上海民办五爱中学2020年高二数学文月考试题含解析

上海民办五爱中学2020年高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线互相平行，则的值是（）
A. B. C. 或
D. 或
参考答案：
A
2. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A．B．3 C．D．
参考答案：
A
略
3. 过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）
A. 2
B.
C.
D.
参考答案：
B
【分析】
在中，为线段的中点，又，得到等腰三角形，利用边的关系得到离心率.
【详解】在中，为线段的中点，又，则为等腰直角三角形.
故答案选B
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于常考题型.
4. 已知实数，设，若存在，，使得
成立，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
分别求出函数在上的值域，保证两个值域交集不为空即可.
【详解】∵．
当x≤1时，函数为增函数，；
当x＞1时，函数为增函数，；
若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，
，解得：a，
综上可得：a∈
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的图象与性质，指数函数和反比例函数的图象和性质，难度中档．
5. 从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步从一楼到二楼共有（）走法。

A. 12
B. 8
C. 70
D. 66
参考答案：
C
【分析】
一步上一级或者一步上两级，8步走完楼梯，可以从一级和两级各几步来考虑．
【详解】解：设一步一级x步，一步两级y步，则故走完楼梯的方法有种．
故答案为：C.
【点睛】8步中有多少一步上两级是解题关键．通过列方程找到突破口．
6. 若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（）
A．B．（1，）C．（1， +1）D．（2， +1）
参考答案：
B
【考点】函数的图象．
【分析】由题意作出函数的图象，由图象求出m的临界值，从而求m的取值范围．
【解答】解：由题意作图象如下，
y=的图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，
故直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点的临界直线有，
当y=﹣+m过点（2，0）时，即0=﹣1+m，故m=1；
当直线y=﹣+m与椭圆的上部分相切，
即y′==﹣，
即x=，y=时，此时，m=．
故选B．
【点评】本题考查了数形结合的思想，属于中档题．
7. 在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（）
A 2
B
C D
参考答案：
D
8. 下列命题
①“若，则互为相反数”的逆命题；②“若”的逆否命题；③“若，则”的否命题.其中真命题个数为（）A.0 B.1 C.2
D.3
参考答案：
B
9. 已知点，则直线的倾斜角是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
C
10. 已知是三次函数的两个极值点，且则
的取值范围是（）
A.B. C.
D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．
参考答案：
（2，+∞）
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】先化简，再由二次函数的性质，得到解答．
【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，
即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立
若a+2=0，显然不成立
若a+2≠0，则解得a＞2．
综上，a＞2
12. 在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．
参考答案：
.
略
13. 在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则B的取值范围是．参考答案：
（0，]
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由已知等式变形表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b代入并利用基本不等式变形求出cosB的范围，即可确定出B的范围．
【解答】解：∵2b=a+c，即b=，
∴cosB===≥=，
则B的范围为（0，]．
故答案为：（0，]
【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
14. 命题“”的否定
是
参考答案：
15. 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，，自钱孔人，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是宣径为4 cm的圆，中间有边长为l cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴是直径为0．2 cm的球）正好落人孔中的概率是.
参考答案：
16. 某四棱锥三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为__________．
参考答案：
由三视图画出四棱锥的直观图，如图所示，
底面是正方形，底面，
所以最长的棱为．
17. 若样本的方差是2，则样本的方差
是
参考答案：
8
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当时，证明.
参考答案：
解：（1）函数的定义域为，且.
当时，，在上单调递增；
当时，若时，则，函数在上单调递增；
若时，则，函数在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，
要证，只需证，即只需证
构造函数，则.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
所以恒成立，所以.
19. （13分）已知椭圆和圆，左顶点和下顶点分别为，，是椭圆的右焦点．
（1）点是曲线上位于第二象限的一点，若的面积为，求证：；
（2）点和分别是椭圆和圆上位于轴右侧的动点，且直线的斜率是直线斜率的倍，证明:直线恒过定点．
参考答案：
（本题满分14分）解:（1）设曲线上的点，且，由题意，∵△APF的面积为，
∴，解得，即
∴，∴AP⊥OP．
（2）设直线BM的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，又两直线都过点，∴直线BM的方程为，直线BN的方程为．
由得，
解得，即．
得，
解得，即．
直线MN的斜率，∴直线MN的方程为，
整理得，，∴直线MN恒过定点．
略
20. （本小题12分）设函数
（1）求曲线在点处的切线方程。

（2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。

参考答案：
略
21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：由条件知，，设，．
解法一：（I）设，则，，
，由得
即于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
因为是与无关的常数，所以，即，此时=．当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时．
故在轴上存在定点，使为常数．
22. 已知函数．
（1）设是函数f(x)的极值点，求m的值，并求f(x)的单调区间；
（2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围．
参考答案：
(1) 在和(2,+∞)上单调递增，在上单调递减. (2)
【分析】
（1）由题意，求得函数的导数，根据是函数的极值点，
求得，利用导数符号，即可求解函数的单调区间；
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由函数的导数，当时，得到在上单调递增，又由，即可证明，当时，先减后增，不符合题意，即可得到答案。

【详解】（1）由题意，函数，
则，
因为是函数的极值点，所以，故，
即，令，解得或. 令，解得,
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由，
当时，，则在上单调递增，
又，所以恒成立；
当时，易知在上单调递增，
故存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，则，这与恒成立矛盾.
综上，.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等关系式，求解参数的取值范围；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。