辽宁省丹东市第十中学2024届数学高一下期末联考试题含解析

辽宁省丹东市第十中学2024届数学高一下期末联考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A ．400，40
B ．200，10
C ．400，80
D ．200，20
2．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ） A ． B ． C ．
D ．
3．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝9
5
的△ABC 有（ ）个 A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
4．法国“业余数学家之王”皮埃尔·德·费马在1936年发现的定理：若x 是一个不能被质数p 整除的整数，则11p x --必能被p 整除，后来人们称为费马小定理.按照该定理若在集合{}2,3,4,5中任取两个数，其中一个作为x ，另一个作为p ，则所取的两个数符合费马小定理的概率为（ ） A ．
2
3
B ．
12
C ．
13
D ．
16
5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4
A π
=，5a =，4c =，则
满足条件的ABC ∆的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无数多个
6．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222b a c ac =++，
且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．最大角为锐角的等腰三角形
D ．最大角为钝角的等腰三角形
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．设有直线,m n 和平面,αβ，则下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，l ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α
9．将函数()sin(2)3
f x x π
=-的图像左移3
π个单位，则所得到的图象的解析式为
A ．sin 2y x =
B ．2sin(2)3y x π=+
C ．sin(2)3
y x π
=+
D ．2sin 23
y x π=-（）
10．设等比数列{}n a 的公比2q ，前n 项和为n S ，则
5
4
S a =（） A ．2
B ．4
C ．
318 D ．
314
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．若正实数,a b 满足210a b +=，则ab 的最大值为__________ . 12．若ABC ∆的两边长分别为2和3，其夹角的余弦为2
3
，则其外接圆的面积为______________；
13．已知函数x
y a =，b
y x =，log c y x =的图象如下图所示，则a ，b ，c 的大小关
系为__________．（用“<”号连接）
14．cos80cos35sin80sin35︒︒+︒︒=________.
15．不共线的三个平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且||||1a b ==，||3c =，则
=a b c +-__________．
16．已知cosθ35=-
，θ∈（π，2π），则sinθ＝_____，tan 2
θ=_____. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)2
*
22n n n a S a n n N
=+∈.
（I ）求1a 的值；
（II ）证明：当*n N ∈，且2n ≥时，22
12n n S S n --=；
（III ）若对于任意的正整数n ，都有n a k >成立，求实数k 的最大值. 18．已知不等式的解集为
或
. （1）求
；（2）解关于的不等式
19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.
（1）若点A 的纵坐标是45点B 的纵坐标是12
13
，求sin()αβ+的值； （2）若3
2
AB =
，求2OA OB +的值.
20．已知向量(sin ,1)u x ω=-，1sin cos ,(0)2v x x ωωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，
且函数()f x u v =⋅.若函数()f x 的图象上两个相邻的对称轴距离为2
π. （Ⅰ)求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ)若方程()(0)f x m m =>在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，有两个不同实数根1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求出12x x +的值； （Ⅲ)若函数()sin 22x g x x af ⎛⎫=+
⎪⎝⎭在,42ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦的最大值为2，求实数a 的值.
21．近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有2300m 的坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天26m 的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积23m ，该部门需支出服装补贴费为每人
600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x 名人员参与抢修，需要k 天完
成抢修工作．
()1写出k 关于x 的函数关系式；
()2应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】
由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.
用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，
样本容量为：(350045002000)4%400
++⨯=，
抽取的高中生近视人数为：20004%50%40
⨯⨯=，
故选A.
【题目点拨】
该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.
2、B
【解题分析】
根据分层抽样的规律，计算和的关系为：，将选项代入判断不符合的得到答案.
【题目详解】
某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,
样本中的中年人为6人，则老年人为：青年人为：
代入选项计算，B不符合
故答案为B
【题目点拨】
本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.
3、C
【解题分析】
通过判断sin
a C与c判断大小即可得到知道三角形个数.
