【5套打包】石家庄市初三九年级数学上(人教版)第24章圆单元小结及答案

人教版九年级数学（上）第24章《圆》单元检测题
一．选择题
1．如图，AO是圆锥的高，圆锥的底面半径OB＝0.7，AB的长为2.5，则AO的长为（）
A．2.4 B．2.2 C．1.8 D．1.6
2．如图，OA为⊙O的半径，点P为OA的中点，Q为⊙O上的点，且∠APQ＝135°，若OA＝2，则PQ的长度为（）
A．B．C．3D．
3．若⊙O的半径为5cm，OA＝4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．内含
4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝130°，则∠BOD＝（）
A．50°B．80°C．100°D．130°
5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC＝50°，则∠A的度数是（）
A．25°B．20°C．80°D．100°
6．下列命题错误的是（）
A．经过平面内三个点有且只有一个圆
B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．圆内接菱形是正方形
7．如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（）
A．πB．2πC．3πD．4π
8．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为（）
A．点M在⊙C上B．点M在⊙C内
C．点M在⊙C外D．点M不在⊙C内
9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（）
A．6﹣πB．6﹣πC．12﹣πD．12﹣π
10．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，PA，PC均是⊙O的切线，若∠B＝40°，则∠P 的度数是（）
A．80°B．90°C．100°D．120°
11．如图，⊙O直径是10，弦AB长为8，M是AB上的一个动点，则OM的长度不可能是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．如图，⊙C过原点，且与坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣3，0），且M是第三象限内⊙C上一点，则∠BMO的度数为（）
A．100°B．110°C．120°D．130°
二．填空题
13．在边长为的正方形OABC中，D为边BC上一点，且CD＝1，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与OA、OC的延长线交于点E、F，则阴影部分的面积为．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．
18．在⊙O中，直径AB＝4，PD与⊙O相切于点C，交AB的延长线与点D，且∠PDO＝30°，则劣弧的弧长为．
三．解答题
19．如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足B．
（1）若∠OAB＝40°，求∠C度数；
（2）若∠C＝30°，AC＝4，求⊙O的直径．
20．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB＝AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）PC＝2，OA＝4，求⊙O的半径．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
22．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F，且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠EAC＝∠CAB；
（2）若CD＝4，AD＝8，求⊙O的半径．
24．如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB＝10cm，BC＝8cm，CD平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．
25．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，点P是CD延长线上一点，连接PB、BD．（1）若BD平分∠ABP，求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接AP，延长BD交AP于点F，若BD⊥AP，AB＝，OP＝，求OE的长度．
参考答案
一．选择题
1．解：由勾股定理得，AO＝＝2.4，故选：A．
2．解：作OE⊥PQ于E，连接OQ．
∵AP＝OP＝1，∠APQ＝135°，
∴∠OPE＝45°，
∴OE＝PE＝，
在Rt△OQE中，
QE＝＝＝，
∴PQ＝PE+QE＝+＝，
故选：D．
3．解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝4cm，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．
故选：A．
4．解：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝130°，∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝50°，
由圆周角定理得，2∠A＝∠BOD＝100°，
故选：C．
5．解：∵∠BOC＝50°，
∴∠A＝∠BOC＝25°．
故选：A．
6．A、当三点在一直线上时，三点不共圆；故本项错误，符合题意；
B、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点；它到三角形
三个顶点的距离都相等；故本选项正确，不符合题意；
C、因为在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系
中，只要有一组成立，则另外几组一定成立；故本选项正确，不符合题意；
D、因为在菱形中只有正方形外接圆；故本项正确，不符合题意；
故选：A．
7．解：如图，连接OA、OB．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝4，
∴的长是：＝2π．
故选：B．
8．解：∵由勾股定理得AB＝＝10cm，
∵CM是AB的中线，
∴CM＝5cm，
∴d＝r，
所以点M在⊙C上，
故选：A．
9．解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴正六边形ABCDEF的面积是：＝6×＝6，∠FAB＝∠EDC ＝120°，
∴图中阴影部分的面积是：6﹣＝，
故选：B．
10．解：连接OA，
∵∠B＝40°，
