11。怎样进行根式化简 ---刘培杰 代数

11 怎样进行根式化简
在根式化简中，除了清楚基本概念和熟悉运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧．尤其是对某些特殊类型的根式化简问题，往往更需要用一些特殊的方法和技巧，这样才能变繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果．
下面就根式化简中经常运用的方法和技巧通过实例分别加以说明． 一、配方法的运用
在根式化简中，求形如b a ±
算术平方根问题，常常要运用配方法．
例1 化简：.212176-- 解 原式=--=--=
2)89(6722176
12)12(2232+=+=+
例2 化简：><----+-a b a b a b a a b a 2
222222222).02>b
解 原式=-
+-+-2
2
2
2
2
2)(a b a a b a =+---222222)(b b a b b a
=---+-222222)()(b b a a b a
||2222b b a a b a ---+-
因为,02>>
b a 所以.,222222b b a b a >->
则,22b b a >-原式.2222b a b b a a b a +=+--+-=
二、乘方、开方的互用
对于算术根，乘方与开方是互为逆运算的，因此在根式化简中可以先进行乘方使其结果简化，而后再开同次方取其算术根．
例3 求值：.5353-++ 解 设,5353-++=A 平方得
10426)5(32)53()53(222=+=-+-++=A
因为,0>A 所以,10=A 即105353=-++
例4 化简：).1(1212≥--+-+x x x x x
解 设,1212--+-+=
x x x x S 平方得
=-+=--+=222)2(22)1(422x x x x x s |2|22-+x x
当;12),1(4,22
-=-=⋅≥x s x s x 时
当.2,4,212
==<≤S S x 时
综上，⎩
⎨⎧⋅<≤≥-=--+-+21,22
,121212x x x x x x x
三、通过方程求根
由乘法公式)(3)(3
33b a ab b a b a +++=+可知，在求形如33b a +之值时，可令，33b a x +=立
方后便可得较简单的一元三次方程+--a x ab x (33
,0)=b 求其实根x 的值即可．
例5 求值：.214202142033-++ 解 设,214202142033-++=x 立方得
x x .)214(203403223-+=
化简得 04063
=--x x
0)104)(4(2=++-x x x
因为二次三项式,01042
>++x x 所以.4,04==-x x 就是说方程04063
=--x x 有唯一实根.4=x 故.4214202142033=-++
四、要确定变量的取值范围
在根式化简中，根据算术根的意义，常常要在确定变量字母取值范围后方可化简．习题中如果没有直接给定变量的取值范围，则需要自行加以研究、讨论．
例6 化简：.441296222+--+-+++x x x x x x
解 原式=---++=
222)2()1()3(x x x
|2||1||3|---++x x x
令x+3=0，x 一1=0，x 一2=0，得x=一3，x=1，x=2． 这些点把数轴划分为四个范围(图1)．
(1)当x<一3时，原式=-(x+3)-(x-l)+(x-2)=-x-4； (2)当-3≤x<1时，原式=(x+3)-(x-l)+(x-2)=x+2； (3)当1≤x≤2时，原式=(x+3)+(x-l)+(x-2)=3x ； (4)当x>2时，原式=(x+3)+(x-l)-(x-2)=x+4． 五、比例性质的应用
在证明含有根式的恒等式时，经常应用比例的基本性质加以变形，使运算过程简捷．
例7 已知
⋅-+=-+,d c d c b a b
a 求证：⋅=d
c
b a
证明 利用合分比定理，原式化为
)
()()()()
()()()(d c d c d c d c b a b a b a b a --+-++=
--+-++
即,d c b a
=平方得⋅=d
c b a
例8 已知
,d b
c a =求证：
⋅++=++d
c d
c b a b a
证明 设
,k d
b
c a ==则,,dk b a ==α且)(
d c k b a +=+
六、对分子或分母实施有理化
分子或分母有理化是一种最基本的变形，主要是恰当选取有理化因式．下面的例题在于说明有理化变形的作用和综合应用．
例9 求证：
⋅++=
+++
+++
+1
1112
311
21n n n
n
证明 对左端每一式进行分母有理化． 左端=
=-+-+++--+
--22222)
()1(1)2()3(231
)2(12n n n
n
=-+++-+-+-)1()34()23()12(n n
1
111++=
-+n n n
七、根据实数相等条件比较待定
对于形如b a +
的实数，如果,.d c b a +=+则a=c ，b=d ；反之也成立．(a ，b ，c ，d 为有理数
且d b ,.为无理数)
例10 化简：.154+ 解 设,154y x +=
+平方得
xy y x 2154++=+
即
xy y x 4)(154++=+
则 ⎩⎨
⎧==+15
44
xy y x
解得 ⎪⎩⎪⎨
⎧
=
=
2
23y x 则 )106(2
1
2523154+=+=+
八、引入辅助参数代换
对于某些特殊形式问题，可以引入辅助参数作为媒介进行转化，最后又消去参数使问题得到解决．
例11 证明：假设,3
3
3
cz by ax ==且
,11
11=++z
y x 那么 3333
222c b a cz by ax ++=++
证明 设 ,3
3
3t cz by ax ===则
2
,,222t cz y t by x t ax ===
那么 33
3
22)111(t z
y x z t y t x t cz ++=++=++ωω 因为
,11
11=++z
y x 所以 =++=++33
222)1
11(t z
y x cz by ax
=++33
3333111cz z
by y ax x 33c b a ++
故等式成立．
例12 设,81≥
a 求证：333
183131831-+-+-++a a a a a a .1= 证明 设
t a =-318，因为,8
1
≥a 所以t 为实数，从而,8132+=t a 则 左端=+-+++++=3223228
)3(8138)3(813t
t t t t t
=-++33
3
38
)1(8)1(t t 12
121=-++t
t。