【题目详解】
由于
939
sin3
5
BC C
⋅=<<，所以△ABC有两解，故选C.
【题目点拨】
本题主要考查三角形解得个数判断，难度不大.
4、A
【解题分析】
用列举法结合古典概型概率公式计算即可得出答案.
用()
,x p表示抽取的两个数，其中第一个为x，第二个为p
总的基本事件分别为：(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，(3,2),(4,2)(5,2),(4,3)，(5,3),(5,4)，共12种
其中所取的两个数符合费马小定理的基本事件分别为：(2,3),(3,2),(2,5),(5,2)，(4,3),(3,5),(5,3),(4,5)，共8种
则所取的两个数符合费马小定理的概率
82
123 P==
故选：A
【题目点拨】
本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.
5、B
【解题分析】
直接由正弦定理分析判断得解.
【题目详解】
4
,sinC sin,
sin2
A C A
C
=∴=<=∴<
,
所以C只有一解，所以三角形只有一解.
故选：B
【题目点拨】
本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6、D
【解题分析】
先由余弦定理，结合题中条件，求出120
B=︒，再由
sin sin sin sin(60)
A C A A
+=+︒-，求出A，进而可得出三角形的形状. 【题目详解】
因为222
b a
c ac
=++，
所以
2221
cos
22
c a b
B
ac
+-
==-，120
B=︒，
所以
sin sin sin sin(60)A C A A +=+︒-1sin cos sin sin 1223A A A A π⎛
⎫=+
-=+= ⎪⎝
⎭. 又03
A π
<<，所以6
A C π
==
，则ABC ∆的形状为最大角为钝角的等腰三角形.
故选D 【题目点拨】
本题主要考查三角形的形状的判定，熟记余弦定理即可，属于常考题型. 7、C 【解题分析】
由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差
11m m d a a +=-=，从而可得结果.
【题目详解】
{}n a 是等差数列
()
102
ms m m a a S +∴=
=
()112m m m a a S S -⇒=-=--=-
又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，
11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．
【题目点拨】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 8、D 【解题分析】
在A 中，m 与n 相交、平行或异面；在B 中，α与β相交或平行；
在C 中，m ⊥β或m ∥β或m 与β相交；在D 中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α． 【题目详解】
由直线m 、n ，和平面α、β，知：
对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；
对于B ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β或α与β相交，故B 错误； 对于中，若α⊥β，α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交，故C 错误； 对于D ，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α，故D 正确． 故选D ． 【题目点拨】
本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题． 9、C 【解题分析】
由三角函数的图象变换，将函数()f x 的图像左移
3
π
个单位，得到sin[2()]33
y x ππ
=+-，即可得到函数的解析式.
【题目详解】
由题意，将函数()sin(2)3
f x x π
=-的图像左移3
π
个单位，
可得sin[2()]sin(2)333
y x x π
ππ
=+
-=+的图象， 所以得到的函数的解析式为sin(2)3
y x π
=+，故选C.
【题目点拨】
本题主要考查了三角函数的图象变换，其中熟记三角函数的图象变换的规则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10、C 【解题分析】
利用等比数列的前n 项和公式表示出5S ,利用等比数列的通项公式表示出4a ，计算即可得出答案。

【题目详解】
因为5151(12)=3112
a S a -=-，3411=2=8a a a
所以
54S a =318
故选C
【题目点拨】
本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，属于基础题。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
252
【解题分析】
可利用基本不等式求ab 的最大值. 【题目详解】
因为,a b
都是正数，由基本不等式有2a b +≥
所以10≥252ab ≤，当且仅当5
5,2
a b ==时等号成立， 故ab 的最大值为252
. 【题目点拨】
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 12、
94
π 【解题分析】
首先根据余弦定理求第三边，再求其对边的正弦值，最后根据正弦定理求半径和面积. 【题目详解】
设第三边为x ，2
2
2
2
2322353
x =+-⨯⨯⨯
=，
解得：x =
设已知两边的夹角为θ，2cos 3θ=
，那么sin 3
θ==，
根据正弦定理可知
23
R =
=，32
R =, ∴外接圆的面积29
4
S R ππ==.