∴∠AOC＝2∠B＝80°，
∵PA，PC均是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OCP＝90°，
∴∠AOC+∠P＝180°，
∴∠P＝100°，
故选：C．
11．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂线段最短可知当M于点D重合时OM最短，当OM是半径时最长，
∵，⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵弦AB的长为8，OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4，
在Rt△OAD中，
OD＝＝＝3，
∴当OM＝3时最短，
∴OM长的取值范围是：3≤OM≤5．
∴OM的长度不可能是2．
故选：D．
12．解：∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣3，0），
∴OA＝3，OB＝3，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO＝120°，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．解：在Rt△OCD中，OD＝＝＝2，∴∠COD＝30°，
在Rt△COD和Rt△AOG中，
，
∴Rt△COD≌Rt△AOG（HL）
∴AG＝CD＝1，∠AOG＝∠COD＝30°，
∴∠DOG＝30°，
∴阴影部分的面积＝×﹣×1××2﹣＝3﹣﹣，故答案为：3﹣﹣．
14．解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，
则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值＝MN′，
∵∠MAB＝20°，
∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°，
由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，
∴∠MON′＝∠MOB+∠N′OB＝40°+20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，
∴MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4，
∴△PMN周长的最小值＝1+4＝5，
故答案为：5．
15．解：连接OD，
∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，
∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝5，即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
16．解：如图，连接AF、DF，
由圆的定义，AD＝AF＝DF，
所以，△ADF是等边三角形，
∵∠BAD＝90°，∠FAD＝60°，
∴∠BAF＝90°﹣60°＝30°，
同理，弧DE的圆心角是30°，
∴弧EF的圆心角是90°﹣30°×2＝30°，
∴＝，
由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，
所以，图中阴影部分的外围周长＝×4＝π．故答案为：π．
17．解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，
∴S
阴影＝S
矩形
﹣S
四分之一圆
＝2×3﹣π×22＝6﹣π，
故答案为：6﹣π
18．解：∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠PDO＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵直径AB＝4，
∴半径是2，
∴劣弧的弧长是＝，故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）∵AB⊥CD，∠OAB＝40°，∴∠AOB＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠CAO，
∴∠AOB＝2∠C＝50°，
∴∠C＝25°；
（2）连接AD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠C＝30°，AC＝4，
∴CD＝AC＝2．
∴⊙O的直径是2．
20．（1）证明：连结OB，如图，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°，
∵OB＝OP，
∴∠4＝∠5，
而∠3＝∠4，
∴∠5+∠2＝90°，
∴∠5+∠1＝90°，即∠OBA＝90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥PB于H，如图，则BH＝PH，
设⊙O的半径为r，则PA＝OA﹣OP＝4﹣r，
在Rt△PAC中，AC2＝PC2﹣PA2＝（2）2﹣（4﹣r）2，在Rt△OAB中，AB2＝OA2﹣OB2＝42﹣r2，
而AB＝AC，
∴（2）2﹣（4﹣r）2＝42﹣r2，解得r＝1，
即⊙O的半径为1．
21．（1）证明：如图．
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×4＝2，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3．
22．证明：（1）连接OC，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
又∵∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝（180°﹣∠ACD）＝30°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠1＝30°，
∴∠COD＝60°，
又∵∠D＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠A＝30°，
∴∴∠1＝2∠A＝60°∠1＝2∠A＝60°．
∴∴，
在Rt△OCD中，．
∴．∴图中阴影部分的面积为2﹣π．
23．（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AE，
∴OC∥AE，
∴∠1＝∠3，
∵OC＝OA，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即∠EAC＝∠CAB，
（2）解：①连接BC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°
∵∠1＝∠2，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵AC2＝AD2+CD2＝42+82＝80，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为10÷2＝5．
