贵州省遵义市新场中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析

贵州省遵义市新场中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. ( ）
A．2－2i B．2+2i C．－
2 D．2
参考答案：
D
2. 已知等差数列的前项和为，则使取得最小值时的值为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
参考答案：
B
考点：等差数列
试题解析：由题得：，解得：
所以
即当n=5时，使取得最小值。

故答案为：B
3. 某个家庭有2个孩子，其中有一个孩子为女孩，则另一个孩子也为女孩的概率为（)
A B C
D 参考答案：
A
4. 直线xsinθ+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）
A．[，] B．[，] C．[0, ]∪[，π）D．[0, ]∪，π]参考答案：
C
【考点】I2：直线的倾斜角．
【分析】先求出直线斜率的取值范围，进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值范围．【解答】解：∵直线xsinθ+y+2=0，∴y=﹣x﹣，
∴直线的斜率k=﹣．
又∵xsinθ+y+2=0倾斜角为α，
∴tanα=﹣．
∵﹣1≤﹣sinθ≤1，
∴﹣≤﹣≤．
∴﹣≤tanα≤．
∴α∈[0, ]∪[，π）．
故选：C．
【点评】熟练掌握直线的斜率和三角函数的单调性即值域是解题的关键，基本知识的考查．
5. 下列命题中，其中是假命题的是（）
A．“是函数的一个周期”或“2是函数的一个周期”
B．“”是“函数不存在零点”的充分不必要条件
C．“若，则”的否命题
D．“任意，函数在定义域内单调递增”的否定
参考答案：
B
6. 已知, 若, 则=( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
参考答案：
D
略
7. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）
A.18
B.24
C.30
D.36参考答案：
C
略
8. 设抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA丄l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于（）
A．4B．6C． 6 D．12
参考答案：
C
作轴，垂足为，结合抛物线定义，在△中，可得，
又，解得.
解法二、
9. 设，，若是与的等比中项，则的最小值为
A．8 B．4 C．1 D．
参考答案：
B
10. 某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是()
A．70,50 B．70,75 C．70,72.5 D．65,70
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若命题“”是假命题，则实数
的取值范围是
.
参考答案：
12. 已知等差数列｛a n｝的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则＝
参考答案：
100
略
13. 已知函数f（x）=﹣x3+2ax，x∈[0，1]，若f（x）在[0，1]上是增函数，则实数a的取值范围为_________ ．
参考答案：
14. 二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间
中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W= ．
参考答案：
2πr4
【考点】F3：类比推理．
【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到
W′=V，从而求出所求．
【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现
S′=l
三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S
∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；
∴W=2πr4；
故答案为：2πr4
15. 的展开式中的常数项是。

参考答案：
60
16. 数列满足，且，则=_______________.
参考答案：
略
17. 已知函数（且）的图象过定点P，则点P的坐标为_______.
参考答案：
(2,2).
【分析】
令，可得，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，令，可得，
所以函数（且）的图象过定点.
【点睛】本题主要考查了指数函数的过定点问题，其中解答中根据函数的解析式，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知关于x的一元二次函数
（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；（2）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率。

参考答案：
解:（1）∵函数的图象的对称轴为
要使在区间上为增函数，
当且仅当>0且若=1则=－1，
若=2则=－1，1
若=3则=－1，1，；
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为
（2）由（1）知当且仅当且>0时，
函数上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分。

由
∴所求事件的概率为
略
19. 已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m＜0，若p∧q为假命
题，p∨q为真命题，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质；复合命题的真假．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围，由p∨q为真，p∧q为假得p真q假，或p假q 真，进而求出答案即可．
【解答】解：命题p为真命题时，
将方程改写为，
只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
若命题q为真命题时，
0＜m＜15，
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴p，q中有一真一假；
当p真q假时，无解；
当p假q真时，，解得
综上：m的取值范围为
【点评】解决问题的关键是熟练掌握命题真假的判定方法，由复合命题的真假判断出简单命题的真假结合有关的基础知识进行判断解题即可．
20. 某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？
参考答案：解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，则
目标函数为：z=2x+3y
作出可行域：
把直线：2x+3y=0向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值
解方程得M的坐标为（2，3）.
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能
获得最大利润。

略
21. 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，
∠A1AC=60°．
（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】法一：（Ⅰ）连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，可证A1O⊥底面ABCD，从而建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，证明向量的数量积为0 即可得到BD⊥AA1；
（Ⅱ）确定平面AA1C1C、平面AA1D的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）解：假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，求出平面DA1C1的法向量，利用数量积为0，即可求得结论．
法二：（Ⅰ）先证明BD⊥平面AA1O，即可证得AA1⊥BD；
（Ⅱ）过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则∠DEO为二面角D﹣AA1﹣C的平面角，求出OE、DE，即可求得二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）存在这样的点P，连接B1C，在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，可得四边形BB1CP 为平行四边形，进而利用线面平行的判定可得结论．
【解答】法一：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，
在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2﹣2AA1?Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，
∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AO
∴A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则
A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），
D（﹣，0，0），A1（0，0，）…∵，，
∴
∴BD⊥AA1…
（Ⅱ）解：∵OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量
设⊥平面AA1D，，则由得到，∴…
∴
所以二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值是…
（Ⅲ）解：假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1
设，则得…设⊥平面DA1C1，，则由
得到，∴…
又因为平面DA1C1，则?，∴，∴λ=﹣1
即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP …（13分）
法二：（Ⅰ）证明：过A1作A1O⊥AC于点O，
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD
又底面为菱形，所以AC⊥BD
∵A1O∩AC=O
∴BD⊥平面AA1O
∵AA1?平面AA1O
∴AA1⊥BD…
（Ⅱ）解：在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°，∴AO=AA1?cos60°=1
所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE，故∠DEO为二面角D﹣AA1﹣C的平面
角…
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2，∴AO=1，DO=
在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠EAO=DE=
∴cos∠DEO=
∴二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值是…
（Ⅲ）解：存在这样的点P，连接B1C，
∵A1B1AB DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP …∵B1B CC1，…
∴BB1CP
∴四边形BB1CP为平行四边形
∴BP∥B1C，∴BP∥A1D
∵BP?平面DA1C1，A1D?平面DA1C1，
∴BP∥平面DA1C1…（13分）
【点评】本题考查线面位置关系，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行、垂直的判定方法，正确作出面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．22. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=，短轴长为6，求椭圆的标准方程．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】分类讨论；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0），可得，解出即可得出；当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程．
【解答】解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0），可得，解得a=6，b=3，
可得椭圆的标准方程为=1．
当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程为=1．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。