高中数学 第1章128知能优化训练 必修1 试题

卜人入州八九几市潮王学校知能优化训练1．(2021年高考卷)假设定义在R上的偶函数f和奇函数g满足f＋g＝e x，那么g＝()
A．e x－e－x B.
C. D.
解析：选C.由f(x)＋g(x)＝e x，①
得f(－x)＋g(－x)＝e－x，
即f(x)－g(x)＝e－x，②
联立①②解得g(x)＝(e x－e－x)．
2．(2021年高考课标全国卷)以下函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是()
A．y＝x3B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
解析：选B.∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．
y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在上是减函数，故C不对．
D中y＝2－|x|＝|x|虽是偶函数，但在上是减函数，只有B对．
3．假设函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，那么b为()
A．6 B．－6
C．5 D．－5
解析：选A.∵f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3的对称轴为x＝－＝1，∴a＝－4，
又对称轴为＝1，∴＝1.
∴b＝6.
4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴方程为x＝2，且经过点(1,4)和点(5,0)，那么f(x)的解析
式为________．
解析：可设顶点式f(x)＝a(x－2)2＋k，(a≠0)
再将点(1,4)和(5,0)代入，可得f(x)＝－(x－2)2＋，即f(x)＝－x2＋2x＋.
答案：f(x)＝－x2＋2x＋
5．函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，那么a＝________，b＝________.
解析：∵f(x)是定义域为[a－1,2a]的偶函数，
∴a－1＝－2a，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，
即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b.
∴b＝0.
答案：0
一、选择题
1．(2021～2021年一中月考)以下函数是奇函数的是()
A．y＝3x＋4 B．y＝x4＋3x3
C．y＝x3＋xx∈(－3,3] D．y＝x3＋xx∈[－3,3]
解析：选D.A、B不符合f(－x)＝－f(x)，C定义域不关于原点对称，D正确．
2．假设函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，那么必有()
A．f(x)·f(－x)＞0 B．f(x)·f(－x)＜0
C．f(x)＜f(－x) D．f(x)＞f(－x)
解析：选B.∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)＜0.
3．(2021年师大附中必修1结业考试)函数y＝x＋的图象关于()
A．y轴对称B．原点对称
C．x轴对称D．直线y＝x对称
解析：选B.f(x)＝x＋(x≠0)，∴f(－x)＝－f(x)为奇函数，关于(0,0)对称．
4．(2021年高考卷)假设函数f(x)＝为奇函数，那么a＝()
A. B.
C. D．1
解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，
∴＝－，
∴(2a－1)x＝0，∴a＝.
5．假设函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是() A．a≥3B．a≤－3
C．a≤5D．a≥－3
解析：选B.f(x)的对称轴为x＝1－a，开口向上，其减区间为(－∞，1－a]，∴1－a≥4，∴a≤－3. 6．函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)．假设x1<x2，x1＋x2＝0，那么()
A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)<f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析：选C.f(x)＝ax2＋2ax＋4＝a(x＋1)2＋4－a，其图象的对称轴是直线x＝－1，由x1<x2，x1＋x2＝0，得x1<0，x2>0，且x1，x2关于坐标原点对称，那么x2距对称轴较远，所以f(x1)<f(x2)．应选C.
二、填空题
7．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，那么当x＜0时，f(x)等于________．解析：设x＜0，那么－x＞0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
∴f(x)＝－x－1.
答案：－x－1
8．假设函数y＝x2－2ax＋6是偶函数，那么a的值是________．
解析：对称轴为x＝a，假设是偶函数，那么a＝0.
答案：0
9．(2021年高考卷)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，那么f(1)＝________.
解析：令x＝－1，∴f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3，
f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.
答案：－3
三、解答题
10．函数f(x)＝x2－3x－.
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)f()＝－，不计算函数值，求f()；
(3)不计算函数值，试比较f(－)与f(－)的大小．
解：(1)∵f(x)＝x2－3x－＝(x－3)2－，
所以函数的顶点坐标为(3，－)，对称轴为x＝3.
(2)∵f()＝－，又|－3|＝，|－3|＝，
所以结合二次函数的对称性可知，
f()＝f()＝－.
(3)由f(x)＝(x－3)2－可知，
f(x)在x∈(－∞，3]上是单调递减函数，
又－<－<3，
所以f(－)>f(－)．
11．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，求f(6)的值．
解：∵f(x＋2)＝－f(x)．
∴f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)
＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)．
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴f(6)＝0.
12．二次函数f(x)满足f(－2＋x)＝f(－2－x)．
(1)比较f(－)，f(－)，f(－1)的大小；
(2)假设方程f(x)＝x有唯一解，且f(x)的图象截x轴所得的线段长为4，求f(x)的解析式．
解：(1)由f(－2＋x)＝f(－2－x)，可知x＝－2是f(x)的图象的对称轴．
又－2<－<－1<－，
∴当f(x)的二次项系数a>0时，f(x)在[－2，＋∞)上是增函数．∴f(－)<f(－1)<f(－)；
当f(x)的二次项系数a<0时，f(x)在[－2，＋∞)上是减函数，
∴f(－)>f(－1)>f(－)．
(2)依题意，可设f(x)＝a(x＋2)2＋k(a≠0)．
∵f(x)的图象截x轴所得的线段长为4，由对称性可知，f(x)的图象与x轴交于两点，坐标分别为(－4,0)与(0,0)，
于是有a(－4＋2)2＋k＝0，即4a＋k＝0.①
又由方程f(x)＝x有唯一解，即ax2＋(4a－1)x＋4a＋k＝0有唯一解，
∴Δ＝(4a－1)2－4a(4a＋k)＝0，即8a＋4ak＝1.②
由①②解得a＝，k＝－1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x＋2)2－1，
即f(x)＝x2＋x.。