24．解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴BD＝AD＝AB＝5（cm）；
（2）四边形ADBC的面积＝△ABC的面积+△ADB的面积＝×6×8+×5×5＝49（cm2）．
25．（1）证明：连接BC，BO，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DBE＝∠C＝90°﹣∠CDB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∵∠PBD＝∠EBD，
∴∠PBD＝∠OBC，
∴∠PBO＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，BO，
∵CD是⊙O的直径，
∴BC⊥BD，
∵BD⊥AP，
∴AP∥BC，
∴∠C＝∠APC，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE，
∴AP＝BP，
∴∠APC＝∠BPC，
∴∠C＝∠BPC，
∴CE＝PE，
设OE＝x，CO＝BO＝r，
∴r+x＝﹣x，
∴r＝﹣2x，
∵AB＝，
∴BE＝AB＝，
在Rt△BEO中，BO2＝OE2+BE2，即（﹣2x）2＝x2+（）2，解得：x＝，x＝（不合题意，舍去），
∴OE＝．
人教版九年级数学上册第24章圆单元测试题
一、选择题(每小题3分，共18分)
1．在⊙O 中，∠AOB ＝84°，弦AB 所对的圆周角度数为( )
A ．42°
B ．138°
C ．69°
D ．42°或138°
2．如图1，在半径为4的⊙O 中，弦AB ∥OC ，∠BOC ＝30°，则AB 的长为( )
A ．2
B ．2 3
C ．4
D ．4 3
图1 图2
3．如图2，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O ，并且分别与x 轴、y 轴交于点B ，C ，已知B (8，0)，C (0，6)，则⊙A 的半径为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．8
4．若100°的圆心角所对的弧长为5π cm ，则该圆的半径R 等于( )
A ．5 cm
B ．9 cm C.52 cm D.94
cm 5．已知OA 平分∠BOC ，点P 在OA 上，如果以点P 为圆心的圆与OC 相离，那么⊙P 与OB 的位置关系是( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不能确定
6．如图3，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB ，AC 于点E ，D ，DF 是半圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G .若AF 的长为2，则FG 的长为( )
A ．4
B ．3 3
C ．6
D ．2 3
图3 图4
二、填空题(每小题4分，共28分)
7．如图4，若AB 是⊙O 的直径，AB ＝10 cm ，∠CAB ＝30°，则BC ＝________cm.
8．如图5，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，以点A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则∠BAC 的度数是________．
图5
9.如图6，已知在正方形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，半径为r画圆，当点D在⊙A内且点C在⊙A外时，r的取值范围是________．
图6
10．如图7，某同学用纸板做了一个底面圆直径为10 cm，高为12 cm的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计)，则做这个玩具所需纸板的面积是________cm2(结果保留π)．
图7 图8
11.如图8，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦AE的垂直平分线交⊙O于点C，交AE于点F，CD⊥AB于点D，BD＝1，AE＝4，则AD的长为________．
12．半圆形纸片的半径为1 cm，用如图9所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________cm.
图9 图10
13．如图10，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C 旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为________．
三、解答题(共54分)
14．(8分)如图11，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝12，∠ABC＝∠DAC，求AC的长．
图11
15．(10分)如图12，BE是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点C.
(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O的半径．
图12
16．(10分)如图13，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，AO＝1.
(1)求∠C的度数；
(2)求图中阴影部分的面积．
图13
17．(12分)如图14，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，P(4，2)是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)求点B的坐标．
图14
18．(14分)如图15，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE 上的一点，且CF∥BD.
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
图15
详解详析
1．D
2．D [解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AD ＝DB .
∵AB ∥OC ，∠BOC ＝30°， ∴∠B ＝∠BOC ＝30°.
∵在Rt △DOB 中，∠B ＝30°，OB ＝4， ∴OD ＝2.
∴DB ＝42
－22
＝2 3. ∴AB ＝2DB ＝4 3.
3．C [解析] 连接BC .∵∠BOC ＝90°， ∴BC 为⊙A 的直径，即BC 过圆心A . 在Rt △BOC 中，OB ＝8，OC ＝6，
根据勾股定理，得BC ＝10，则⊙A 的半径为5. 4．B [解析] 由100πR
180
＝5π，求得R ＝9.
5．A
