上修建公路，首先测得一地点的高程，数据见表 8.3（平面区域0≤x≤5600，0≤x≤4800，表中数据为坐标点的 高程，单位：m）．数据显示：在y＝3200处有一东西走向 的山峰；从坐标(2400，2400)到(4800，0)有一西北─东南 走向山谷；在(2400，2800)附近有一山口湖，其最高水位略 高于1350m，雨季在山谷中形成一溪流，经调查知，雨量最 大时溪流水面宽度W与（溪流最深处的）x坐标的关系可近似 表示为 x 2 400 W ( x) 5 (2 400≤ x ≤ 4 000)
命题：已知f()和g()是的连续函数，对任意， f()· g()＝0，且g()＝0，f(0)＞0， 则在(0＜0＜π)内存在0，使f(0)＝g(0)＝0.
模型求解：将椅子旋转180(π)，边AD和BC互换. 由g(0)＝ 0 和 f(0) ＞ 0 可知 g(π)＞ 0 和 f(π)＝ 0. 令 h() ＝ f() － g() ，则 h(0) ＞ 0 和 h(π)＜ 0. 则由 f 和 g 的连续性知 h 也是 连续函数 . 根据连续函数的基本性质，必存在 0(0 ＜ 0 ＜ π ， 使 h(0) ＝ 0 ， 即 f(0) ＝ g(0) ． 最 后 ， 因 为 f(0)· g(0)＝0，所以f(0)＝g(0)＝0.
1985 年 开 始 了 第 一 届 美 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 （Mathematical Contest in Modelling，简称MCM），形式是 通讯比赛，每年一届，一般在2月份的一个周末（周五至周日） 举行. 竞赛的主持者是美国数学及其应用联合会（Consortium for Mathematics and Its Applications，简称COMAP），也会得 到一些其他的单位或学校的协助. 2003年的协助单位有美国运 筹及工业和应用数学协会（INFORMS）、美国工业与应用数 学学会（SIAM）、美国数学协会（MAA）． MCM的宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予 以阐明、分析并提出解法，通过这样一种结构鼓励师生积极 参与并强调实现完整的模型构造的过程 . 每个参赛队（ 3人） 有一名指导教师，他（或她）在比赛开始前负责对队员的训 练和战术指导，并接受考题，然后即由学生自行参赛，指导 教师不得参赛. 比赛于每年2月或3月的某个周末（大约）进 行，共有三天时间 . 每次只有两个考题（一般是连续和离散 各一题），每队只需任选一题.
我国大学生于1989年开始参加美国MCM（北京理工大学叶其 孝教授于1988年访问美国时，应当时MCM负责人B· A· Fusaro 教授之邀访问他所在学校时，商定了中国大学生组队参赛的 有关事宜），到2003年已有国内近80所大学300队参赛. 历 年来都取得了较好的成绩. 在我国不少高校教师也萌发了组织我国自己的大学生数学建 模竞赛的想法. 上海市率先于1990年12月7~9日举办了“上 海市大学生（数学类）数学模型竞赛”．于1991年6月7~9日 举办了“上海市大学生（非数学类）数学模型竞赛”. 西安也 于 1992 年 4 月 6 日举办了“西安市第一届大学生数学模型竞 赛”．由中国工业与应用数学学会（CSIAM）举办的“1992 年全国大学生数学模型联赛”也于1992年11月27~29日举 行，全国有74所大学的314个队参加.
建模示例之一 问题——椅子能在不平的地面上放稳吗？ 本例讨论的问题来源于日常生活中一件普通的事 实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚 着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四 只脚同时着地，放稳了，这个看来似乎与数学无关 的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证 实吗？
模型假设：对椅子和地面需要先作一些必要的假设. （i）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个 点，四脚的连线呈长方形. （ii）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间 断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续 曲面. （iii）对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对 平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
模型建立：关键是要用数学语言把椅子四只脚同时 着地的条件和结论表示出来.
首先要用变量表示椅子的位置 . 注意到椅脚连线呈长方 形，以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子 位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置， 在图 8.2中椅脚连线为长方形 ABCD，对角线 AC与 x轴重合， 椅子绕中心点O旋转角度后，长方形ABCD转至ABCD的位 置，所以对角线AC与x轴的夹角表示了椅子的位置
什么叫数学模型呢？可以说有了数学就要用数学去解决 实际问题，用数学的语言、方法去近似地刻画实际问题，而 这种刻画的数学表达就是一个数学模型 . 其过程就是数学建 模的过程. 数学模型的建立要有实际应用才可能得到迅速的 发展. 由于以前没有必要的计算手段，这些模型往往不能实 用，因此发展缓慢，也停留在理论上 . 正是由于计算机的飞 速发展，解决了计算推理、计算速度等问题，数学建模才有 了如今的快速发展. 大约20世纪70年代末80年代初，英国著名的剑桥大学 专门为研究生开设了数学建模课程，差不多同时，在欧洲、 美国等工业发达国家也开始把数学建模的内容正式列入研究 生、大学生以至中学生的教学计划中去，并于1983年开始举 行两年一次的“数学建模和应用数学国际会议”，进行定期 的交流.
§8.2 数学建模过程及实例
数学建模，如果一定要给出一个定义的话，可以 说它是一种数学的思考方法，是“对现实的现象通 过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表 示，常常是形象化的或符号的表示.” 从科学、工程、经济、管理等角度看数学建模 就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能 近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学 工具. 数学建模的创造带有一定的艺术的特点 . 而数 学建模最重要的特点是要接受实践的检验、有一个 多次修改模型渐趋完善的过程.
（ii）数学建模竞赛推动了数学建模教育的发展，数学建模 教育能提高学生理论联系实际的能力，能提高学生综合应用 数学工具，特别是计算机应用的能力 . 目前，集体协作的团 队精神在现代管理和科研中都有十分重要的意义，建模竞赛 是三人组队，互相协作，共同完成论文 . 因此，建模竞赛对 提高学生的团队合作能力是一个很好的锻炼和培养. （iii）任何学科由低级到高级的发展无不与数学紧密相连， 理工科的不说了，就是文科、管理类也经常需要利用数学模 型来刻画和分析问题 . 事实上有许多数学建模课题都是管理 方面的内容，比如2003年的竞赛题B——露天矿生产的车辆调 度优化问题.
全国大学生数学建模竞赛简况
参赛校数 年份 199 6 199 7 199 8 199 9 200 0 200 1 200 2
参赛队数 1996 1997 1998 1999 265 7 (416 ) 200 0 321 0 (608 ) 2001 2002
总计
3529