四川省资阳市2017-2018学年高一(上)期末考试数学试题(精品解析)【最新】

2017-2018学年四川省资阳市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.函数的定义域是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正切函数的定义域，由，解不等式即可得结果.
【详解】由，得,
所以，函数的定义域是，故选C．
【点睛】本题主要考查正切型函数的定义域，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题．
2.已知集合，则（）
A. B. C. 1， D. 1，
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数函数的值域化简集合，由交集的定义可得结果.
【详解】∵集合
，
所以．故选B．
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
3.（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.
【详解】因为,
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.
4.已知幂函数的图象过点，若,则实数的值为（）
A. 9
B. 12
C. 27
D. 81
【答案】D
【解析】
【分析】
由幂函数的图象过点，求得函数解析式，由，利用解析式列方程求解即可.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
，
因为,所以
解得，
∴实数的值为81,故选D．
【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题．
5.一个半径为的扇形的面积为,则这个扇形的中心角的弧度数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用扇形面积计算公式列方程求解即可．
【详解】设这个扇形的中心角的弧度数为，
因为扇形的半径为，面积为，
所以，解得．故选D．
【点睛】本题考查了扇形面积计算公式，属于基础题．扇形的面积公式为：（1）；（2）.
6.函数的零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断函数的单调性，利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间．
【详解】因为单调递增，且是连续函数，
故函数至多有一个零点，
因为，
，
所以，
所以函数的零点所在区间是,故选C．
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
7.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（）
A. B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的解析式可求得的值，结合函数的奇偶性可得，计算可得答案．
【详解】因为当时，，
所以
又由函数为奇函数，则=，
故选B．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．
8.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出二次函数的对称轴，结合二次函数的单调性，分析可得，从而可得答案．【详解】根据题意，函数的对称轴为，
的减区间是
若在区间上是减函数，则，
解可得：，
则实数的取值范围是,故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，以及由单调性求参数，属于中档题．利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法① 求解的．
9.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，利用幂函数的性质比较的大小，从而可得结果.
【详解】因为；
;
；
,
所以，故选B．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于综合题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
10.已知，，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据同角三角函数关系由求得，于是可得，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．
详解：∵，，
∴，
∴，
．
∴．
故选A．
点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．
11.已知函数,若对任意的使得成立，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
问题转化为对任意的使得恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而可得结果．
【详解】对任意的使得成立，
即对任意的使得恒成立，
令，，
显然在递增，
故的最小值为，
故，，
实数的取值范围为,故选D．
【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立
（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或
恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
12.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上的所有实数解之和为（）
A. -7
B. -6
C. -3
D. -1
【答案】A
【解析】
因为函数是R上的偶函数，且，所以是函数的对称轴，且周期为2，分别画出与在上的图象，
交点依次为所以，所以
，故选A.
点睛：函数中常用性质要注意总结，一般直接可得出函数的对称轴为
，由可推出函数的周期，注意在解题时要灵活运用.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知,则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由,可得，利用对数的运算法则求解即可.
【详解】因为,
所以，
可得，故答案为1．
【点睛】本题主要考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．
14.求值．
【答案】
【解析】
试题分析：，
，
考点：两角和与差的正切函数
15.如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为__________．
【答案】
【解析】
设因为，所以，因为是等腰直角三角形，所以可得，又因为在函数图象上，所以
，解得点A的横坐标为，故答案为.
16.如图，已知扇形的半径为2，圆心角为，四边形为该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，利用直角三角形中的边角关系求得、正弦弦定理
求得，利用降幂公式、辅助角公式，化简接矩形的面积为
，依据余弦函数的有界性求得它的最大值．
【详解】设，由题意可得矩形的一边．
中，由正弦定理可得，
即，
所以．
故内接矩形的面积为
，
故当最大时，内接矩形的面积最大．
而的最大值为1，此时，，
故内接矩形的面积最大值为，
故答案为．
【点睛】本题考查扇形内接矩形面积问题，正弦定理以及两角和与差的三角函数以及降幂公式、辅助角公式的应用，考查计算能力，属于难题．以三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知集合．
（1）若全集,求；
（2）若,求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由一元二次不等式的解法化简集合，由补集的定义可得结果；（2）等价于
，根据包含关系，结合数轴列不等式求解即可.
【详解】（1）由一元二次不等式的解法可得集合
，
又因为全集，所以或;
(2)等价于，
化简，由（1）得，
在数轴上表示集合，如图，
由图可知,即实数的取值范围.
【点睛】集合的基本运算的关注点：
（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问
题的前提；
（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．
18.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边为射线．（1）分别求的值；
（2）求的值．
【答案】（1），，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由角的顶点为坐标原点，终边为射线，利用任意角的三角函数的定义，可
求得的值；（2）利用诱导公式以及同角三角函数的关系，化简原式为，结合（1）即可得结果．
【详解】（1）角a的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，其终边为射线y=x（x≥0），由已知可设角a终边上一点P（2，1），则OP=，
∴sin a==，cos a==，t a na=．
（2）
=====．
【点睛】本题主要考查诱导公式以及同角三角函数之间的关系的应用. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.
19.已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）用函数单调性的定义证明：在为增函数；
（3）解不等式：．
【答案】（1）为偶函数；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）先求解函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性定义判断即可；
（2）内任取，不妨设，再作差，化为，判断差的
符号，结合单调性定义作出判断；（3）根据，利用函数的单调性，转化为，结合绝对值不等式以及对数函数的单调性即可得结果.