6．B [解析] 连接OD .
∵DF 为半圆O 的切线，∴OD ⊥DF . ∵△ABC 为等边三角形，
∴AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 又∵OD ＝OC ，
∴△OCD 为等边三角形，
∴∠CDO ＝∠A ＝60°，∠DOC ＝∠ABC ＝60°， ∴OD ∥AB ，∴DF ⊥AB .
在Rt △AFD 中，∵∠ADF ＝90°－∠A ＝30°，AF ＝2，∴AD ＝4. ∵O 为BC 的中点，易知D 为AC 的中点， ∴AC ＝8，
∴FB ＝AB －AF ＝8－2＝6.
在Rt △BFG 中，∠BFG ＝90°－∠B ＝30°， ∴BG ＝3，
根据勾股定理，得FG ＝3 3. 故选B.
7．5 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.
又∵AB ＝10 cm ，∠CAB ＝30°， ∴BC ＝1
2AB ＝5 cm.
8．105° [解析] 设⊙A 与BC 相切于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC . 在Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝1， 所以∠B ＝30°， 因而∠BAD ＝60°.
同理，在Rt △ACD 中，得到∠CAD ＝45°， 因而∠BAC 的度数是105°.
9．2＜r ＜2 2
10．65π [解析] 如图，过点P 作PO ⊥AB 于点O ，
则O 为AB 的中点，即圆锥底面圆的圆心．
在Rt △PAO 中，PA ＝OP 2
＋OA 2
＝122
＋52
＝13.
由题意，得S 侧面积＝12lr ＝12×底面圆周长×母线长＝1
2×π×10×13＝65π，∴做这个
玩具所需纸板的面积是65π cm 2.故答案为65π.
11．4 [解析] ∵CF 垂直平分AE ，
∴AF ＝1
2AE ＝2，∠AFO ＝90°.
∵CD ⊥AB ，∴∠ODC ＝∠AFO ＝90°. 又∵OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COD ， ∴△AOF ≌△COD (AAS)， ∴CD ＝AF ＝2.
设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r －1.
由勾股定理，得OC 2＝OD 2＋CD 2
，
即r 2＝(r －1)2＋22
， 解得r ＝5
2
，
∴AD ＝AB －1＝2×5
2－1＝4.
故答案为4.
12. 3 [解析] 如图，连接MO 交CD 于点E ，则MO ⊥CD ，连接CO .
∵MO ⊥CD ，∴CD ＝2CE .
∵对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合， ∴ME ＝OE ＝12OC ＝1
2 cm.
在Rt △COE 中，CE ＝
12
－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32
(cm)，
∴折痕CD 的长为2×
3
2
＝3(cm)． 13．4 [解析] 连接OE ，延长EO 交CD ′于点G ，过点O 作OH ⊥B ′C 于点H ，
则∠OEB ′＝∠OHB ′＝90°.
∵矩形ABCD 绕点C 旋转所得矩形为A ′B ′CD ′，
∴∠B ′＝∠B ′CD ′＝90°，AB ＝CD ＝5，BC ＝B ′C ＝4，
∴四边形OEB ′H 和四边形EB ′CG 都是矩形，OE ＝OD ＝OC ＝2.5， ∴B ′H ＝OE ＝2.5，
∴CH ＝B ′C －B ′H ＝1.5， ∴CG ＝B ′E ＝OH ＝OC 2
－CH 2
＝
2.52－1.52
＝2.
∵四边形EB ′CG 是矩形，
∴∠OGC ＝90°，即OG ⊥CD ′， ∴CF ＝2CG ＝4. 故答案为4.
14．解：连接CD .
∵∠ABC ＝∠DAC ，∴AC ︵＝CD ︵
，∴AC ＝CD . ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ACD ＝90°.
∴AC 2＋CD 2＝AD 2
，
即2AC 2＝AD 2
. ∴AC ＝
2
2
AD ＝6 2. 15．解：(1)如图，连接OA .
∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径，∴OA ⊥AC ， ∴∠OAC ＝90°. ∵∠ADE ＝25°，
∴∠AOE ＝2∠ADE ＝50°，
∴∠C ＝90°－∠AOE ＝90°－50°＝40°. (2)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .
∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝2∠C . ∵∠OAC ＝90°，
∴∠AOC ＋∠C ＝90°，
∴3∠C ＝90°，∴∠C ＝30°，∴OA ＝1
2OC .
设⊙O 的半径为r . ∵CE ＝2，
∴r ＝1
2
(r ＋2)，解得r ＝2，
∴⊙O 的半径为2
16．解：(1)∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴AD ︵＝BD ︵，∴∠C ＝1
2∠AOD .
∵∠AOD ＝∠COE ，∴∠C ＝1
2∠COE .
又∵AO ⊥BC ，∴∠C ＋∠COE ＝90°， ∴∠C ＝30°.
(2)连接OB ，由(1)知∠C ＝30°， ∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝120°. 在Rt △AOF 中，AO ＝1，∠AOF ＝60°， ∴∠A ＝30°，
∴OF ＝12，∴AF ＝3
2，∴AB ＝2AF ＝ 3.
故S 阴影＝S 扇形OAB －S △OAB ＝13π－34
.
17．解：(1)证明：∵⊙O 的半径为2，∴OA ＝2.
又∵P (4，2)，
∴PA ∥x 轴，即PA ⊥OA ， 则PA 是⊙O 的切线．
(2)连接OP ，OB ，过点B 作BQ ⊥OC 于点Q . ∵PA ，PB 为⊙O 的切线， ∴PB ＝PA ＝4，可证
人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(1)
一、知识梳理
（一）点、直线与圆的位置关系：（可用什么方法判断？）
1．
2．已知圆O的半径为8cm，若圆心O到直线l的距离为8cm，那么直线l 和圆O的位置关系是（）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相离
（二）圆心角、弧、弦之间的关系
1．下列说法中，正确的是( )
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
2．
（三）圆周角定理及其推理
1．如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则
BC= cm。