故填：9
4π
.
【题目点拨】
本题简单考查了正余弦定理，考查计算能力，属于基础题型.
13、b a c
<<
【解题分析】
函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，
由指数函数y=a x，x=2时，y∈（1，2）；对数函数y=log c x，x=2，y∈（0，1）；幂函数y=x b，x=2，y∈（1，2）；
可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．
可得b＜a＜c
故答案为：b＜a＜c．
14、
2 2
【解题分析】
直接利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．【题目详解】
2
cos80cos35sin80sin35cos(8035)cos45
︒︒+︒︒=︒-︒=︒=．
故答案为：
2 2
.
【题目点拨】
本题考查两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
15、4
【解题分析】
()
222
=2
a b c a b c a b a c b c
+-=+++⋅-⋅-⋅
11a b c +-=+=164a b c +-=
故答案为：4 【题目点拨】
本题主要考查向量的位置关系，考查向量模的运算的处理方法.由于,,a b c 三个向量两两所成的角相等，故它们两两的夹角为
2π
3
，由于它们的模都是已知的，故它们两两的数量积也可以求出来，对a b c +-后平方再开方，就可以计算出最后结果. 16、4
5
-
﹣2. 【解题分析】
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得式子的值. 【题目详解】
由3cos 5θ=-，(),2θ∈
ππ，知3,2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则4sin 5θ==-，
3
11cos 5tan 242sin 5
θθθ+
-==
=--. 故答案为：4
5
-，2-
.
【题目点拨】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I ）1a =（II ）见解析；（III ）k 的最大值为1 【解题分析】
（I ）直接令(
)2
*
22n n n a S a n n N
=+∈中的n=1即得1
a 的值；
（II ）由题得2n ≥时，()()()2
*1122n n n n n S
S S S S n n ---=-+∈N ，化简即得证；（III ）用累加法可得：
22,n n S n n S
=+=n a ，再求n a 的范围得解.
【题目详解】
（I ）222111122,2,
a a a a =+==
（II ）因为(
)2
*
22n n n a S a n n =+∈N
，
所以2n ≥时，()()(
)2
*
1122n n n n n S S S S S n n ---=-+∈N
，
化简得：22
12n n S S n --=；
（III ）因为22
12(2)n n S S n n --=≥，
用累加法可得：2
22,n n S n n S n n =+=+，
由2n S n n =
+，得22(2)n a n n n n n =+--≥，
当1n =时，上式也成立,因为
2222
1111n n a n n n n
n n
=
=++-+
+-，
则
2
2
2
111n a n
=
+-，所以{}2
n a 是单调递减数列，
所以2
1n a >，又因为0n a >，所以1n a >，即1k ≤，k 的最大值为1.
【题目点拨】
本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18、（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为∅． 【解题分析】
（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值； （2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集． 【题目详解】
（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }， 所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；
由根与系数的关系，得，
解得a ＝1，b ＝2；
（2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0， 即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；
①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； ②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； ③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅． 【题目点拨】
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题． 19、（1）
1665；（2）32
22
OA OB +=
【解题分析】
（1）根据三角函数的定义，求出,αβ对应的正弦和余弦值，用正弦的和角公式即可求解；
（2）根据题意，先计算出OA OB ⋅的值，再求解2OA OB +. 【题目详解】
（1）由三角函数的定义得，4sin 5α
，12
sin 13
β=
. 由角α、β的终边分别在第一和第二象限，得：
3cos 5α=
，5
cos 13
β=-， 所以16
sin()sin cos cos sin 65
αβαβαβ+=+=； （2）AB OB OA =-，
则222
222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅
根据32AB =
，即可得9224
OA OB -⋅=， 解得：1
8
OA OB ⋅=-.