【详解】（1）函数f（x）=的定义域为（-∞，-1]∪[1，+∞），
定义域关于原点对称，
∵f（-x）=，
∴函数为偶函数．
（2）在内取任意x1＜x2，则，
所以=，
又＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[1，+∞]为增函数；
（3）根据=f（2），且函数f（x）=为偶函数．
由不等式：f（log2m）＞．可得f（log2m）＞f（2），
∴|log2m|＞2，且m＞0，
则log2m＞2或log2m＜-2，
解得：m＞4或，
故得不等式：f（log2m）＞的解集为（0，）∪（4，+∞）.
【点睛】本题主要考查，函数的奇偶性和单调性的证明与应用，属于中档题．利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已
知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.
20.已知函数，其中,函数图象的一个对称中心坐标为．（1）求的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，其中,求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，结合对称性求得函数解析式，再利用正弦函数的单调性列不等式，可求得的单调递增区间．（2）利用函数的图象变换规律求得的解析式，根据，求得和的值，再利用两角和的正弦公式，可求得的值．
【详解】（1）函数f（x）=sin（ωx-）-cosωx=sinωx-cosωx=sin（ωx-），
因为函数f（x）图象的一个对称中心坐标为（，0），∴-=kπ，即ω=6（k+），k∈．∵0＜ω＜3，∴ω=2，f（x）=sin（2x-）．
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈．
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原的2倍（纵坐标不变），
得到函数g（x）=sin（x-）的图象，
由g（α）=-，其中α∈（0，），可得sin（α-）=-，∴cos（α-）=，
∴sinα=sin[（α-）+]=sin（α-）cos+cos（α-）sin=-+×=．
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换
规律，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是
一个整体，由求得函数的减区间，由
求得增区间.
21.某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（单位：小时，其中
对应凌晨0点）的函数近似满足,如图是函数的部分图象．
（1）求的解析式；
（2）已知该企业某天前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型模拟，当供电量小于企业用电量时，企业必须停产．初步预计开始停产的临界时间在中午11点到12点之间，用二分法估算所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由图象，利用最大值与最小值差的一半求得，由最大值与最小值和的一半求得，由周期求得，由特殊点求得的值，从而可得的解析式；（2）构造函数，先判断在上是单调递增函数，再利用二分法判断函数的零点所在的区间．
【详解】（1）由图象可知A==，B==2，T=12=，ω=，
代入点（0，2.5）得sinφ=1，
∵0＜φ＜π，∴φ=；
综上，A=，B=2，ω=，φ=，
即f（t）=sin（t+）+2.
（2）由（1）知f（t）=sin（t+）+2=cos t+2，
令h（t）=f（t）-g（t），
设h（t0）=0，则t0为该企业的开始停产的临界时间；
易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数；
由h（11）=f（11）-g（11）=cos+2+2×11-25=-1＜0，
h（12）=f（12）-g（12）=cos+2+2×12-25=＞0，
又h（11.5）=f（11.5）-g（11.5）=cos+2+2×11.5-25=cos（-）=cos=＞0，
则t0∈（11，11.5），即11点到11点30分之间（大于15分钟），
又h（11.25）=f（11.25）-g（11.25）=cos+2+2×11.25-25＜×1-0.5=0，
则t0∈（11.25，11.5），即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）．
所以，企业开始停产的临界时间t0所在的区间为（11.25，11.5）.
【点睛】本题主要通过已知的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题. 利用最大值与最小值差的一半求得，由最大值与最小值和的一半求得，利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.
22.已知函数且为偶函数，且．
（1）求的解析式；
（2）令函数，是否存在实数，使得的最小值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，-2.
【解析】
【分析】
（1）由，可得，再由偶函数的定义可得，利用等式恒成立可求得，进而
得到的解析式；（2）化简函数，令，的最小值就为
的最小值．假设存在实数，使得的最小值为，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得所求值．
【详解】（1）∵f（0）=1，∴f（0）=log a2=1，可得a=2，
即f（x）=log2（2x+1）+bx，
∵函数f（x）为偶函数，
∴log2（2-x+1）-bx=log2（2x+1）+bx恒成立，
即log2（2-x+1）-log2（2x+1）-2bx=0恒成立，
化为（2b+1）x=0恒成立，
∴2b+1=0，可得b=-，
则f（x）=log2（2x+1）-x.
（2）h（x）==4x+1+λ•2x-1=4x+λ•2x，（x∈[-1，2]），
令m=2x（x∈[-1，2]），
则m∈[，4]，y=4x+λ•2x=m2+λm=（m+）2-，
∴h（x）的最小值就为y=（m+）2-，m∈[，4]的最小值．
假设存在实数λ，使得h（x）的最小值为-1，
①当-≤即λ≥-1时，y=（m+）2-在[，4]上为增函数，
y min=+λ=-1，解得λ=-∉[-1，+∞），舍去．
②当＜-＜4即-8＜λ＜-1时，
y=（m+）2-在[，-]上为减函数，在[-，4]上为增函数，
y min=-=-1，可得λ=±2，λ=2∉（-8，-1），舍去，此时λ=-2．
③当-≥4，即λ≤-8时，y=（m+）2-在[，4]上为减函数，
y min=16+4λ=-1，解得λ=-∉（-∞，-8），舍去．
综上，存在实数λ=-2，使得h（x）的最小值为-1．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，考查了换元法以及二次函数在闭区间上最值的求法，考查分类讨论思想与方程思想的应用，属于中档题．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.。