2．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，
则∠AOD等于( )
A．64°B．48°
C．32°D．76°
3．如图所示，A，B，C，D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝
40°。

则∠D＝____。

（四）圆的内接四边形定理。

1．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE
＝
2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE 等于( )。

A ．69°
B ．42°
C ．48°
D ．38°
（五）切线的性质与判定定理
1．如图，AB 与⊙O 切于点B ，AO=6cm ，AB=4cm ，则⊙O 的半径为（ ）
A ．cm
B ．cm
C ．
m
2．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙
C 的半径长为( )
A ．8
B ．4
C ．9.6
D ．4.8 切线的判定方法有哪些？
①知半径，证垂直，得切线；②作垂直，证圆心到直线的距离等于半径，得切线
（六）扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1．如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，劣弧
的弧长为 （结果保留π）
二、综合运用
3
4
︒40︒45︒6080第2题
1．如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．如图，所示⊙O 中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO 的度数为
3．如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，BC ＝2。

以线段BC 的中点O 为圆心，以OB 为半径作圆，连结OA 交⊙O 于点M 。

（1）若∠ABO ＝120°，AO 是∠BAD 的平分线，求︵
BM 的长； （2）若点E 是线段AD 的中点，AE ＝，OA ＝2，求证：
直线AD 与⊙O 相切。

三、课堂检测
1．如图，是⊙O 的直径，点在⊙O 上，则的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
2．如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
AB C ACB ∠78BOC ∠=BAC ∠1567839
12
3．如图、是的两条弦，＝30°，过点的切线与的延长线交于点，求的度数。

4．如图所示，是
的内接三角形，，为
中
上
一点，延长至点，使。

（1）求证：；
（2）若，求证：。

四、课堂小结
AB AC O ⊙A ∠C OB D D ∠ABC △AC BC =D DA E CE CD =AE BD =AC BC
⊥AD BD +
=
1．圆这一章的知识结构。

2．几个主要的性质定理和判定定理。

3．直线与圆的位置关系的判定及应用。

4．数形结合的思想和方程思想的渗透。

五、拓展延伸（选做）
已知A、B、C、D是⊙O上的四点，︵
CD＝
︵
BD，AC是四边形ABCD的对角线。

（1）如图8，连结BD，若∠CDB＝60°，求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）如图9，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC＝7，AB＝5，求线段AE 的长度。

图8
【答案】 【知识梳理】 （一） 1．C 2．B （二） 1．B 2．B （三） 1．5 2．A 3．28° （四） 1．60° 2．A （五） 1．B 2．D （六） 1．A
2．
【综合运用】 1．A 2．50°
3．（1）解：∵AD ∥BC ， ∴∠EAO=∠AOB ， ∵AO 是∠BAD 的平分线， ∴∠EAO=∠BAO ，∴∠BAO=∠AOB ， ∵∠ABC=120°，BC=2，O 是BC 的中点， ∴∠AOB=∠BAO=30°，OA=OB=1， ∴
的长是
=
π；
3
图7
（2）证明：连接OD 和OE ， ∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴∠ABO=∠DCO ， ∵O 为BC 中点， ∴BO=CO ，
∵在△
ABO 和△DCO
中
∴△ABO ≌△DCO （SAS ），∴AO=OD ， ∵E 为AD 中点，
∴OE ⊥AD ，在Rt △AEO 中，AE=，AO=2，由勾股定理得：OE=1=BO ，即OE
为半径，OE ⊥AD ，
∴直线AD 与⊙O 相切。

【课堂检测】 1．D 2．C
3．解：连接OC ∵ CD 是切线， ∴∠OCD=90°， ∵∠A=30°，
∴∠COD=60°，∴∠D=30°
4．证明：（1）由同弧所对的圆周角相等，知∠ADC=∠CBA． ∵AC=BC，CE=CD ，
∴ ∠ADC=∠CED=∠CBA=∠CAB， ∴ ∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE -∠ACD=∠ACB -∠ACD 即：∠ACE=∠BCD． 又∵AC=BC，CE=CD ， ∴ △ACE≌△BCD． ∴ AE=BD （2）∵AE=BD， ∴AD+BD=AD+AE=ED
∵AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90º，
∴ ∠DCE=∠ACB=90º。