222
19244522
OA OB OA OB OA OB +=++⋅=-
=. 故32
22
OA OB +=【题目点拨】
本题考查三角函数的定义，以及由向量的数量积计算模长，属基础题.
20、（Ⅰ)()224f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝⎭
；（Ⅱ)1222m <
，1234x x π+=；（Ⅲ）4a =-或
4a =
【解题分析】
（Ⅰ)根据三角恒等变换公式化简()f x ，根据周期计算ω，从而得出()f x 的解析式；（Ⅱ)求出()f x 在[0，
]2
π
上的单调性，计算最值和区间端点函数值，从而得出m 的范围，
根据对称性得出12x x +的值；（Ⅲ）令sin cos x x t -=，求出t 的范围和()g x 关于t 的二次函数，讨论二次函数单调性，根据最大值列方程求出a 的值． 【题目详解】
（Ⅰ）∵()sin ,1u x ω=-，1sin cos ,
2v x x ωω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
， ∴211()sin (sin cos )sin sin cos 22
f x u v x x x x x x ωωωωαω=⋅=+-
=+⋅-
1cos 2111sin 2(sin 2cos 2)222224x x x x x ωπωωωω-⎛
⎫=
+-=-=- ⎪⎝
⎭
若函数()f x 的图象上两个相邻的对称轴距离为2
π
， 则函数()f x 的周期T π=，
∴
22π
πω
=，即1ω=，
∴()24f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭
（Ⅱ)由（Ⅰ)知，()224f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭， 当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，32444
x πππ
-- ∴若方程()f x m =在0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不同实数根，则12
22
m <. ∴令224
2
x k π
π
π-
=
+，k Z ∈，则38
x k π
π=
+，k Z ∈， ∴函数在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内的对称轴为38x π=， ∵1x ，2x 是方程()f x m =，0m >的两个不同根，
∴1234
x x π+=
（Ⅲ）因为1()(sin 2cos 2)2f x x x =
-，所以()sin 2(sin cos )2
a
g x x x x =+-， 令sin cos x x t -=，则2
sin 21x t =-.∴2
22112416
a a a y t t t ⎛⎫=-+=--++ ⎪⎝⎭
又∵sin cos 4t x x x π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭，由42x ππ-得244
x πππ
-
-，
∴21t .
（1）当
4a <a <-时，可知212
a
y t t =-++在[上为减函数，
则当t =2max 1122
y a a =--
+=--，
由122
a -
-=，解得：a =->-. （2）当214a ，即24a -时，结合图象可知，当4a t =时，2
max 116
a y =+， 由2
1216
a +=，解得4a =±，满足题意.
（3）当
14a >，即4a >时，知212
a
y t t =-++在[上为增函数， 则1t =时，max 2a y =
，由22
a
=得4a =，舍去 综上，4a =-或4a =为所求. 【题目点拨】
本题考查了平面向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，三角函数最值的计算，考查换元法解题思想，属于中档题． 21、（1）100
,3,2
k x x N x =
≥∈-（2）应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小 【解题分析】
（1）由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得
33006kx k =+，所以100
,3,2
k x x N x *=
≥∈-； （2）损失包＝渗水直接经济损失+抢修服装补贴费+劳务费耗材费，即可得到函数解析式，再利用基本不等式，即可得到结果． 【题目详解】
()1由题意，可得33006kx k =+，所以100
,3,2
k x x N x =
≥∈-． ()2设总损失为y 元，则()()3003006600150150y k x kx =++++
()240000
12120060022
x x =+-+
-121200212000145200≥+⨯=
当且仅当()240000
60022
x x -=
-，即22x =时，等号成立， 所以应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小． 【题目点拨】
本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中认真审题是关键，以及合理运用函数与不等式方程思想的有机结合，及基本不等式的应用是解答的关键，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．。