极限的运算法则

2.型 有 理 式 及 无 理 式
1
方法：分子分母同时除以x 的最高次方幂
2
约最高次幂法
2x2 3
lim
x
3x2
1
.
(
型
)
[分析 ]当x时,分子 ,分母都趋于, 无穷大
先x用 2去 0 1 除分,转 子化 分为 母 ,再 无0求 2穷 .极 小限
2x2 3
lim
x
3x解2
1
lim
x
2 3
lim x1
x3 1
(x1)(x2) lx i1m (x1)(x2x1)
0 0
x2
lx im 1 x2
1 x1
求ln i m (n12n22 nn2) .
n时,是无穷小之和．
01 先变形再求极限.
02
说明:无穷多个无穷小 量之和不一定是无穷小
03
解l n i(n 1 m 2 n 2 2 n n 2 0)4 l n i 例1 m 2 n 2 n
3 x2 1 x2
例1
lim(2
x
3 x2 )
1
lim(3
x
x2 )
20 2 30 3
lim x 1 . ( 型 ) x x2 x 1
lim
x
1 x 1例 21
x
1
x2
1 x2
lim ( 1 x x
1 x2
)
0
lim (1
x
1 x
1 x2
)
例3
3x2 x2 lx im 4x3 2x3.(
型
)
lim
x
3 x
1
x2 2
2
x3 3
4 x2 x3
00 4
当a0 0,b0 0,m和n为 非 负 整 数 时
lx i m ab00xxm n ab11xxm n11 banm
小 结:
a 0,当 n m （ 分 子 最 高 次 幂 分 母 最 高 次 幂 ） b 0 0 , 当 m （ n 分 子 最 高 次 幂 分 母 最 高 次 幂 ）
20XX
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数理与信息技术系
数极限的性质和四则运算法则
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***
一、函数极限的性质
定理（唯一性）：若函数f(x)有极限，则极 限值是唯一的.
x 4x 4 x 4 x 4 x 4
lim x 2 9 x3 x 3
分 析 ： 因 为 lim （ x 2 9 ） 0 ， lim （ x 3 ） 0 .
0 1 x 3
x 3
02
lim x29lim (x3)x (3)lim (x3)6
x 3 x3 x 3 (x3)
x3
解
练习
02
x1 2 lx i1m (x解21x21)
x 1
lim
x1
x2
1
0 0
例
x1 lim
x1 (x1)(x1)
1
lim
x1
x1
1 2
求lx i1m (13x3
1) 1x
.
lx i1m (1练3x习3 11 x x3x2).lx i m 1 3(11xx3x2)
2xx2
lim x1
1 x3
x2 x2
差一点 ! 结论成立的条件.
例：lim （x23x5） . x2
代入法
解： lim (x23x5)lim x2lim 3xlim 5
x2
x 2
x 2
x 2
223253
课本例题： lim(x2 2x) x2
例：
x2 1
lim
.
x3 x 4
解：lim(x4) limxlim434 10
x3
x3
x3
特例2：推广到有限个函数的积
lim [f( x ) ] n [ lim f( x ) ] n A （ nn N * ）
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g(x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（ B）0
小 结:
函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的
和、差、积、商
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
定理（迫敛定理）：如果在x=x0附近
(点x0可以除外)
（1）g(x)f(x)h(x)
limg(x)limh(x)A
（2）x x0
x x0
lim f (x) A
0
那么
二、极限的四则运算法则
设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极 限
lim f (x)、lim g(x) 存在, 则
x2 1 lim（x2 1）
lim
x3
x4
x3
lim（x
4）
91 34
10.
x3
未定式极限
定义： 无穷小之比或无穷大之比的极限等，这类极限 可能存在，也可能不存在，极限存在也会有各种不同的结果。 ——这种类型的极限称为未定式极限。
主要的未定式的极限有:
不能直接使用极
1 “, 0”“ ”“0 ”“” 限的四则运算法
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
12ln im (1 n1)
1. 2
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求
0
3.消去零因子法求 极限;0
型极限;A 0
4.分子分母同除以x的最高次方法求
5.通分法求 极限 ;
型(极x限; )
lim[ f (x一)．g加(x法)]法则li：m 代f数(x和)的l极im 限g(等x于) 极限的代
数和
推论1：推广到有限个函数的代数和
乘法法则：乘积的极限等于极限的乘积
lim[ f (x)g(x)]limf(x)limg(x)
特例1：常数因子可提到极限记号外面
lim[cf(x)]climf(x) （c为常数）
6.利用左右极限求分段函数极限.
7.复合函数的极限. 8.无穷小与有界变量的积是无穷小.
谢谢欣赏！
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要记住哦 !
1.求lxi m57xx22
3x4 6x1
5 7
练习
=0
2.求lxi m57xx2336xx41
3.型 有 理 式
02
先化简再用
约最高次幂法
01
方法：先通分化为分式，再
求极限
12
lx im 1(x1x2
) 1
.
()
分lx析 i1m x1 1 ： ,lx i1m x22 1
lxim 1(x1011x221)
0
则来计算的极限
1. 0 型 有 理 式 0
求未定式极限方法举 例、练习
○ 方法：分子分母
解
lim x 2 16 x4 x 4
例
(0型 ) 0
分解因式，消去 使他们趋于 ○ 零的公因子 ○ 约零因子法（因
x 2 1 6 (x 4 )(x 4 )
式分解）
lim lim
lim (x 4 ) 8