由勾股定理，得CE2+CD2=ED2
又∵CE=CD，
∴2CD2=ED2，∴ED=CD，∴AD+BD=CD 【课堂小结】
略
【拓展延伸】（选做）
解：1）证明：∵︵
CD＝
︵
BD，
∴ CD＝BD．
又∵∠CDB＝60°，
∴△CDB是等边三角形。

∴∠CDB＝∠DBC．
∴︵
CD ＝
︵
BC。

∴∠DAC＝∠CAB
∴ AC是∠DAB的平分线。

（2
人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(4) 一．选择题
1．下列有关圆的一些结论，其中正确的是（）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
2．用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（）A．B．
C．D．
3．已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（）度．
A．42 B．48 C．46 D．50
5．今年寒假期间，小明参观了中国扇博物馆，如图是她看到的纸扇和团扇．已知纸扇的骨柄长为30cm，扇面有纸部分的宽度为18cm，折扇张开的角度为150°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（）
A．B．C．D．
6．已知正六边形的边心距是，则正六边形的边长是（）
A．4B．C．D．
7．如图，AB是圆O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与圆O相切于点D，弦DF⊥AB 于点E，连接BD，CD＝BD＝4，则OE的长度为（）
A．B．2 C．2D．4
8．如图，四边形ABCD是菱形，点B，C在扇形AEF的弧EF上，若扇形ABC的面积为，则菱形ABCD的边长为（）
A．1 B．1.5 C．D．2
9．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点．若∠BOC＝50°，则∠D的度数（）
A．105°B．115°C．125°D．85°
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心的圆与边AB相切于点D．交边BC 于点E，若BC＝4，AC＝3，则BE的长为（）
A．0.6 B．1.6 C．2.4 D．5
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以A、B为圆心，AD、BC为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分图形的周长之和为（）
A．2+πB．4+πC．4+2πD．4+4π
12．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥CD 交AB于F，若AE＝2BF，DF＝2，则⊙O的半径长为（）
A．B．4C．D．
二．填空题
13．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是．
14．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为．
15．一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为．
16．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AO＝4，那么CD的长为．
17．如图点A是半圆上一个三等分点（靠近点N这一侧），点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，若⊙O半径为3，则AP+BP的最小值为．
三．解答题
18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC
于点F，连结AD．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点D在以AB为直径的QO上．
（1）若直线CD是⊙O的切线，求∠BAD的度数；
（2）在（1）的条件下，若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的周长．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣8，0），B（0，6），∠ABO的角平分线交△ABO 的外接圆⊙M于点D，连接OD，C为x正半轴上一点．
（1）求⊙M的半径；
（2）若OC＝，求证：∠OBC＝∠ODB；
（3）若I为△ABO的内心，求点D到点I的距离．
21．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由；
22．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D 作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若AB＝12，AD＝6，连接OD，求扇形BOD的面积．
23．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．
参考答案
一．选择题
1．解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确；
故选：C．
3．解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，
∴OP＜2．
故选：A．
4．解：连接AB，如图所示：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝48°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝42°；
故选：A．
5．解：纸扇的扇面面积＝﹣＝315π，则团扇的半径＝＝3（cm），
故选：D．
6．解：∵正六边形的边心距为2，
∴OB＝2，∠OAB＝60°，
∴AB＝＝＝2，
∴AC＝2AB＝4．
故选：A．
7．解：连结OD，如图，
∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵CD＝BD＝4，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠DOE＝∠B+∠ODB＝2∠B，
∴∠DOE＝2∠C，
在Rt△OCD中，∠DOE＝2∠C，则∠DOE＝60°，∠C＝30°，∴OD＝cot∠EOD•CD＝×4＝4，
∵DF⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
在Rt△ODE中，OE＝cos∠EOD•OD＝×4＝2，
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴∠BAC＝60°，
∵＝，
∴AB＝1.5，
故选：B．
9．解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠ADC＝90°+25°＝115°．
故选：B．
10．解：在Rt△ACB中，AB＝＝5，∵以点C为圆心的圆与边AB相切于点D
∴CD⊥AB，
∵CD•AB＝AC•BC，
∴CD＝＝2.4，
∵CE＝CD＝2.4，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣2.4＝1.6．
故选：B．
11．解：设∠A＝n°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝180°﹣n°，BC＝AD＝2，
由题意得，AE＝AD＝2，BE＝BC＝2，
∴图中阴影部分图形的周长之和＝的长+的长+CD＝+4+＝4+2π，
故选：C．
12．解：连接AD，CF，作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠BDF+∠BDC＝90°，∠CBD+∠DBA＝90°，
∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，
∴△ADF∽△BDC，
∴＝＝，
∵∠DAE+∠DAB＝90°，∠E+∠DAE＝90°，
∴∠E＝∠DAB，
∴△ADE∽△BDA，
∴＝，
∴＝，即＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝AF，
∵AE＝2BF，
∴BC＝AB＝3BF，
设BF＝x，则AE＝2x，AB＝BC＝3x，
∴BE＝＝x，CF＝＝，
由切割线定理得：AE2＝ED×BE，
∴ED＝＝＝x，
∴BD＝BE﹣ED＝，
∵CH⊥BD，
∴∠BHC＝90°，∠CBH+∠BCH＝∠CBH+∠ABE，
∴∠CBH＝∠ABE，
∵∠BAE＝90°＝∠BHC，
∴△BCH∽△EBA，
∴＝＝，即＝＝，
解得：B H＝x，CH＝x，
∴DH＝BD﹣BH＝x，
∴CD2＝CH2+DH2＝x2，
∵DF⊥CD，
∴CD2+DF2＝CF2，即x2+（2）2＝（）2，解得：x＝，
∴AB＝3，
∴⊙O的半径长为；
故选：A．
二．填空题（共5小题）
13．解：圆锥的侧面积＝×2π×3×7＝21π．故答案为21π．
14．解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝130°．
故答案为：130°．
15．解：如图，连接OA、OB．
弦AB将⊙O分为1：2两部分，
则∠AOB＝×360°＝120°；
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∠ADB＝180°﹣∠60＝120°；
故这条弦所对的圆周角的度数为60°或120°．故答案是：60°或120°
16．解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴∠OCE＝30°
∵AO＝OC＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴CE＝＝2，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝4，
故答案为：4．
17．解：作B点关于MN的对称点B′，连结OA、OB′、AB′，AB′交MN于P′，如图，∵P′B＝P′B′，
∴P′A+P′B＝P′A+P′B′＝AB′，
∴此时P′A+P′B的值最小，
∵点A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON＝60°，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BPN＝∠B′ON＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，
∴△AOB′为等腰直角三角形，
∴AB′＝OA＝3，
∴AP+BP的最小值为3．
故答案为3．
三．解答题（共8小题）
18．（1）证明：连接OD，如图，
∵BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠OAD，
即AD平分∠BAC；
（2）∵AD平分∠BAC，∠CAD＝25°，
∴∠FAE＝2∠CAD＝50°，
∵AE＝2，
∴OE＝1，
∴的长为．
19．解：（1）∵直线CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠BAD＝45°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝2，∠C＝∠A＝45°，
过B作BE⊥CD于E，
∴BE＝OD＝CE＝1，
∴CB＝，
∵的长＝＝，
∴图中阴影部分的周长＝1+2++＝3+．
20．（1）解：∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（﹣8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝10，
∴⊙M的半径OA＝5；
（2）证明：∵∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴tan∠OBC＝＝＝，tan∠OAB＝＝＝，
∴∠OBC＝∠OAB，
∵∠ODB＝∠OAB，
∴∠OBC＝∠ODB；
（3）解：作∠BOE的平分线交BD于I，作IM⊥OB于M，如图所示：
则IM∥OA，I为△ABO的内心，IM为△ABO的内切圆半径，OM＝IM＝（6+8﹣10）＝2，∴BM＝4，∴BI＝＝2，
∵IM∥OA，
∴△BIM∽△BEO，
∴＝，即＝，
解得：EO＝3，
∴AE＝OA﹣EO＝5，BE＝＝＝3，
∴IE＝BE﹣BI＝，
由相交弦定理得：BE×DE＝AE×EO，
即3DE＝5×3，
解得：DE＝，
∴DI＝DE+IE＝2；
即点D到点I的距离为2．
21．解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44（m2），∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．。